江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第6章

1、第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 6.1 状态观测器的基本概念状态观测器的基本概念 6.2 全维闭环状态观测器全维闭环状态观测器 6.3 降维状态观测器降维状态观测器 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 6.4 基于观测器的状态反馈系统基于观测器的状态反馈系统 6.5 Kx函数观测器函数观测器 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 2. 2. 全维闭环状态观测器全维闭环状态观测器 3. 3. 降维状态观测器降维状态观测器 1. 1. 状态观测器的基本概念状态观测器的基本概念 4. 4. 基于观测器的状态反馈系统基于观测器

2、的状态反馈系统 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 重点重点： 5. Kx5. Kx函数观测器函数观测器 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 在系统综合中利用状态反馈，可实现极点配置，从而在系统综合中利用状态反馈，可实现极点配置，从而改善系统性能；可对系统进行镇定，使不稳定系统成为稳改善系统性能；可对系统进行镇定，使不稳定系统成为稳定；可对系统进行解耦，使相互耦合的定；可对系统进行解耦，使相互耦合的MIMO系统变成多系统变成多个相互独立的个相互独立的SISO系统；在最优控制中，状态反馈还可用系统；在最优控制中，状态反馈还可用来使系统某个性能指标达到最优。实

3、现状态反馈的前提条来使系统某个性能指标达到最优。实现状态反馈的前提条件是要获得系统的状态变量，但在实际中，由于设备和物件是要获得系统的状态变量，但在实际中，由于设备和物理条件的限制，状态变量往往难以直接被测量到。于是，理条件的限制，状态变量往往难以直接被测量到。于是，就需要人们设法用其它方法间接地获得系统的状态变量，就需要人们设法用其它方法间接地获得系统的状态变量，其途径之一是构建一个附加的系统来对实际系统的状态变其途径之一是构建一个附加的系统来对实际系统的状态变量进行重构。这种用来对状态变量进行重构的附加系统称量进行重构。这种用来对状态变量进行重构的附加系统称之为状态观测器或者状态估计器。之

4、为状态观测器或者状态估计器。 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 设线性时不变系统的状态方程为：设线性时不变系统的状态方程为： 6.1 状态观测器的基本概念状态观测器的基本概念 , 0t 0 x = Ax +Bu, x(0) = xy = Cx式中：式中：x 为为 n 维状态向量；维状态向量；u 为为 p 维控制输入向量；维控制输入向量；y 为为q 维输出向量。维输出向量。(1) 从输出方程从输出方程 yCx 可以看到，如果可以看到，如果 C 是非奇异方阵，是非奇异方阵，则则 C 的逆存在，由于的逆存在，由于 C 已知，而输出变量已知，而输出变量 y 易测量

5、，于是，易测量，于是，由由 xC1 y 即可求得状态变量。但是即可求得状态变量。但是,一般情况下输出变量一般情况下输出变量数目少于状态变量数目数目少于状态变量数目,即即 ptt( )0t x 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 然而，实际应用中，开环状态观测器存在着一定的问然而，实际应用中，开环状态观测器存在着一定的问题。首先，开环状态观测器在每次使用时，都要设置一次题。首先，开环状态观测器在每次使用时，都要设置一次初始值，这是极不方便的。其次，更重要的是，系统中总初始值，这是极不方便的。其次，更重要的是，系统中总存在着各种干扰，观测器初始状态也不可能设置的

6、完全准存在着各种干扰，观测器初始状态也不可能设置的完全准确。于是，状态估计误差就按照确。于是，状态估计误差就按照 的规律变的规律变化，如果化，如果 A 的特征值全为负实部，则的特征值全为负实部，则 将随时间按指数将随时间按指数规律衰减为零，即规律衰减为零，即 。但是，若。但是，若 A 有正的特有正的特征值，则即使很小的初始误差，征值，则即使很小的初始误差， 也将随时间越来越大也将随时间越来越大，或者，或者，A 的一部分特征值离虚轴较近，即使误差会随时的一部分特征值离虚轴较近，即使误差会随时间衰减，但衰减速度很慢，也不能满足需要。间衰减，但衰减速度很慢，也不能满足需要。 0()0( )t tet

