电磁场与电磁波第三版课后答案

1、求:'-A B所以第一章习题解答1.1给定三个矢量（1） aA ； （2）B和c如下:=ex ey 2 一ez3=-ey 4 - e z=ex5 -ez2；(3) a B ；(4)A - B(7)A g BxC)和(AxB ) C ；(8)( A x B )x C 和Aexey2 _ e3解(1) aA =.A 12 22 ( Q)2=ex(2)(3)(5)(6)(7)(8)1.2(1)(2)A在b上的分量；（6）1一 e . e,.14.1414=(ex + ey 2 -ez3) _(ey4 十ez)=ex ey6 -ez4A= (ex+ ey2 ez3)曾ey4+ ez) = -

2、11cEb=s-11A|b| 乂 1 71/曰得23111s (. -) =135.5.238A在B上的分量Ab = A c o SAB11ey-3一 e z10-2由于B Cex-4-4-2ex 8 ey 5 ez 20-ex10 -ey1 ez43) -(e x8 - e y5 e 20) = T2Y x10 -§1 e z4) g( ex 5 e, 2) = T2e xe ye z-10-1 -4=ex2 ey40 +e z550-2e xe ye z12-3=ex 55 e y 44 ez118520(A B) C =A (B C )=ey2-ez三角形的三个顶点为PJ0,1

3、, -2)、P2(4,1, -3)和 P3® 2, 5)。判断P P P是否为一直角三角形;求三角形的面积。解(1)三个顶点P1(0,1, _2)、P2(4,1, _3)和P3(6, 2, 5)的位置矢量分别为弓=ey ez2 , 2= ex 4 +ey ez3 ,乌=ex6 + ey2 + ez5则R12 = r2 r1 = ex4 e z， R?3 = r 广 r 号 e* 2 + e y+ e z8 ,R3i = l 一 乌-_e*6 一 ey _e J由此可见R12 R23 =(ex4 -e)_(e*2 ey e8) =0故Ap p p3为一直角三角形。(2)三角形的面积1.

4、3 求 p (n,1, 4)12、6 917.13点到P (2, _2, 3)点的距离矢量R及R的方向。rP，= -ex3 + ey + ez4 , rP = ex2 一ey2 十ez3 ,贝 UR pP = r P - r P=e x 5 - e y 3 - ez且RpP与x、y、z轴的夹角分别为i ex Rpp、 =cos ()R pp-ey RPP = cos ()R ppez RppA 1z =cos (_z-) =cos (一 =) =99.73|R PP|,/351.4 给定两矢量 A =ex2 + ey3-ez4和B = e* 4 ey 5 + 6 ,求它们之间的夹角和xyzxy

5、zA在b上的分量。解 A与B之间的夹角为 8AB = cos(A f )=cos(31 )=131： a|bJ29XJ77A在B上的分量为Ab = A目=二3L = -3.532B - 771.5 给定 两矢量 A =ex2 + ey3 ez4 和 B =-ex6 ey4 十ez , 求 Ax B 在C =ex -e +ez上的分量。x y z-一 ex 13e y 22 ez10所以AXB在C上的分量为 (AB) C = (" B C= 25=4 .4 3CJ31.6证明：如果a柬=A和AXB=AXC，贝"B=C；解 由 AXB=AXC，则有 A 乂 ( AXB ) =

6、AX ( AC )，即由于 故(A B ) A - ( A A) B = (A :C ) A - (A 蛆)CA酬=A寥，于是得到(A gA) B= ( A A) CB =C1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢 量。设a为已知矢量， p = A gX而p=AX，P和p已知，试求 x °解 由P=AXX，有A P=A (A X )=( A X ) A - (A 4) X =p A ( A :A) X故得A1.8在圆柱坐标中，一点的位置由(4,3标；(2)球坐标中的坐标。解(1)在直角坐标系中x=4cosh2故该点的直角坐标为(_2,2 J3,3)

7、。(2)在球坐标系中/ 22、r = 43 =5故该点的球坐标为(5,53.1 ,120 )3)定出，求该点在：(1)直角坐标中的坐3)、 & =4sin(2 兀/3) =2 73、 z = 30 = tan 旦(4/3) = 53.1 、* = 2兀/3 =1201.9用球坐标表示的场(1) 求在直角坐标中点(2) 求在直角坐标中点25E =er ,r(_3, 4, -5)处的(_3, 4, -5)处 E与矢量B =ex 2 气2 + ez构成的夹角。xyz(1)在直角坐标中点(3, 4, 5)处，r 2 = (3) 2 + 42 + (5) 2 = 50，故er252 r1 -33

