理论力学BPPT学习教案

1、会计学1理论力学理论力学B动系svyx定系参考系与运动描述2.坐标系 在参考空间中选定，如直角坐标系、柱坐标系、 球坐标系、自然轴系等。第1页/共66页3.运动的描述运动学-根据已知的运动学量求其他的运动学量（1）矢量法-在参考空间中选定原点，描述物体 任意时刻的矢径 简单、直观，矢量方程，结论只与参考空间有关（2）分析法-建立坐标系，描述物体任意时刻的坐标 复杂，便于上机，标量方程，结论依赖于坐标系由运动方程(含时间)或运动轨迹(不含时间)描述。任意时刻物体中任意质点的空间位置第2页/共66页第3页/共66页 1.1 约束 1.2 广义坐标与自由度 1.3 点的一般运动及其描述 1.4 刚体

2、运动的分类 1.5 刚体的基本运动及其描述第4页/共66页对于一个系统的运动如何描述？第5页/共66页第6页/共66页第7页/共66页第8页/共66页第9页/共66页第10页/共66页 1.1 约束 约束是指物体的运动所受到的几何限制条件。自由物体-运动不受其他物体限制非自由物体-运动受到周围物体限制（1）柔绳约束， 刚性杆约束第11页/共66页(2)光滑面约束第12页/共66页（3）光滑圆柱铰链约束(4)光滑球铰链约束BAC第13页/共66页（5）固定铰支座第14页/共66页（6）活动铰支座第15页/共66页(7)固定端（固支端）约束第16页/共66页 1.2 广义坐标与自由度自由度 S 广

3、义坐标的个数广义坐标qi 确定物体在参考空间中位置的一组独立的几何参数系统中各质点的空间位置是qi的函数，系统中各质点的速度是qi和 的函数，iq 系统中各质点的加速度是qi、 和 的函数iq iq 第17页/共66页 空间运动空间运动 平面运动平面运动 质点质点 自由自由 S=3 S=2 非自由非自由 S3 S2 质点系质点系n个质点个质点 自由自由 S=3n S=2n 非自由非自由 S3n S2n刚体刚体无穷多质点无穷多质点 自由自由 S=6 S=3 非自由非自由 S6 S 0 a当 指向未知时假设 的指向为aaaea 0 假设方向对a 0，则假方向设正确，若F0FF0F完全未知 建立坐标

4、系xyz，分解为zyxaaaa则 为已知方位，未知指向和大小zyxaaa,第31页/共66页3.矢量分析运动学中，常有矢量函数)(taa(1)矢量的导数ttattadtadt)()(lim0（2）矢量的微分 ，常矢量 dtdtadad0ad（3）矢量微分的运算规则，若)(),(taatmm332211332211332211)()()()()()()()(edaedaedaedaedaedaadtetatetatetataadmadmamd若则第32页/共66页 1.3 点的一般运动及其描述一、点的运动的矢量描述，矢量法研究对象：点M，选定参考空间及一参考点OMr)(trr点的运动方程 （1.

5、1）点的运动轨迹 - 的矢端图r1.点的运动方程2.点的速度、加速度（1.2）rdtrdv速度大小 ： ，速度方向：沿轨迹切线， 指向运动方向dtr dvv1v2v3v第33页/共66页 （1.3）rdtvda 加速度大小 加速度方向：速度矢端图的切线方向rva 注意： 都与参考空间有关)(),(),(tatvtr二、点的运动的坐标描述，分析法选定参考空间，建立坐标系（直角坐标系或其他）运动方程运动轨迹x=x(t)y=y(t) (1.4） z=z(t)平面运动第34页/共66页M为非自由质点，S=2，可选择广义坐标(t),(t)x=x( (t),(t) )y=y( (t),(t) ) (1.5

6、)z=z( (t),(t) )OAB速度 (1.6) zvyvxvzyx加速度 (1.7)zzyyxxvzavyavxa 第35页/共66页矢量法与分析法的关系位置： （1.8）ktzjtyitxtr)()()()(速度：kvjvivkdtdzjdtdyidtdxdtrdtvzyx)(（1.9）加速度：kajaiakzj yi xdtvdtazyx )(（1.10）三、建立点的运动方程的方法（1）建立坐标系，明确研究对象，自由度，选定广义坐标（多数选题中已给定随时间变化规律的几何参数）。（2）将点的坐标表示为广义坐标的函数，并将广义坐标随 时间变化的规律代入。（3）进一步，由运动方程求导可求速

7、度、加速度。第36页/共66页例1.2解：研究对象为小环M（质点）M的自由度为1，选广义坐标为 （1）将参考空间与大圆环固连，建立坐标系Oxy运动方程xM=OMcos =2Rcos cos =R(1+ cos 2 t ) yM=OMsin =2Rcos sin =Rsin2 t 相对于大圆环的速度tRyvtRxvMMyMMx2cos22sin2OO1xyxyBM小环M同时套在直杆OB和大圆环（半径为R）上，大圆环固定不动，直杆绕O轴定轴转动， t , 分别求小环相对于大圆环和直杆的速 度、加速度。第37页/共66页相对于大圆环 的加速度tRvatRvaMyMyMxMx2sin42cos422小