7、Axx( ) tx lim ( )( )tttxx ( ) tx 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 要获取状态变量进行状态反馈的目的往往是由于要获取状态变量进行状态反馈的目的往往是由于A有正的特征值需对系统进行镇定，或是特征值离虚轴较有正的特征值需对系统进行镇定，或是特征值离虚轴较近，需要改变其位置以提高性能。另外，系统的数学模近，需要改变其位置以提高性能。另外，系统的数学模型也会存在偏差或在工作过程中产生摄动漂移，于是，型也会存在偏差或在工作过程中产生摄动漂移，于是，仅仅利用系统的数学模型和输入变量所构成的开环状态仅仅利用系统的数学模型和输入变量所构成的

8、开环状态观测器在实际应用中是难以满足需求的。利用反馈原理观测器在实际应用中是难以满足需求的。利用反馈原理，使状态观测器具有闭环性质，能够克服干扰和模型不，使状态观测器具有闭环性质，能够克服干扰和模型不准确引起的偏差，使状态估计值更好的逼近实际系统的准确引起的偏差，使状态估计值更好的逼近实际系统的状态值，这就形成了具有实际应用价值的所谓闭环状态状态值，这就形成了具有实际应用价值的所谓闭环状态观测器。观测器。 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 6.2 全维闭环状态观测器全维闭环状态观测器 前述的开环状态观测器只用到系统的输入信号对原系统前述的开环状态观测器只用

9、到系统的输入信号对原系统进行模拟复制，并没有利用原系统的输出信息。由经典控制进行模拟复制，并没有利用原系统的输出信息。由经典控制理论可知，引入负反馈可抵抗干扰影响，使被控制量更好的理论可知，引入负反馈可抵抗干扰影响，使被控制量更好的逼近输入量。在状态观测器中，我们可以把逼近输入量。在状态观测器中，我们可以把 x 看作是观测器看作是观测器的参考输入，而把的参考输入，而把 看作是观测器的输出量，从而利用状态看作是观测器的输出量，从而利用状态反馈来使反馈来使 跟踪跟踪 x 。可惜的是虽然。可惜的是虽然 可以获取，而可以获取，而x 却无法却无法取得。但是原系统的输出是可以获得的，而系统的输出是系取得。

10、但是原系统的输出是可以获得的，而系统的输出是系统状态变量的线性组合，如果统状态变量的线性组合，如果 能逼近能逼近x ，则，则 也将逼也将逼近近 ，因此可用，因此可用 替代进行状态替代进行状态反馈控制。反馈控制。 x x x xy = Cxy = Cxy = y-y = Cx-Cx = Cx第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 构成的闭环状态观测器的结构如下图所示。构成的闭环状态观测器的结构如下图所示。 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 在上图中增加了一个前向增益矩阵在上图中增加了一个前向增益矩阵M，它可被用来，它可被用来对

11、状态观测器的极点进行配置，使观测器的动态性能符对状态观测器的极点进行配置，使观测器的动态性能符合设计要求。由图所给出的结构，可列出闭环状态观测合设计要求。由图所给出的结构，可列出闭环状态观测器的动态方程：器的动态方程： x = Ax +My +Bu = Ax +My -MCx +Bu= (A-MC)x +My +Buy = Cx(5) 由式由式(5)可看出状态观测器的系统矩阵为可看出状态观测器的系统矩阵为 ，人为的改变人为的改变M，可改变观测器的极点位置，从而获得所，可改变观测器的极点位置，从而获得所需的观测器动态性能。需的观测器动态性能。 (A-MC)第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江

12、苏大学电气学院江苏大学电气学院 下面具体考察影响估计误差的因素和的变化规律。式下面具体考察影响估计误差的因素和的变化规律。式(5)与式与式(2)相减得：相减得： x = x-x = Ax +Bu-(Ax +MCx-MCx +Bu) = (A-MC)x(6) 根据式根据式(6) ，按照线性时不变系统零输入响应的求解方，按照线性时不变系统零输入响应的求解方法，可求得估计误差法，可求得估计误差 的动态变化规律为：的动态变化规律为：( )x t0()0( )( )t ttet(A-MC)xx(7) 将式将式(7)与式与式(4)进行比较可看出，因为引入了反馈和增进行比较可看出，因为引入了反馈和增益矩阵益

13、矩阵M，闭环状态观测器的动态特性由，闭环状态观测器的动态特性由(AMC)的特征的特征值所决定。由此，可选取适当的值所决定。由此，可选取适当的M，使，使(AMC)的特值位的特值位于于 S 左半平面并离虚轴足够远，使左半平面并离虚轴足够远，使 以足够快的速度趋以足够快的速度趋近于零，从而满足系统对状态估计误差收敛速度的要求。近于零，从而满足系统对状态估计误差收敛速度的要求。( ) tx 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 定理定理6.2.1 对于连续时间线性时不变系统对于连续时间线性时不变系统 0t 0 x = Ax+Bu, x(0) = x ,y = Cx其全

