大学物理第5章刚体转动

1、第五章第五章刚体的转动刚体的转动（Rotation of Rigid Body）质点（质点（particle）考虑质量，没有考虑形状和大小考虑质量，没有考虑形状和大小刚体（刚体（rigid body）在外力作用下，在外力作用下，物体的形状和物体的形状和大小不发生变化大小不发生变化说明说明:1) 理想化的力学模型理想化的力学模型2) 任何两点之间的距离保持不变任何两点之间的距离保持不变3) 刚体刚体特殊的质点系特殊的质点系刚体的概念是由欧拉引入的。刚体的概念是由欧拉引入的。18世纪瑞士学者世纪瑞士学者欧拉欧拉把牛顿第二定把牛顿第二定律推广到刚体，他应用三个欧拉律推广到刚体，他应用三个欧拉角来表示

2、刚体绕定点的角位移，角来表示刚体绕定点的角位移，又定义转动惯量，并导得了刚体又定义转动惯量，并导得了刚体定点转动的运动微分方程。这样定点转动的运动微分方程。这样就完整地建立了描述具有六个自就完整地建立了描述具有六个自由度的刚体普遍运动方程。对于由度的刚体普遍运动方程。对于刚体来说，内力所做的功之和为刚体来说，内力所做的功之和为零。因此，刚体动力学就成为研零。因此，刚体动力学就成为研究一般固体运动的近似理论。究一般固体运动的近似理论。 欧拉（ LonHard Euler ） 瑞士数学家及自然科学家。 欧拉函数(n)另成数论的一分支。 至年。51 刚体转动的描述刚体转动的描述（Fixed-axis

3、 Rotation of Rigid Body）一、刚体运动一、刚体运动平动平动( (Translation)刚体运动刚体运动的分类的分类 转动转动( (Rotation) ) 定轴转动定轴转动定点转动定点转动复杂复杂运动运动平面平行运动平动平面平行运动平动+ +定轴转动定轴转动一般运动平动一般运动平动+ +定点转动定点转动1 1、平动、平动(Translation)刚体中所有点的运动轨迹完全相同刚体中所有点的运动轨迹完全相同平动平动特点特点（1）任意两点间的连线总是平）任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线行于它们的初始位置间的连线（2）平动时质元的位置矢量不）平动时质元的位置矢量

4、不同，但位移完全相同同，但位移完全相同（3）在任意时刻各个质点的速）在任意时刻各个质点的速度和加速度都相同度和加速度都相同（4）刚体内任何一个质点的运）刚体内任何一个质点的运动都可以代表整个刚体的运动动都可以代表整个刚体的运动2 2、转动、转动(Rotation)刚体中所有的点都绕同一直线刚体中所有的点都绕同一直线(转轴转轴)做圆周运动做圆周运动. 瞬时转轴：瞬时转轴：转轴随时间变化转轴随时间变化 一般转动一般转动固定转轴：固定转轴：转轴不随时间变化转轴不随时间变化 刚体定轴转动刚体定轴转动定轴转动的特点：定轴转动的特点：各质点都在垂直于轴的平面内作圆周各质点都在垂直于轴的平面内作圆周运动转动

5、平面，各质点的轨迹是半运动转动平面，各质点的轨迹是半径大小不一的圆周，圆心在轴线上径大小不一的圆周，圆心在轴线上各质点有相同的角位移、角速度和角各质点有相同的角位移、角速度和角加速度，但其线量大小与其作圆周运动加速度，但其线量大小与其作圆周运动的半径有关的半径有关在同一时间内各质点转过的圆弧长度在同一时间内各质点转过的圆弧长度不同，但矢径在相同的时间内转过的角不同，但矢径在相同的时间内转过的角度相同度相同 OvP,rr定轴定轴刚体刚体 参考方向参考方向zO 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+3 3、刚体的一般运动、刚体的一般运动二、刚体转动的角量描述二

6、、刚体转动的角量描述1、角位置（角坐标）、角位置（角坐标） angular position OvP,rr定轴定轴刚体刚体 参考方向参考方向zq约定约定r沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 r沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 )()(tttqqq2、角位移（、角位移（angular displacement） 刚体刚体定轴定轴转动（一维转转动（一维转动）的转动方向可以用动）的转动方向可以用角速度的正负来表示角速度的正负来表示 .00 在在冲击冲击等问题中等问题中L常量常量有许多现象都可以用角动量守恒来说明有许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰花样滑冰mm1r2r跳水运动跳水运动员跳水员跳水

