系统的时间响应分析

1、第三章系统的时间响应3-1什么是时间响应？答：时间响应是指系统的 响应（输出）在时域上的表现形式或系统的动力学方 程在一定初始条件下的解。3.2时间响应由哪两部分组成？各部分的定义是什么 ？答：按分类的原则不同，时间响应有初始状态为零时，由系统的输入引起的响应零输入响应，即系统的输入为零时，由初始状态引起的响应。按响应的性质分为强迫响应和自由响应。对丁稳定的系统，其时间响应乂可分为瞬态响应和稳态响应。3.3时间响应的瞬态响应反映哪方面的性能？而稳态响应反映哪方面的性能？答：瞬态响应反映了系统的稳定性和响应的快速性两方面的性能；稳态响应反映了系统响应的准确性。3.4设系统的单位脉冲响应函数如下，

2、试求这些系统的传递函数.(1)w(t)=0.0125e25t；(2w()5 10sirb#；t-(3)w(t)=0.1(1-e3);(4)w ( )0. 01解：(1)w(t) = x0(t) = l_T X0(s)G(s)Xj(s)X. (s) =1 iw(t)=L -1 G(s) ,G(s)=L w(t)所以，(1)G(s)=L w(t) =L 0.0125eT.25t = 0.0125-s 1.25G(s) = L w(t)=旦 10L sin(4t ) = 5- 2L sin4t cos4t s2一s2s2s2 16 s2 16 s2s2 16=5、(一广5 2-tdG(s) = L

3、w(t) =L 0.1(1-e3) =0.1 -!11 s+Sj0.1s(3s 1)(4)G(s) = Lw(t)= 10.01町=四s23.5解(1因为一阶系统G(s)= 1解得，T=0.256min.丁 的单位阶跃响应函数为xou(t) = 1-e T(2)因为一阶系统G(s) =_11xor(t)=L 1Ts 1s2Ts 1A _11=AL 11，在输入r(t) =At =10t作用下的时间响应1 T . T2 1s2s U= A(tT T斗)e(t)=r(t)-x (t)=AtorLATQ-e T)-2.56(1_e 0.256)当 t=1min e(t) = 2.53 度3.6解解：

4、(1)该系统的微分方程可以表示为ui = iR uo1 一一Uo = i d tC1其传递函数为G(s) = Uo(S)=_= 1=一-其中 t=RCoUi (s)1 RCs 1 Ts 1RCs1二、，显然，该系统为一阶系统，其单位脉冲响网函数为由(t) = e T ,单位脉冲响应Tt如图(b);其单位阶跃响应函数为xou=1-eT，单位阶跃响应如图(c)；其单t位斜坡响应函数为xo=tT+Te二，单位斜坡响应如图(d)。1(2)标准积分器的传递函数为G(s)= 其中T=RCTs1 t其单位脉伸响网函数为耻(。=；其单位阶跃响网函数为Xou1(t)=；其单位斜t2一 一一 一 ，一、，坡响网函

5、数为Xori(t)=,显然，用图(a)所示网络代替积分器，存在误差e(t)。2T它们分别为：(a) 当输入为单位脉冲函数时1 十e(t) = i(t)-侦)=亍(12丁)1右 t<<T,e(t) - (t) - (t)=亍(1 - e T )=。1 T 11、右 t=T,e(t) =s(t) _ ，(t) = (1 e T) = _(1 _)TT e1 -k 1右 t>>T,e(t) = 1(t)(t)=亍(1 - e )=(b) 当输入为单位阶跃函数时t - e(t) =x°u1(t) x°u(t)=亍 一1 e Tt右 t<<T,e(

6、t) = x°u1(t)-Xou(t) = f-1 e T =。t1右t=T,湘小-编二亍-1 e tt干 1 ,、右 t>>T,e(t) =x°u1(t) f(t) =f-1 e T "t-T)(c) 当输入为单位斜坡函数时e(t) =xo1(t)-xo(t)=2rt T-Te若 t<<T,e(t) =x°r1(t) - x°r(t)=。1、右 t=T,e(t) =x°ri(t) -x°r(t) =T(0.5-)e若 t>>T,e(t) =x°i(t)f (t) =?(0.5t