14、维闭环状态观测器其全维闭环状态观测器x = Ax+My +Bu = (A-MC)x+My +Bu可任意配置极点的充分必要条件是被观测系统完全能观测。可任意配置极点的充分必要条件是被观测系统完全能观测。 根据这一定理，只要选择适当的根据这一定理，只要选择适当的M，就可使估计误差，就可使估计误差以足够快的速度趋近于零，也就是说，不管状态观测器的以足够快的速度趋近于零，也就是说，不管状态观测器的初始状态如何，状态观测器所重构的状态变量初始状态如何，状态观测器所重构的状态变量 终将逐渐终将逐渐趋近于实际状态趋近于实际状态 x ，所以，这样的状态观测器也称之为渐，所以，这样的状态观测器也称之为渐进状态观

15、测器。该性质也使其在实际使用中毋需设置初始进状态观测器。该性质也使其在实际使用中毋需设置初始状态。状态。 x第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 值得一提的是，虽然值得一提的是，虽然 (AMC) 特征值的负实部离虚特征值的负实部离虚轴越远，轴越远， 逼近逼近 x 的速度越快，但特征值离虚轴越远，系的速度越快，但特征值离虚轴越远，系统对外界的噪声也越敏感，超调也会增加甚至使观测器统对外界的噪声也越敏感，超调也会增加甚至使观测器饱和。所以特征值位置的选择应考虑被观测系统本身对饱和。所以特征值位置的选择应考虑被观测系统本身对速度要求综合配置。速度要求综合配置。 x

16、此定理实际上也给出了全维状态观测器的设计计算方此定理实际上也给出了全维状态观测器的设计计算方法。首先根据系统速度要求，确定观测器的期望特征值，法。首先根据系统速度要求，确定观测器的期望特征值， ，进而采用极点配置算法计算，进而采用极点配置算法计算 M ，使得：，使得： 12,n (), =1,2,iiinAC M求出求出M后，即可构成闭环状态观测器：后，即可构成闭环状态观测器：x = (A-MC)x+My +Bu(8)第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 定理定理6.2.2 对于式对于式(1)所示系统，要使式所示系统，要使式(9)中的中的 z 为为Tx的估的估

17、计，并由式计，并由式(10)获得状态获得状态 x 的估计的估计 ，其充分必要条件是：，其充分必要条件是：（1）TAFT=GC，T非奇异；非奇异；（2）HTB；（3）F 的全部特征值具有负实部。的全部特征值具有负实部。 x 全维状态观测器的另一种设计方法是，先对被观测系全维状态观测器的另一种设计方法是，先对被观测系统进行非奇异变换统进行非奇异变换 ，再从形式上列出类似于式，再从形式上列出类似于式(8)的观测器方程。的观测器方程。 zTx其中：其中：F，G，H分别为分别为nn，nq，np 的待定常数矩的待定常数矩阵。对阵。对 Z 进行估计，然后再取反变换。进行估计，然后再取反变换。z = Fz +

18、Gy + Hu(9)1xTz得到得到 x 的估计值的估计值 。 x(10)第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 6.3 降维状态观测器降维状态观测器 前面的全维状态观测器是构造一个和原系统同阶的模拟前面的全维状态观测器是构造一个和原系统同阶的模拟系统把被观测系统的所有状态都重构出来。然而稍加分析便系统把被观测系统的所有状态都重构出来。然而稍加分析便知，重构所有的状态变量是有冗余的。因为系统的输出是状知，重构所有的状态变量是有冗余的。因为系统的输出是状态变量的线性组合，实际上只需要通过线性变换即可从输出态变量的线性组合，实际上只需要通过线性变换即可从输出变量中直

19、接获得一部分状态变量。设系统是变量中直接获得一部分状态变量。设系统是n阶，有阶，有q个独立个独立输出变量，即输出变量，即rankCq，则经过非奇异线性变换后，可直，则经过非奇异线性变换后，可直接获得接获得q个状态变量。于是，只需构建一个个状态变量。于是，只需构建一个nq阶的状态观阶的状态观测器对剩下的状态变量进行估计即可，这就是降维观测器。测器对剩下的状态变量进行估计即可，这就是降维观测器。降维观测器不仅降低了状态观测器的维数使之在物理上更易降维观测器不仅降低了状态观测器的维数使之在物理上更易实现，而且通过线性变换所获得的一部分状态变量，不存在实现，而且通过线性变换所获得的一部分状态变量，不存

