电动力学期终总复习及试题

1、电动力学试题（A）1.单选题（每题3分，共24分）1.洛伦兹变换是同一事件在两个惯性系中的时空坐标变换2 .介质内极化电荷体密度决定于极化强度P的散度；4 .带电粒子辐射电磁波的必要条件是粒子具有加速度；7 .若A是四维矢量，则是四维标量；x8 .在不同介质分界面处，磁场边值关系：磁感应强度的法向分量是连续的 ；二.填空题（每小题4分，共24分）1 .电磁波入射到导体表面时，透入深度随频率增大而 减小.2 .用电导率外 介电常数e和电磁波的频率3来区分物质的导电性能，当满足 1 条件时是良导体.3 .当振荡电偶极子的频率变为原来的2倍时，辐射功率将变成原来的 _16 倍.4 .对不同的，惯性系

2、，电荷是守恒量，由此可得出结论，当电荷作高速运动时，其体积缩小=电荷密度 变大5.真空中平面z=0为带电平面，电荷密度为（T,则在z=0处电势应满足边值关系 12和6.不同频率的电磁波在同一介质中具有不同的传播速度，就表现为 色散 现象.三.（13分）利用真空中的麦克斯韦方程组和电磁势的定义推导电磁势A满足的达朗贝尔方程解：把电磁势的定义:AA代入真空中的场方程（4分）t得:注意到:利用洛伦兹条件:0J0JA)2a1_2A c2 t2c2 t2A0,得:A7)(2分)c2将上式整理后得:(4分)（3分）2Al2aA 2.2c t四.（20分）设有平面电磁波：Ei（2 10 2z 2 106t）

3、100eex V/m,求:1.圆频率、波长、介质中的波速、电矢量的偏振方向和波的传播方向;2.若该介质的磁导率10HM -1,问它的介电常数是多少？解:1）圆频率2106 Hz（1分）波长210 2100（M）（2分）（2分）电矢量的偏振方向为10610 2108（M /S）（1分）x方向（1分），波传播方向是z轴正向.（1分）介质中的波速v1 /口2）由v =得（3分）1410 7 （108）2 （F/M） -7.96X10-11F/M4（2分）五.（13分）真空中有一个半径为Ro的带电球面，面电荷密度为0 cos （其中（7 0为常数，试用分离变量法求空间的电势分布.解：设球内外空间的电势

4、分别为（）1和（）2在球内外均有P =0,故（）1和（）2都满足拉氏方程.（2分）显然本问题是轴对称的，以球心为坐标原（1分）考虑到边界条件：R0时，。1有限R 00 时，j 2 0点，以0 =0的方向为z轴，建立球坐标系.（2分）可令尝t解为：1 a0a1 RP （cos）;boRR2P1 （cos（2分）由边值关系当R=R0时,（）1=（）20 cos（2分）Roa0 a1R0 Pl（cos ） -b0-得：R0b。bi2 23 R (cos ) a1 R (cos )R。R。-R (cos )0(2分)比较方程两边Pn（cos。）多项式的系数，可得:aobo。.;aibi-Ro30(2分

5、)旦ZE ：0Rcos3 030 R0cos3 0 R2从解题过程中可看出，（f）（2分）满足本问题的所有边界条件及边值关系，是本问题唯一正确的解.电动力学试题（B）3 .辐射功率P与距离无关，能量可以电磁波的形式传播到远处4 .在相对论中空间距离是不变的；5.在介质分界面上电磁场发生突变：电场强度E的法向分量突变是由总电荷面密度引起的A. 6.电磁场能量传播的方向既垂直于电场又垂直于磁场的方向；7.电磁波能在矩形波导内传播的条件是2aA. 8.通过洛伦兹变换不能改变无因果关系的两事件的先后次序；三.填空题（每小题4分，共24分）1 .麦克斯韦方程组的微分形式在 两种介质的分界面处不适用.2

6、.在导体中的电磁波是衰减的，导体的电导率愈 大,衰减得愈快.3 .当振荡电偶极子的振幅变为原来的2倍时，辐射功率将变成原来的 _4一倍.4 .当满足条件 v<<c 时，洛伦兹变换将回到伽利略变换.21_5 .边界条件n （D2 D1）,可用电势e表示为 2 n 1 n 6.光子的静止质量为零，光子的能量和动量之间的关系是 E=cR. 三（13分）证明：当电势作下列规范变换A A' A 时，电磁场保持不变t解：1)A'(A ) AA B0（2分）（3分）2)A'A' B(T) 不A)（3分）（2分）四.1.2.解:（13分）真空中的平面电磁波频率、波长