7、 -T)从以上分析可知，用图(a)所示系统代替积分器时，只能用在t<<T段，才能保 证误差很小。当T增大时，其近似程度提高。3.7已知控制系统的微分方程为2.5y'(t) + y(t)=20x(t)，试用Laplace变换法，求 该系统的单位脉冲W (t)和单位阶跃响应xot),并讨论二者的关系。解：由传递函数的定义和系统的微分方程，可得系统的传递函数为G(S)*=X(s) 2.5s 1 s 0.4系统的单位脉冲响应为 88少tw(t) = LG(s)X(s) =L *1 = L =8es 0.4 s 0.4系统的单位阶跃响应为.81. 11x°u(t) = LG

8、(s)X(s) = L * =20Ls 0.4 s s s 0.411= 20L s s 0.4t 比较w(t)和x°u(t),有w(t) = x°u(t)或xou(t) = f0 w(t)dt o由此可得结论：系统对某种输入的导数的响应等丁系统对该输入的响应的导数；系统对某种输 入的积分的响应等丁系统对该输入饿响应的积分。3.9已知单位反馈系统的开环传递函数为Gk(s)mi求：(1) K=20, T=0.2; (2) K=16, T=0.1; (3) K=2.5, T=1 等三种情况是的单 位阶跃响应。并分析开环增益 K与时间常数T对系统性能的影响。解：由丁单位反馈系统，

9、其前向通道传递函数与开环传递函数相等，所以系统的闭环传递函数为KK叭" K f + l + L T【十ktts+1由丁为一阶系统，故时间常数为 0故单位阶跃响应为K*1K+1K* KMouft）= jv（1-）1VT 1当 K=20, T=0.2 时，uK41W）二土=0.952 （1甘醐）«t1当 K=1.6, T=0.2 时，八 Rir K41知U（t）二己。一t'） =0.615 （1甘以）K+l当 K=2.5, T=1 时，E?K411（1）= （1-B"6） =0.714 （1产）KtI从上面可知：当K值增大时，系统的响应应快速性好；T值减小是，

10、系统的响应 快速性变好。3.11 解解：简化传递函数方框图有供1*（、2瓶+s $_ 时B $ftr +1" + （忒 K产 2 翻"却Kfx Jz2轲+$ ' 2阿+$ 5显然，这是一个简单的二阶系统。无阻尼固有频率为®n,且v 2 2、则，阻尼比为 / 0.5f ，有阻尼固有频率为一 "一 1:3.12图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求:(1) 阻尼比&及无阻尼比固有频率 Wn；(2) 求该系统的Mp, tp, ts和No解：Gk(s)=9s(s 1)H(S)=19s(s+1)=91 9 s2 s 9 s(s 1) .1该

11、系统为一间单的一阶系统，其中 Wn=3s ,-=一6=3Xs-1=2.958s'1。=Wn=0.5=arctan5.916=1.403:=arctan则单位阶跃响应参数ji - Ptr=0.587s兀tp=1.062swdJIMp=ed =0.538=53.8%过度过程时间ts4右/ =2%, ts=8sCTL3右/ =5%,ts=一=6s2Wd振荡次数N. t 2 1 - 2若 =2%, N=3.742 二Wd若 =5%, N=3 =1.5; 1=2.828 32 Wd3.12图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求:(1) 阻尼比£及无阻尼固有频率 仍n ;(2)

12、该系统的m p，tP，ts和N。,、9Gk（S）=击 H =1Gb（s）s(s 1)1 s(s 1)显然，该系统为一简单二阶系统，其中 仍n = 3s阻尼系统22 一，1、-1d = n 1 -=3. 1 -()s61.,& = 1 ,即它是一个二阶欠6_12.958 sg = Econ = 3 尺 1 = 0.5:=arctan(d) = arctan5.916 = 1.403CT上升时间峰值时间最大超调量tr-'d兀tp =二3.14-1.4032.958s = 0.587 s3.142.958s = 1.062 s-() 一 3.14M p = e d = e 2.958