20、在动态跟踪过程，这部分状态变量的动态估计误差也得以减小。动态跟踪过程，这部分状态变量的动态估计误差也得以减小。 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 设式设式(1)所示的系统完全能观测，所示的系统完全能观测， ，如果，如果rankC=q , 则可以找到一个线性变换则可以找到一个线性变换: 或着或着 ，使得：，使得： q nCx = Px-1x = P x = Qx1 0q qCQCPCI (11)q qq q112xy = I 0 x = I 0 xx其中其中 ，从而有：，从而有： 1xq可见，可见，q个输出表示的是经过变换的个输出表示的是经过变换的q个状态变

21、量个状态变量 ，因此，因此，只需用观测器对剩下的只需用观测器对剩下的 nq 个状态变量个状态变量 进行估计，即进行估计，即可得到全部状态变量，此处的变换矩阵只需取为：可得到全部状态变量，此处的变换矩阵只需取为： 1x2x第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 CP =R即可满足即可满足 1 0q qCPI其中，其中，R为能使为能使P满秩的任意满秩的任意(nq)n 实阵，这是因为实阵，这是因为1111() () q qn qn qI 0CCPPP=PR0 IRP再来讨论再来讨论(nq)维状态观测器的构建，用线性变换维状态观测器的构建，用线性变换 ，将方程将方程(1

22、)变换成变换成x = Pxq q-1-1-1x = PAP x+PBuy = CP x = CP x = I 0 x记记 :1APAPBPB1CCP并将上式写并将上式写成分块形式成分块形式 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 0q q 1111211222212211122xA AxB=+u xxBA Axxy = C= I= xxx或写成两个子系统的形式或写成两个子系统的形式11111221221122221x = A x + A x + B ux = A x + A x + B uy = x 1112212222212222212y = A y + A

23、x +B uyx = A x +A y +B u = A x + A Bu整理得：整理得：(12)第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 分别记分别记212 BAB yu =u111y = y- A y-B u则式则式(12)可写成可写成2222122x = A x +B uy = A x(13) 由于由于 和和 都已知，都已知，y 和和 u 均可获得，所以可获得均可获得，所以可获得 、 和和 。于是，式。于是，式(13)在形式上，构成了一个以在形式上，构成了一个以 为为状态变量状态变量( nq) 阶系统，由于所观测的系统是完全能观阶系统，由于所观测的系统是完全

24、能观的，所以其任何子系统也完全能观，即式的，所以其任何子系统也完全能观，即式(13)所示的系统所示的系统是能观的。于是，可按前述全维状态观测器构造方法构造是能观的。于是，可按前述全维状态观测器构造方法构造一个一个(nq) 维的渐进状态观测器对状态变量维的渐进状态观测器对状态变量 进行估计。进行估计。即存在一个即存在一个 和如下形式的和如下形式的(nq) 状态观测器。状态观测器。 21A2BBuy2x2xM第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 222122x = (A-MA )x +My +B u并且，借助于选取适当的并且，借助于选取适当的 可任意配置可任意配置

25、 的极点。的极点。 2212AMAM(14)式式(14)中，虽然中，虽然 和和 可由已知的可由已知的 u 和和 y 获得，但获得，但 的表的表达式中有达式中有y 的导数项，实现起来需要微分器，纯粹的微分的导数项，实现起来需要微分器，纯粹的微分器在物理上是难以实现的，即使是近似的微分器也容易引器在物理上是难以实现的，即使是近似的微分器也容易引起高频干扰。实际上，可采用变换的方法消去起高频干扰。实际上，可采用变换的方法消去 ，为此，为此，再来考察式再来考察式(14)的展开式，将的展开式，将 uyyy 212 BAB yu =u111y = y- A y-B u代人式代人式(14)得得2221221

26、11212x = (A-MA )x +My- M A y-MB u+ A y +B u第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 经整理，得经整理，得222122211121x -My = (A-MA )x +(A- M A )y +(B -MB )u由此可见，如果把由此可见，如果把 看作一个整体进行估计，则可消看作一个整体进行估计，则可消去去 ，为此可定义：，为此可定义：2x -Myy (15) 22z = x -Myz = x -My(16)将式将式(16)代入式代入式(15)，得，得221221112122122212211121z = (A-MA )(z+M