7、、波速和波的传播方向;相应的磁场E ；1)(3分)由H的表达式知:(m-1),2k(m)2.5 i(2 z 6e6 1082108t).(exey )A/m,求:108(Hz)(2分)(2分)(1分)(1分)10(m/s)波传播方向为Z轴负方向。2)Ek-k _ 0 0(2分)(1分)片（ez）108t),(eyex)(2分)(V/m)(2分)五.（13分）在无限大导体平面外距导体为b处置一个点电荷 Q,试用电像法求空间的电势分布和点电荷Q所受的作一个放在（0, 0, -b）,大小为-q的点 出电势的尝试解为(2分)用力.解：建立如图所示的直角坐标系。因为导体无限大，下半空间（导体中）在上半空

8、间的电势可用电象法解出，即用 电荷代替导体表面感应电荷的作用。可写q112222224 0 . x y (z b) , x y (z b)（6分）显然，上述电势满足所有的边界条件:0时,2220 ,其中 R V'X y z ；当z 0时,根据静电问题的唯一性定理, 点电荷q所受的力：它是本问题唯一正确的解。（2分）（3分）1、关于静电场的边界条件:电动力学期终考试试题（Et连续，但Dn不连续3、狭义相对论中的相对性原理是指任何物理规律在一切惯性系中相同5、当电磁场随时 磁通量的变化率6.7、8、C）v 苧c间变化时.电力线一定是闭合曲线；电场仍是保守力场；电场强度的环流与所围区域内 有

9、关；电场旋度取决于磁场的强度.设有一静电荷 Q和一运动电荷q, Q与q之间的相互作用力不满足牛顿第三定律;矩形波导中不可能传播 TEM型波；下列关于平面电磁波：电磁场能量密度的幅值为 .填空题（每小题4分，共24分）2u0E0 .;1.磁场总是无源场，即 B 0 ,它表示磁力线总是闭合的2 .在均匀介质充?t的空间中，某点的电荷体密度等于该点自由电荷密度的3 .设在导体中的平面单色电磁波为EE0e i（kz "其中k倍.i ，则该平面电磁波的相速度为v= /.4.对于振动偶极子来说富昌垂直于振动方向辐射最强?&_平行于振动一方向没有辐射.6.为了求电场强度 E ,通常可以先求

10、出电势，然后再利用E和的关系_E，求出E .证明题（13分）电偶极子辐射的磁场0 peikRsin为，试证明辐射场的能流密度矢量为S 0 41Po|2sin216 2c5R2cos（kR4 C3Rt）e.cB n解:电偶极子辐射的电场为：_ikR _pe sin（2分）_ikRp e sin4 c2Rer（2分）注意到P0 e，且用实数表示电磁场：（2分）Po|sin4 c3Rcos（kR t）ePo sin c2Rcos（kRt）e（2分）能流密度矢量：（2分）Po2. 2sin16 2c5R22cos （kRt）e e（1分）- 22Po sin16 2c5R2cos2 （kR（2分）Le

11、0四.频率为15X 109Hz的电磁波在2cmx 2cm方形波导管中传播，求:波传播矢量k ; 波导中白波长； 波的相速度.解：1）求波矢量m kxa10 250157（m）;（2分）ky（2分）kz2 I. 2 I. 2 kx ky（2分）2）波长:（2315 10108912）2 （502 kz86.63）波的相速度：v 一kz）286.60.023（m）271.9（m-1）（1分）（2分）（1分）（2分）_ 9215 10986.63.45108（m/s ）（1分）五（13分）介电常数为e 有什么特点.的均匀介质中有电场E0，今在介质中挖一个球形空腔，试求空腔内的电场强度，并说明这电场解

12、:取球心o为坐标原点，选极轴?&外场 E0方向,建立球坐标系.显然，本问题是轴对称的.因为球内外均无自由电荷分布，电势均满足拉普拉斯方程(2分)设球内外的电势分别为1和2考虑到边界条件0时,1有限;时,2 E0Rcos(2分)可取尝试解为：1 a0a1RP1(cos );2E0Rcosb0Rb12 P1 (cos )R(2分)边值关系为：(2分)当R=R0时,即:a0 a1R0P1 (cosE0R0cosb0R0blRi2 Pl (cos )0a1(cos )E0 P1 (cosboR213 P1 (cos )R0利用 Pn(cos ) 的正交性定系数解得a00,b00aibi-E0