8、a/2E x = e x §E = E cos 0rx x =2 5220(2)在直角坐标中点(3, 4, 一5)处，r=e x3+e y4 e z5 ,所以2525 r-ex3 - ey 4 -ez5E 2 一3 一r r10、 2故e与b构成的夹角为 电=cos(尊)=cos¥)=153.6。 E BE 罩B |3/ 21.10球坐标中两个点(1,0,0)和(2,82,。2)定出两个位置矢量R 1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为cos = cos = cos t|2 - sin sin u2 cos( *1 一 "2) 解由 R 1 =exr1sin61c

9、os 勺 + e yr1sin01sin 勺 +ezr1cos01R2 =exr2sin & cos 2 eyr2sin & sin '2 ezr2 cos得到 cos 丫 =空堂=R i| R2sinu1cos 1 sin & cos2，sin 耳sin1 sin 弓 sin2，coscos 已-sin=sin& (cos 1 cos2二 sin1 sin2) cos =cos& =sin=sin& cos( 1 _2)' cos %cos&1.11一球面s的半径为(er 3 sin ) -d S =s5,球心在原点上，

10、计算：”e3sin0E S的值。s2 二 二d " | 3sin52 sin d=75001.12 在由r =5、z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量A=err2+ ez2z验证散度定理。在圆柱坐标系中1：(rr ) (2 z) = 3r 2r ；:r；:z2 二 5所以4 A d二d z d (3r 2) r d r： 0 '2故有= 1200 二 A dS = _(errSS4 2 二0 0-ez 2z) (ed S e V S . ez d Sz)=5 2 二5d d z | | 2 4r d r d , =12000 0小 d k =1200 二求（1）矢量A 点的

11、一个单位立方体的积分；解（1）咨=g（x ） jx1.13=二 A d S S= exx2 +eyx2y2 +ez 24 x2y 2z3 的散度；(2)求 (3)求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。_ ,22223、c(x y )c(24 x y z )22 2 2=2x，2x y，72x y z :V故有;:z(2)(3)V A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 21 2 1 2:A d . =(2 xJ 2 J 2 J A对此立方体表面的积分 12 121 A d S =()d ydz 一(一二)dS2221 22 1 22x ( ) d x dz -221 222 1324 x

12、 y () d x dy - 22222，2x y¥2x y z-L 2 1 21212 .121 21I - ，A d .=24=A -d SS1.14的积分。1 )d x d y dz - 24y dz"21 221 21 221 22x (-一)d xdz-12-1212122213I | 24 x y ( -一)d xdy2-12-1224计算矢量r对一个球心在原点、半径为又在球坐标系中,a的球表面的积分，并求 密对球体积aa00'、£ =r e d S = d 1S;r23sin d J - 4 二 a(r 2r) =3，所以:r d T1.15

13、 求矢量 A =exx + e 积分，此正方形的两边分别与 验证斯托克斯定理。2 二二 a.= 3r2sin udrd 京d =4二 a30 0 0yx2 + ezy2z沿xy平面上的一个边长为 x轴和y轴相重合。2的正方形回路的线 再求xA对此回路所包围的曲面积分，2.2x xdxi2dy02-0d y =80jy2x=ex 2 yz ez 2x伊2y z2 2所以- c-dA二-c2a-y d 2SSexcy1.17 证明：(1)织=3 ；(2)Vx为 甬矢里。解(1) =d十=3ex0cze xe yez(2)"R =cccGGGexcy&x y y(3)设 a =ex

14、Ax +ey Ay + ezAz ,A=0R =0当£zd；：AyA d S = ez('、(AR) = exa 2 二222S = y d S = r sin rd dr =S0 0；(3)V( A )= A。其中 R=exx+ eyy+ e zZ ,贝 U A= Axx+Ayy +Azz ,故一(AxxAyyAzz) ey (AxxAyyA*:x:y1.18呢？一径向矢量场e ( AxxAy yAzz) = e xAxe yAye z Az = A：zF = er f (r)表示，如果V皆=0 ,那么函数f( r)会有什么特点解在圆柱坐标系中，由可得到一. 1 d'

15、;、T =rf (r) =0r d rCf (r)=一 rC为任意常数。在球坐标系中，由1 d 2' F = r f (r) =0 r d r可得到1.19Cf(r)= r给定矢量函数E =exy+ eyx ,试求从点P1(2,1, -1)到点P2(8, 2,-1)的线积分E d l : (1)沿抛物线x =y2 ； (2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗?解 (1)E 幽 l =Exdx+Eydy=ydx+xdy =如A d S =(e x 2 yzez 2 x) e z d x d y = 8S0 0故有A d l = 8 -A E S1.16求矢量A=ex+%xy 2沿圆周x