27、y)+(A- M A )y +(B -MB )u= (A-MA )z+ (A-MA )M+(A- M A ) y +(B -MB )u 这是以这是以 y 和和 u 作为输入，以作为输入，以 z 为状态变量的（为状态变量的（nq）维动态系统。在此系统中，获得维动态系统。在此系统中，获得 z 后再由式后再由式(16) ，可得，可得 。 2x = z+My第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 1-1-12xx = P x = Px12yxx =xMy + z最后，再与最后，再与 所获得的所获得的 合在一起构成全部被估合在一起构成全部被估计的状态变量：计的状态变量：

28、11x = x1y = x若再进行反变换若再进行反变换 可得到原系统所有状态变量。实际上，可得到原系统所有状态变量。实际上，在全反馈应用中，因为在全反馈应用中，因为 和和 x 等价，等价，可直接用可直接用 进行状态反馈，不必再反进行状态反馈，不必再反变换求取变换求取x。 xx令令 ：112QPQ则降维状态观测器的结构可由下图所示。则降维状态观测器的结构可由下图所示。 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 上述讨论中，取变换矩阵上述讨论中，取变换矩阵 将状态变量组合的将状态变量组合的q个分个分量作为量作为 直接从直接从 y 输出，而用降维观测器对输出，而用降维观

29、测器对(nq) 个不可个不可直接测量的状态变量作为直接测量的状态变量作为 进行估计。也可取进行估计。也可取 将将q 个分量作为个分量作为 从从 y 输出，而对输出，而对 进行状态估计。进行状态估计。 CP =R1x2xRP =C2x1x第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 【例例6.3.1】 给定系统的传递函数为给定系统的传递函数为:1( )(1)(2)g ss ss(1) 确定一个全维状态观测器，并使观测器的特征值均为确定一个全维状态观测器，并使观测器的特征值均为-5；(2) 确定一个降维状态观测器，并使其特征值均为确定一个降维状态观测器，并使其特征值均为-

30、5。解：系统的特征多项式为解：系统的特征多项式为32( )(1)(2)32ss sssss将系统按能控标准型实现，得将系统按能控标准型实现，得01000010 , 1000231uy xxx（1）设计全维状态观测器）设计全维状态观测器期望的观测器特征多项式为期望的观测器特征多项式为 *332( )(5)1575125sssss第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 12312332112123010det()det00110002310det123(3)(32)(23)smssmsmsmmsmssmsmmsmmm A-mC与期望特征多项式比较系数得与期望特征多项

31、式比较系数得112123315327523125mmmmmm解方程组得解方程组得123710Tm第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 全维状态观测器的状态方程为全维状态观测器的状态方程为()01012012 00137100037023101101210012 37010371023110uyuyuy xAmC xBmxx（2）设计降维状态观测器）设计降维状态观测器本题中，令本题中，令 001010100_RxPxxxC则有则有 1001010100P第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 1122222233123001320

32、1 10000100 xxxxuxxxxux -11111AAPAP x + Pbu =PAA123001xxx-1y = cP x由此可知由此可知 可直接从输出变量可直接从输出变量 y 获得，降维状态观测器所获得，降维状态观测器所需估计的状态分量为需估计的状态分量为 和和 ，由方程可知，由方程可知3x1x2x 111221223 20AA0 1 , 0 1 0 0 AA，第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 需估计的状态分量动态方程为需估计的状态分量动态方程为123 21 1 0 0 xux 依题意可知降维状态观测器的期望特征多项式为依题意可知降维状态观测器

33、的期望特征多项式为*22( )(5)1025ssss设设 12mmm则有则有 112232m32m()0 110m1m 2111A-mA于是于是1221221232mdetdet(m3)3mm21msssss11I-(A-mA )比较系数知：比较系数知： 2m310213mm225解得解得 ：2m71m2第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 于是降维状态观测器的方程式为：于是降维状态观测器的方程式为：121212()() ()() ()()341 170zuyzyuyxuyxxux 1121121222112111211212221121121222A -mA

34、zB -mBA-mA+(A -mA )mA -mAzmB -mBA-mAA -mAB -mBA-mA其中其中 1122327xzyyxzyyxyzm解毕解毕第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 对应于对应于定理定理6.2.2 所述的全维状态观测器第二种算法，所述的全维状态观测器第二种算法，降维状态观测器的设计也有类似的第二种设计方法，可由降维状态观测器的设计也有类似的第二种设计方法，可由如下定理给出。如下定理给出。定理定理6.3.2 对于式对于式(1)所示的完全能观测系统所示的完全能观测系统(A, B, C)，其中，其中, rankC=q，构造，构造(nq)