13、R30(2分)E°Rcos空腔内的电势:空腔内的电场:22曰品由土20,显然是均强电场。(3分)二.填空题(每小题电动力学期终考试试题D)共20分)1 . 微分 形式的麦克斯韦方程组在两介质的分界面处不再适用2 .良导体的条件为，其物理意义为通过导体的传导电流比位移电流大得多一 13 .电荷和 变化的磁场 都可以够激发电场.t ，则4 .电磁场的势 ，A有规范变换的自由，作变换A A 和E,B描述同一电磁场.5.四维坐标的变换关系是x' a x外，否则就改变了原来的电荷分布12c t26.用电象法解题时，象电荷的位置一定要放在求解电场的区域之3 .（15分）从真空中的场方程及

14、电磁势的定义出发，推导洛伦兹规范下标势所满足的方程解：将电磁势的定义：（2分）代入真空中的场方程：A）即:用洛伦兹条件：t20得:（3分）（3分）（4分）（2分）q，建立坐标系。本题可用电象法解 ，球面上的感应电荷可用两个象电荷c2t4 .（20分）两个相等的点电荷 q相距为2d,在它们中间放置一个半径为R0的接地导体球（如图），求空间的电势分 布及一个点荷所受的力。解:以球心O为坐标原点，选x轴通过点电荷q'1和q”2代替；q'iq'2Ro7q（2分）它们分别位于x球外空间的电势为:a和x a处淇中aR2d（2分）4 01 (x d)2 y2Ro22d) ydjx a

15、)2 y2z24.5.Ro(5分)d(x a)2 y2点电荷q所受的力2 q 0(2d)2qqi4 °(d a)2qq'24 0(d a)2Rd(d2R。2)2Rod2_ 2(d2 R0 )2力的方向，从球心指向点电荷。五.设真空中平面电磁波为：（3分）（1分）H0ei(x ”(eyez）十，求:1)电场强度;2)能流密度矢量S(t)E(3分)解：1）ic.i( x t)H 0e(eyez)i k 0Hk(4分)2)20 Eo2n0(3分)2 0Ho)2e°H；ex0(3分)电动力学期终考试试题（E).填空题（每小题4分，共20分）1.某一区域内的电场分布总是由该区

16、域内的电荷分布及边界条件共同确定.2.3.对于各向同性的非铁磁性介质，D与E, B与H的关系分别是_ D E定态电磁波必须满足亥姆 霍兹方程，除此之外，电场和磁场还必须分另满足对振动电偶极子来说，平均辐射功率P与振动频率的_4_次方成正比，与偶极子振幅的_2_次方成正比 对不同惯性系，电荷是一个恒量.由此可见，当带电体高速运动时，体积变_小_，电荷密度变_大_.106.导体中的电荷密度：0e_t7.对于金属导体，10 /10 F /M ,只要电磁波的周期T>>10-17 s，就可以认为.（13分）已知：AAoei(kr t)i(k r0et).求电磁场E和B,并说明它属什么波型.解

17、：B(2分)i(k r t)e=ik Agei(kri(k rBet 2)t)t)i(k rkAe(2分)(2分)(2分)i(k r0et)t)i(k ret)中krt)(2分)iki(k r0et)i A” t) ( Aoi(k r t _)ok)e 2i（k r t -）Eoe2由上面的计算可见，电场和磁场都是平面电磁波。(2分)(1分)四.（13分）频率为3X 1010Hz的微波在0.7cmx 0.6cm的矩形波导管中能以什么波型传播cmn解：由波导管的截止频率(m)2a彳导:c尸、2 cmn .()2 a()2(5分)已知：a 0.7cm7.0 103m, b0.6cm6.0 10可算

18、出：c10c012a10832 7.0 1021.4109(Hz)(2分)c2b3 10832 6.0 1025109(Hz)(2分)c112ab2.ab23 1082 7.0 10 3 6.010 33 23 2. (7.0 10 )(6.0 10 )33109(Hz)(2分)已知电磁波的频率为：3.0 1010Hz,显然：c10 ,c01 ,c11故此在这波导管中只能以TE10波及TE01波两面种波型传播.（2分）五（13分）在接地的导体平面上有一个半径为a的半球形凸部（半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b（b>a）,试用电象法求空间白电势及点电荷Q所受的力.解:以球心为坐标原点，对称轴为z轴,建立坐标系.本题可用电象法解 用三个象电荷 Q/、Q2'