16、2+y2 =a2的线积分，再计算v x A对此圆面积 的积分。x y42 一 .2 .、. .- - acos 十 sin ) d =422 ，一 2、_2._2yd(2 y ) 2ydy = 6 ydy = 14(2)连接点Pi(2,1, -1)到点P2(8, 2, 一1)直线方程为x - 2 x - 8= 即x_6y+4=0y -1 y -222E fj cEydy = y d(6 y -4)(6y_4)dy= (12y_4)dy=14由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20求标量函数 甲=x2yz的梯度及枣 在一个指定方向的方向导数，此方向由单位 矢量exL +ey- +ez定出；求

17、(2, 3,1)点的方向导数值。X 50¥ 50 Z . 50''2C 一 2： 一 2V - ex (x yz) ey (x yz) ez (x yz)=:y: z22eyx z ezx y+e三的方向导数为e z 、50226xyz4x z 5x y£l =；-l50, 50. 50点(2, 3,1)处沿el的方向导数值为.甘 361660112= 厂 + 厂 + 厂 =fl . 50. 50,50. 50试采用与推导直角坐标e x2xyz故沿方向e _e 3-e 4e l e x e y 、50.501.21zrM盘zx题1.21图Ax'、:A

18、=一；x公式至 冬相似的方法推导圆柱坐标下的: y ;z、4= !(rAr)4r ；:rr.'.*.'.z解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场表面的通量为i：=：z .z?r =A沿e方向穿出该六面体的f J Ar “+Ar)drd©_ f f Ar zr r d r d ,Z)LLZ.、"疽-zzA-Jo(r ' r) Ar (r r, , z) rA r (r, ', z) -'-z-(人r) :r - :-z -(人r):rr ；:r同理A(r,* . ；3, z) - A .(r,r fl；r中Z =J Az

19、zrdrd 令rAz(r, ',z fz) -Az(r, * z) r 打土 z :':AzAz-r r L-Lz 二:z:z因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为1 f(rAr)：A .?Az."；:r r«.z1 j(rAr)：A4A = lim =二 P 上. r fr rf'fz-r故得到圆柱坐标下的散度表达式1.22 方程u22x y+ - +22a2z给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。_2b c解由于2x=e x 2 a2y b22z2 c=2¥)y 2 z 2'(2 )，(一2 )b c故椭球表面上任意

20、点的单位法向矢量为'、un =Vu1.23现有三个矢量=(ex2 e yaB、 C=er sin J cos ' - ecos cos * e .sin "22=erz sin e z cos？ ez2rz sin一 2_ . .2_=ex(3 y -2x)eyxez2z(1) 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度 表示？(2) 求出这些矢量的源分布。解(1)在球坐标系中1 f 21 f .1f A 2 (r Ar) .(sin AJ 二r:rr sin" r sin j1 f 21.(r sin t1 cos ) (sin

21、 cos ucos )r ；:rr sin u2.cos '2 sin cos * cos 'sin J cos rerr e0r sin He,_ 1? dr2 sin 0c9c*Ar rA0r sin Ba©err12 _ r sine6r sinrt1 cos 'sinI Aeur sin e .磷r cos cos * r sin sin '故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示;在圆柱坐标系中.1_1 ：B _:Bz'、B =(rBr) .r rrr : z故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示;直角在坐

22、标系中e rr e0ezerr e0e z11-rCrc*cr&czBrrB0Bzz2 sin 巾rz 2 cos 82rz sin 巾："2r sin = 2r sinrrB=0'、C-C x ：C y C；：x .:y'(3y2-2x)zjz,2(x )：y' (2 z) =0 .:ze xe yez2jx:-y；：z22一 2xx2z=ez (2 x 6 y)3y故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。 C(2)这些矢量的源分布为 §A = 0， X A里=2r sin 巾, C = 0，勺 XC1.24利用直角坐标，证明=0，X B =

23、0=ez (2x 6y)解在直角坐标中fl :AA 土 f = f；xx-：Ay.:Az；:f;:f卜-+)-(AxAy+yzjx3一'Ay；：fAx) (fAy ) (f;:x:-yfy廿Az )=;z(:：Ax;:x,Az 一fAz )=:z : z(fAx) .工(fAy) . ( fAz)-(fA):-y沱1.25证明I _(A H ) = H 上 A -A ：H解 根据算子的微分运算性质，有1( A H ) = /A ( A H )*4 A H )式中表示只对矢量 a作微分运算，V H表示只对矢量h作微分运算。 由a 5c) = c冬a xb)，可得'、. A( A H ) = H _(A A) = H < A) 同理H (A H ) - A Oh H ) - A 半H )故有-( A H ) = H 方"：A - A H1.26利用直角坐标，证明'、(f G ) = f Y G q f GAcI2I2