13、= 0.538 = 53.8%则单位阶跃响应参数为过度过程时间若 =2%ts =-s - 8 sts。0.5若 =5%K - - - s - 6 sIs。0.5振荡次数-ts2 一/d若 =2%.2ts21 -N -'-3.7 : 42 -二d=2.82833.13试求下述系统在单位斜坡函数r=t (t>0)输入的响应y(t)和误差函数e(t)。 G(s)='22系件"解：(1) V1 Lr(t)I s_11Y(s)=G(s)/=ns11 T T2+s 1 Ts1 y(t) = l【W -s sTT2T =t-T Te1 Tse(t)=t-y(t)=t-(t-T

14、+TeY(s)=G(s)12 sy(t)=t-t)=T-Te2-'ncc 2.+ 次t(co冲3sgb.2 e=t-+ "n n；1-'2sin(dt+arctan广)(t2 2 -1-0)其中,2 -2 。+2=2arctan2 2-1则 e(t)=t-y(t)="t:sin(dt+2arctan) (t -0)3.15要使图（题3.15）所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等丁25%,峰值时间tp为2秒。试确定K和Kt的值解由图可知系统的传递函数为Gb(s)=1 与(1 KfS)S2S2K Kfs KmK f K则 f = 、K =乂 M ° =

15、e* 登=25% p71：ln M pp)2= 0.4 =2而 tp =2stp p2Wn2 JI= 2.93 = K tp(1 - 2)=2 0.41.71=0.47K =2.93 Kf3.17.单位反馈系统的开环传替函数为:Gk(s)=s(s 1)(s 5)其斜坡函数输入时，系统的稳态误差esS = 0.01 的 k 值。解：由丁是单位反馈系统，esSg,并且该系统为I型系统, ss化有K/5Gk(s)= k s(s 1)(0.2s 1)其增益为K/5在斜坡函数输入时，e = ；g = °=0.01ss ssKK = 5001 、3.18如图(题3.18a)所小系统，已知 Xj

16、(s) = N(s)=，试求输入 XjIs和扰动 N(s)作用下的稳态误差。NQ)解:1 3?+14J十1先求当X|(S) = 0,N(s)#0 时，即N(s)单独作用下的稳态误差eN。此时系统的方框图可以简化为图(题3.18.b)所示。4s 1En(s) =4s 1N(s) (3s 1)(4s 5)N(s)因此，干扰作用下的输出为XoN(s)=(3s 1)(4s 5)由T扰产生的误差为En(s) = Xj(s) - X°N(s)X°N(s)则该误差的稳态值为4s 1因此，输入作用下的传替函数为Xo(s)Xi(s)(4s 5)输入作用下的误差为Ex(s)= Xj(s)*s)

17、1W(s)msEN(s)= - lims (3s 1)(4s 5) s 5再求当 Xs)。, N(s)=0时，即Xi(s)单独作用下的稳态误差6ssxo此时系统的方框图可以简化为图(题 3.18.C)所示。则该误差的稳态值为®ssx1 =lim sEx(s) = lim s4s 5) s 5根据线性系统的叠加原理,系统在输入和干扰共同作用下的误差等丁分别作用下的误差之和，即1 1a 、' + a 、=essX essN -5 5an -1an3-19 .已知单位反馈系统的闭环传递函数为GB(沪厂 a. an，s an求斜坡函数输入和抛物线函数输入时的稳态误差。解：将系统传递函

18、数化为单位反馈形式有Gb(s)=Gk(s)1 GK(s)an -1s ann n -12_sas._an - 2san - 1s an1sn a1snTan - 2 s2即可得Gb(s)=an t anan tsansna1sn1 . an-2s2s2(sn2asn3 .an - 2)可以看出：该系统为型系统，其静态无偏差系数为静态位置无偏差系数为Kp =单位阶跃信号输入时的稳态偏差为静态速度无偏差系数为Kv =单位斜坡信号输入时的稳态偏差为lim°sG(s)H (s)=二i ss = = 0 i - Kplim sG(s)H (s)=二iss = / = 0Kv静态加速度无偏系数为Kv = lim s2G(s)H (s) = s > 0an - 2单位抛物线信号输入时的稳态偏差为；ss 二=-a2Ka an故当斜坡函数输入时，系统静态无偏系数为8,其稳态误差为零;乏，其稳态误差为碧。an -2a入时，系统静态无偏系数为当抛物线输3-20系统的负载变化往往是系统的主要干扰。已知系统如图(题3.20)所示,试分析