35、维线性时不变系统。维线性时不变系统。z = Fz +Gy + Hu(17)其中，其中，F，G和和H分别为分别为nn，nq，np 的待定常数矩的待定常数矩阵。式阵。式(17) 可用作式可用作式(1) 的降维数状态观测器的充分必要的降维数状态观测器的充分必要条件是，存在一个条件是，存在一个(nq)n的满秩矩阵的满秩矩阵T，使得，使得CPT 为非奇异为非奇异第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 此定理所给出的降维观测器所满足的条件，也同时此定理所给出的降维观测器所满足的条件，也同时就是计算状态观测器各个矩阵系数的方法。设计观测器就是计算状态观测器各个矩阵系数的方法。

36、设计观测器时，根据性能要求，确定时，根据性能要求，确定F，取一个，取一个T矩阵使得矩阵使得且成立：且成立： （1）TAFT=GC；（；（2）HTB；（3）F的全部特征值具为负实部。的全部特征值具为负实部。由此可得被观测状态的估计值为由此可得被观测状态的估计值为:非奇异，再由定理中的条件（非奇异，再由定理中的条件（1）和（）和（2）求出）求出G 和和 H，即可由式即可由式 (17) 和式和式 (18) 构成构成 (nq) 维状态观测器。维状态观测器。CT P1 yx = Pz(18)第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 6.4 基于观测器的状态反馈系统基于观测器

37、的状态反馈系统 前一章讨论的状态反馈是在状态变量可直接测量的基前一章讨论的状态反馈是在状态变量可直接测量的基础之上的。当状态变量不能直接获取时，要实现状态反馈，础之上的。当状态变量不能直接获取时，要实现状态反馈，就要用状态观测器对系统的实际状态进行估计，并用状态就要用状态观测器对系统的实际状态进行估计，并用状态变量的估计值替代实际状态变量来实现状态反馈。然而，变量的估计值替代实际状态变量来实现状态反馈。然而，前述状态反馈是针对真实状态而设计的，用估计的状态来前述状态反馈是针对真实状态而设计的，用估计的状态来替代实际状态实现状态反馈和用真实的状态有些什么异同替代实际状态实现状态反馈和用真实的状态

38、有些什么异同呢？下面就来讨论这一问题。呢？下面就来讨论这一问题。 为使系统能控能观的，其中为使系统能控能观的，其中A，B，C分别为分别为nn，np和和qn维常阵。维常阵。 设被观测的受控系统设被观测的受控系统x = Ax + Buy = Cx(19)第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 按前一章的讨论，可用状态反馈控制律按前一章的讨论，可用状态反馈控制律u vKx实实现系统特征值的任意配置，如果现系统特征值的任意配置，如果x不能直接获取，要实现不能直接获取，要实现状态反馈，就要构建一个状态观测器对状态反馈，就要构建一个状态观测器对x进行估计。下面进行估计。下面

39、以全维状态观测器来讨论观测器和状态反馈组合的复合系以全维状态观测器来讨论观测器和状态反馈组合的复合系统，降维观测器同理。设全维观测器的状态方程为统，降维观测器同理。设全维观测器的状态方程为 : x = (A-MC)x+My +Bu y = Cx(20)其中，其中，M是是nq 矩阵。如果用观测器的状态矩阵。如果用观测器的状态 替代替代x， 采用控制律采用控制律 xu = v-Kx 构成状态反馈系统，由此构成由状态观测器和原被观测构成状态反馈系统，由此构成由状态观测器和原被观测的受控系统组合而成的复合系统，如下图所示。的受控系统组合而成的复合系统，如下图所示。第第6 6章章 状态观测器状态观测器

40、江苏大学电气学院江苏大学电气学院 图图4 带有状态观测器的状态反馈控制系统结构带有状态观测器的状态反馈控制系统结构 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 将原系统和观测器系统组合在一起，并且其输入输出将原系统和观测器系统组合在一起，并且其输入输出信号也相互连接，相互关联，由此自然会想到三个问题：信号也相互连接，相互关联，由此自然会想到三个问题：（1）用）用 替代替代 x 后仍按照真实状态进行反馈设计，所配后仍按照真实状态进行反馈设计，所配置的极点是否一样？置的极点是否一样？ （2）状态观测器的特征值与状态反）状态观测器的特征值与状态反馈所配置特征值是否相互影响

