函数定义域的类型和求法

1、函数定义域的类型和求法函数定义域的类型和求法1.1.当函数是整式时例如当函数是整式时例如 那么函数的定那么函数的定义域是实数集义域是实数集R R。2.2.如果函数中含有分式如果函数中含有分式, ,那么函数的分母必须不为零。那么函数的分母必须不为零。3.3.如果函数中含有偶次根式如果函数中含有偶次根式, ,那么根号内的式子必须那么根号内的式子必须不小于零。不小于零。4.4.零的零次幂没有意义零的零次幂没有意义, ,即即f(xf(x)=x)=x0 0，x0 x0。5.5.对数的真数必须大于零。对数的真数必须大于零。6.6.对数的底数满足大于零且不等于对数的底数满足大于零且不等于1 1。2( )1f

2、 x x x 求函数定义域注意以下几点：求函数定义域注意以下几点：一、常规型一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法即给出函数的解析式的定义域求法, ,其解法是由解析其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组, ,解此解此不等式不等式( (或组或组) )即得原函数的定义域。即得原函数的定义域。例例1求函数求函数 8|3x|15x2xy2的定义域。的定义域。 解解:要使函数有意义要使函数有意义,则必须满足则必须满足 08|3x|015x2x2由由解得解得x-3或或x5 由由解得解得x5或或x-11 由由和和求交集得求交集得x-3且且x-11或或

3、x5 故所求函数的定义域为故所求函数的定义域为x| x-3且且x-11x|x5。例例2 求函数求函数 2x161xsiny的定义域。的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足解：要使函数有意义，则必须满足 0 x160 xsin2由由解得解得2kx+2k,kZ 由由解得解得-4x4 由由和和求公共部分，得求公共部分，得-4x-或或0 x故函数的定义域为故函数的定义域为(-4,-(0, 和和怎样求公共部分？你会吗？怎样求公共部分？你会吗？.1x1xlg)x(g)4(; )1x2(lg)x( f )3(;x4lg3x2x)x( f )2(;)4x(1xx21)x( f121o2 ）（求求函函数数的

4、的定定义义域域练练习习(-2,-11,2)(2x4且且x3（1/2,1X1/10,且且x1）二、抽象函数型二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。(1)已知已知f(x)的定义域的定义域,求求fg(x)的定义域。的定义域。其解法是其解法是:已知已知f(x)的定义域是的定义域是a,b求求fg(x)的定义域的定义域是解是解ag(x)b,即为所求的定义域。即为所求的定义域。例

5、例1 已知已知f(x)的定义域为的定义域为2,2,求求f(x2-1)的定义域。的定义域。解：令解：令-2x2-12，得，得-1x23，即，即0 x23，因此因此 3|x|0，从而，从而 3x3故函数的定义域是故函数的定义域是 3x3|x（2）已知）已知fg(x)的定义域，求的定义域，求f(x)的定义域。的定义域。其解法是：已知其解法是：已知fg(x)的定义域是的定义域是a，b，求，求f(x)定定义域的方法是：由义域的方法是：由axb，求，求g(x)的值域，即所求的值域，即所求f(x)的的定义域。定义域。例例2 已知已知f(2x+1)的定义域为的定义域为1,2,求求f(x)的定义域。的定义域。解

6、：因为解：因为1x2,22x4,32x+15.即函数即函数f(x)的定义域是的定义域是x|3x5。(3)已知已知f(2x-1)的定义域是的定义域是0,1,求求f(3x)的定义域。的定义域。解解:因为因为0 x1,02x2,-12x-11.所以函数所以函数f(3x)的定义域是的定义域是-13x1即即 x|-1/3x1/3。例例4 若若f(x)的定义域为的定义域为3，5,求求g(x)f(x)f(x2)的定义域的定义域解：由解：由f(x)的定义域为的定义域为3,5，则，则g(x)必有必有23535xx ,即即 5355xx 解得解得 - x 55所以函数所以函数g(x)的定义域为的定义域为 , 55

7、例例5 已知函数 8mmx6mxy2的定义域为的定义域为R求实数求实数m的取值范围。的取值范围。 分析：函数的定义域为分析：函数的定义域为R，表明，表明mx2-6mx+8+m0，使，使一切一切xR都成立，由都成立，由x2项的系数是项的系数是m，所以应分，所以应分m=0或或m0进行讨论。进行讨论。解：当解：当m=0时，函数的定义域为时，函数的定义域为R；当当m0时，时，mx2-6mx+8+m0是二次不等式是二次不等式,其对一切实其对一切实数数x都成立的充要条件是都成立的充要条件是 206480()()mmm m 01m综上可知综上可知0m1。注注:不少同学容易忽略不少同学容易忽略m=0的情况的情况,希望通过此希望通过此例解决问题。例解决问题。例例6 已知函数 3kx4kx7kx)x( f2的定义域是的定义域是R，求实数，求实数k的取值范围。的取值范围。 解解:要使函数有意义要使函数有意义,则必须则必须kx2+4kx+30恒成立恒成立,因为因为f(x)的定义域为的定义域为R,即即kx2+4kx+3=0无实数根无实数根当当k0时，时，=16k2-43k0,即即x2-2x-30，解得，解得