8、环相对于大圆环：)2sin2(cos4)2cos2(sin22j ti tRaj ti tRvMM22,2tan1tan222ttvvRvvvvMxMyvMyMxMttaaRaaaaMxMyaMyMxM2,2tantan4222相对于大圆环的速度tRyvtRxvMMyMMx2cos22sin2OO1xyxyBM第38页/共66页相对于直杆的加速度0cos22MyMyMxMxvatRva小环相对于直杆：i tRai tRvMMcos2sin22相对于直杆的速度0sin2MMyMMxyvtRxv（2)将参考空间与直杆固连，建立坐标系Oxy运动方程0cos2MMytROMxOO1xyxyBM第39页

9、/共66页小环相对于直杆：i tRai tRvMMcos2sin22OO1xyxyMBMvMa2=2tMvMa22,2tan1tan222ttvvRvvvvMxMyvMyMxMttaaRaaaaMxMyaMyMxM2,2tantan4222小环相对于大圆环第40页/共66页绳的一端连在小车的A点上另一端跨过B点的小滑轮绕在鼓轮C上，滑轮离地的高度为h。若小车以匀速度v沿着水平方向向右运动，求当 时B、C之间绳上一点P的速度和加速度。45hPCABxv第41页/共66页PvlPalsinxltanxh几何关系：2secv hsincospvvl2sincospvvcoshlcoslvsin2/2

10、pvvv2232cos4vvhhcospav对时间求导hPCABxvPvl第42页/共66页1.4 自然轴系（弧坐标系）当点M在一条上运动时，常选择该曲线作为自然坐标轴描述M的运动。一、自然轴系的建立，运动方程，运动轨迹设已知点M的运动轨迹为空间曲线，其方程为f1(x,y,z)=0f2(x,y,z)=0 (1.11）选择曲线上的弧长S为广义坐标：任选曲线上一点，。O1S(+)S(-)MS S=S(t) (1.12)第43页/共66页空间曲线的密切面第44页/共66页二、关于曲线几何性质的预备知识设空间曲线上任意一点P1.切线PT: 单位矢 ，正向为S正向tedsrdet（1.13）2. 法平面

11、：过P点垂直于切线的平面3. 密切面：过P点的切线PT，且与法平面垂直4. 主法线PN：密切面与法平 面的交线，单位矢 ，正 向为指向曲线曲率中心ne 即P点的弧段ds所在平面，对平面曲线，密切面就是曲线ds所在的平面。构成P点的自然轴系基矢bneee,从切面5.副法线PB：垂直于PT与PN，单位矢为 ， bentbeee(1.14)第45页/共66页注意：自然轴系基矢量 ，但bneee,第46页/共66页可视为切线 绕副法线 的转角tebe6. 曲率曲率-曲线在P点处无限小弧段ds(位于密切面内)的弯曲程度dSdSkslim0(1.15)曲率半径ddSk1（1.16） tenenete第47

12、页/共66页1sset(1.18)三、点的速度、加速度在自然轴系中的投影点的运动方程 S=S(t)点的速度 (1.19)te sdtdsdsrddtrdv00bntvvsv(1.20) tenenetete第48页/共66页点的加速度ntntnttttttaaesesse sesdtdsdsedsesdtedsese sdtddtvda 21)(1.21)ntedsed1(1.18)曲率半径ddSk1（1.16）第49页/共66页点的加速度ntntnttttttaaesesse sesdtdsdsedsesdtedsese sdtddtvda 21)(1.21)022bntavsasa (1.

13、22)沿该点切线方向沿该点主法线方向位于该点密切面内切向加速度全加速度ta法向加速度ana第50页/共66页22vsavsant anatavssv第51页/共66页若已知v(t), a(t),则22tntaaava 四、其他坐标系 柱坐标、球坐标、极坐标（参见教科书）全加速度的大小222222tan)(ssaassaaantnt 方向为全加速度矢量与主法向的夹角anatavs第52页/共66页例1.3同例1.2，试求小环的速度、加速度在自然轴系中的投影。 已知 （1）t (2) A sin t 1）当t 运动方程S(t)=M0M=2R= 2Rt 方向如图tteRvRsvv22 方向如图222

14、22440RRRvsavsant nneRaa24OO1xyB解：小环相对于固定参考空间的轨迹为大圆环，取t=0时小环的位置M0为原点，逆时针方向S为正。va第53页/共66页OO1xyB2)当A sin t S(t)=2R2RA sin t tARtRARvatARsvatARsvvntt222222222cos4cos4sin2cos2 nttaaae tARvcos2vatana第54页/共66页需要注意的几个问题3、解题过程一定要速度、加速度方向和符 号。2、速度、加速度均为矢量，一定要表 示清楚其和。第55页/共66页 1.4 刚体运动的分类1. 平移(平动)刚体上任意一条直线在运动中始终平行。各点的轨迹都相同（各点的速度、加速度都相同）。第56页/共66页2.定轴转动刚体内或延伸部分始终存在一根固定不动的直线，各点（除转轴上各点外）的轨迹为大小不同的圆周。第57页/共66页3.平面运动刚体上各点轨迹均为平面曲线，并且这些曲线所在平面相互平行。AAv第58页/共66页4.定点运动刚体上或其延拓部分始终存在一个且只有一个静止不动的点。第59页/共66页5.一般运动自由刚体的运动。第60页/共66页 1.5 刚体的基本运动及其描述一、平移刚体上各点的速度、加速度OxyzArBrBArABBAABrrrBArAB平移：AB