41、？（馈所配置特征值是否相互影响？（3）系统增加了观测器）系统增加了观测器后，对其传递函数矩阵有什么影响？下面来进行具体的分后，对其传递函数矩阵有什么影响？下面来进行具体的分析。析。 x令估计误差令估计误差 ，则其被观测系统状态方程为，则其被观测系统状态方程为x = x-xx = Ax-BKx+Bv = Ax-BK(x-x)+Bv = (A-BK)x+BKx+Bvy = Cx(21)第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 观测器状态方程为观测器状态方程为 x = (A-MC)x +My +Bu = (A-MC)x +MCx +B(v -Kx) = (A-MC)x

42、+MCx +B(v -Kx) = (A-MC-BK)x +MCx +Bv y = Cx将将 代入上式，得代入上式，得 x = x-x x-x = (A-MC-BK) x-x +MCx+Bv（）再将式再将式(21)代入上式，得到观测器估计误差代入上式，得到观测器估计误差 的动态方程为的动态方程为x x = (A-BK)x+BKx+Bv-(A-BK -MC) x-x -MCx-Bv = (A-MC)xy = Cx（）(22)第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 用用 替代替代 x 进行状态反馈，闭环系统相当于多了一个进行状态反馈，闭环系统相当于多了一个等效的输入驱

43、动项等效的输入驱动项 ，它是由观测误差引起的。而闭，它是由观测误差引起的。而闭环系统的系统矩阵与直接用实际状态进行状态反馈所得到环系统的系统矩阵与直接用实际状态进行状态反馈所得到的闭环系统是一样的，仍然是的闭环系统是一样的，仍然是 ，特征值仍由，特征值仍由K来来任意配置，且极点配置过程和结果都与用真实状态反馈一任意配置，且极点配置过程和结果都与用真实状态反馈一样的，不受状态观测器的影响。样的，不受状态观测器的影响。 xBKx ()ABK 由式（由式（22）也可看出，观测器的状态）也可看出，观测器的状态 被用来反馈到被用来反馈到被观测系统的输入端后，观测器误差的动态方程和未实施被观测系统的输入端

44、后，观测器误差的动态方程和未实施反馈前的误差动态方程是一样的，其系统矩阵仍然是反馈前的误差动态方程是一样的，其系统矩阵仍然是，也就是说，仍然可，也就是说，仍然可M对观测器进行任意极点配置，且极对观测器进行任意极点配置，且极点配置过程和结果也一样。点配置过程和结果也一样。 xAMC第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 上述两点说明，基于观测器的状态反馈，其反馈闭环上述两点说明，基于观测器的状态反馈，其反馈闭环的极点和观测器的极点可按照真实状态反馈一样分别独立的极点和观测器的极点可按照真实状态反馈一样分别独立进行任意配置，互不影响。进行任意配置，互不影响。 从从

45、的动态方程可知，选择的动态方程可知，选择M使观测器的特征值在负使观测器的特征值在负半半 s 平面离虚轴足够远，则平面离虚轴足够远，则 按照按照的规律迅速趋于零。因此式（的规律迅速趋于零。因此式（21）中的）中的 项只在系统项只在系统初始的一段时间内起作用。而随着时间的推移，初始的一段时间内起作用。而随着时间的推移， 衰减衰减到可忽略不计。随后的动态运行规律和真实状态反馈系统到可忽略不计。随后的动态运行规律和真实状态反馈系统的状态动态是一样的，完全由被观测系统的特征值和输入的状态动态是一样的，完全由被观测系统的特征值和输入驱动所确定。驱动所确定。 x x0()0( )( )t ttet(A-MC

46、)xxBKx BKx 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 xA-BK BKxB =v 0 A-MCx0 xx y = Cx = C 0 x 还可以将被观测系统和观测器系统合并起来看成一个还可以将被观测系统和观测器系统合并起来看成一个2n阶的复合系统来进行考察。将式（阶的复合系统来进行考察。将式（21）和（）和（22）合并在）合并在一起，其状态方程为：一起，其状态方程为：由此得整个复合系统的特征多项式为由此得整个复合系统的特征多项式为 det 0 detdetsssABKBKIAMCIABKIAMC(23)第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院

47、江苏大学电气学院 由此可见，整个系统的特征值集合是由此可见，整个系统的特征值集合是ABK的特征的特征值集合与值集合与AMC的特征值集合的并集，状态观测器的特的特征值集合的并集，状态观测器的特征值不受其反馈的影响。在特征值配置方面，状态反馈征值不受其反馈的影响。在特征值配置方面，状态反馈的设计和状态观测器的设计可以各自独立的进行。该性的设计和状态观测器的设计可以各自独立的进行。该性质通常被称为卡尔曼分离特性。质通常被称为卡尔曼分离特性。 再来考察用状态观测器估计的状态实现状态反馈后整再来考察用状态观测器估计的状态实现状态反馈后整个系统从输入个系统从输入v 到输出到输出 y 的传递函数矩阵。的传递

48、函数矩阵。 由式由式(23)，令，令 0 ABKBKAAMC0 BB 0CC将将 ， ， 代入传递函数阵的计算式，并根据分块矩阵代入传递函数阵的计算式，并根据分块矩阵的求逆公式，可得的求逆公式，可得 ABC第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 11111( )()() 0 0 sI()0() ()sI()= 00 0 sI() ssssss GC IABIABKBKBCAMCBIABKIABKBKAMCCAMCCI1K()( ) sABKBG 上式表明，用估计状态构成的全状态反馈系统的传递上式表明，用估计状态构成的全状态反馈系统的传递函数与没有状态观测器而直接

49、用真实状态的全状态反馈系函数与没有状态观测器而直接用真实状态的全状态反馈系统的传递函数是一样的。也就是说，从输入统的传递函数是一样的。也就是说，从输入v到输出到输出y的传的传递函数矩阵中，没有任何状态观测器的痕迹。递函数矩阵中，没有任何状态观测器的痕迹。 第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 用用 替代替代 x 后，其闭环系统的动态方程和真实状态反后，其闭环系统的动态方程和真实状态反馈的闭环系统动态方程是有差异的，两者似乎有矛盾。这是馈的闭环系统动态方程是有差异的，两者似乎有矛盾。这是因为传递函数的计算假设了所有的初始状态都为零，故有因为传递函数的计算假设了所

50、有的初始状态都为零，故有 ，这意味着对所有的，这意味着对所有的t 0有有 ，从，从这个意义上讲，式这个意义上讲，式(21) 多出的一项多出的一项 被忽略。实际上，被忽略。实际上，即使输入状态不等于零，即使输入状态不等于零， 也随时间很快衰减到可以忽略也随时间很快衰减到可以忽略不计的很小值。其衰减的速度取决于观测器的特征值，特征不计的很小值。其衰减的速度取决于观测器的特征值，特征值的负实部离虚轴越远，则值的负实部离虚轴越远，则 趋近于趋近于x的速度越快，当然观的速度越快，当然观测器的特征值负实部离虚轴太远将引起观测器的反馈增益值测器的特征值负实部离虚轴太远将引起观测器的反馈增益值M变大并会在瞬态

51、响应中有较大的振荡幅度，甚至使观测器变大并会在瞬态响应中有较大的振荡幅度，甚至使观测器出现饱和。当特征值趋于负无穷时，观测器的作用就像微分出现饱和。当特征值趋于负无穷时，观测器的作用就像微分器，从而对噪声比较敏感。一般情况，根据经验，可取器，从而对噪声比较敏感。一般情况，根据经验，可取AMC的特征值比的特征值比ABK的特征值快的特征值快23倍。倍。 x x(0)x(0)0 tt x( ) = x( )BKx BKx x第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 【例例6.4.1】 根据例根据例6.3.1所设计的全维状态观测器和降维状所设计的全维状态观测器和降维状态观

52、测器，（态观测器，（1）设计带有观测器的状态反馈系统，使闭环）设计带有观测器的状态反馈系统，使闭环系统的极点为系统的极点为3 和和 ；（；（2）求出闭环传递函数；）求出闭环传递函数；（3）分别画出带全维观测器和降维观测器的状态反馈闭环）分别画出带全维观测器和降维观测器的状态反馈闭环系统结构图。系统结构图。1322j解：（解：（1）仍然按照例）仍然按照例6.3.1进行能控标准型实现进行能控标准型实现01000010 , 1000231uy xxx依题意知期望特征多项式为依题意知期望特征多项式为*321313( )(3)()()4432222sssjsjsss第第6 6章章 状态观测器状态观测器 江苏大学电气学院江苏大学电气学院 引入状态反馈引入状态反馈 123ukkk x1233 421 431kkk则应有则应有224k 334k 13 k 于是求得状