7、例例: :有一子弹有一子弹,质量为质量为m,以水平速度以水平速度v射入杆的下端而射入杆的下端而不复出不复出,求杆和求杆和子弹开始一起运动时的角速度子弹开始一起运动时的角速度?mv0解解: : 碰撞时间很短碰撞时间很短, ,考虑：考虑：杆和子弹组成的系统动量守恒杆和子弹组成的系统动量守恒?系统对轴系统对轴O O角动量守恒角动量守恒! !M.lO 2031Mlmlvmlv lv lvMmm033 请考虑如果子弹穿出或反弹的情形。请考虑如果子弹穿出或反弹的情形。例例:大圆盘大圆盘M,R. 人人m.二者最初都相对地面静止二者最初都相对地面静止.当人沿当人沿盘边缘行走一周时盘边缘行走一周时,求盘对地面转

8、过的角度求盘对地面转过的角度?解解: : 以盘以盘+ +人人 系统系统对竖直轴的外力矩对竖直轴的外力矩=0=0系统对轴的角动量守恒系统对轴的角动量守恒. .0 II2221MRImRI q q与与 分别表示人和盘对地面发生的角位移分别表示人和盘对地面发生的角位移tddq q tdd o tMRtmRdd21dd22 q q q q q q022021dddtdMRtmR Mm21q q人在盘上走一周时人在盘上走一周时 q q2 222 Mmm这是一道角动量守恒这是一道角动量守恒+ +相对运动的题型，请大家注相对运动的题型，请大家注意方法，并与动量守恒意方法，并与动量守恒+ +相对运动题型的比较

9、。相对运动题型的比较。0 II2221MRImRI o 例例 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并并背离点背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率小虫应以多大速率向细杆端点爬行向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmml

10、lmvl0712 v 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒l0712 v由角动量定理由角动量定理tJtJtLMzzddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22q即即考虑到考虑到tq)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg质点直线运动质点直线运动刚体定轴转动刚体定轴转动位置矢量位置矢量角位置角位置位移位移角位移角位移速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质量质量转动惯量转动惯量力力力矩力矩牛顿运动定律牛顿运动定律转动定律转动定律动量动量角动量角动量冲量冲量冲

11、量矩冲量矩动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定角动量守恒定律律x12xxxdtdxv dtdva FmamFvmPdtFI12PPIConstP0,F12dtd dtd 2iirmJFrMJMzzJL dtM12LLdtMConstL0,M质点直线运动质点直线运动刚体定轴转动刚体定轴转动功功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能动能定动能定理理转动动能定理转动动能定理 rdFA2KmvE21k12kEEAqddddttrFsFrFAqddMA 21dqqqMA力矩的功力矩的功orvFxvFoxrtFrdqd说明：说明：力矩作功的实质是力作功力矩作功的实质是

12、力作功用力矩的角位移来表示用力矩的角位移来表示一一 力矩作功力矩作功二、力矩的功率二、力矩的功率1、定义：、定义：单位时间内力矩对刚体所作的功单位时间内力矩对刚体所作的功2、公式、公式tAPdd3、意义、意义表示力矩对刚体作功的快慢表示力矩对刚体作功的快慢功率一定时，转速越大，力矩越小功率一定时，转速越大，力矩越小 转速越小，力矩越大转速越小，力矩越大qqMtMtMPdddd三、刚体的转动动能三、刚体的转动动能质元质元mi距转轴距转轴 ri速度为速度为vi=ri动能为动能为2222121 iiiikirmvmE 刚体的动能为各个质元动能之和刚体的动能为各个质元动能之和 22222121 iii

13、ikikrmrmEE用转动惯量表示用转动惯量表示221 JEk刚体绕定轴转动的转动动能刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。度的平方的乘积的一半。四、刚体绕定轴转动的动能定理四、刚体绕定轴转动的动能定理合外力矩合外力矩M角位移为角位移为d合外力矩所作的元功为合外力矩所作的元功为 qddMA qqd dddddddJtJtJAtJJMdd0d dJAA2022121JJA刚体绕定轴转动的动能刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对绕定定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功轴转动的刚体所作的功等于刚体的转动动能的等于刚体的转动动能的增量。增量。

14、hhihcxOmCm一一个质元：个质元：iighmiiiPhgmE重ciiimghhmg)(整个刚体：整个刚体：一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。集中在质心时所具有的势能。4 4、机械能守恒、机械能守恒对于含有刚体的系统对于含有刚体的系统, ,如果在运动过程中只有保守内如果在运动过程中只有保守内力作功力作功, ,则此系统的机械能守恒。则此系统的机械能守恒。 五、刚体的重力势能五、刚体的重力势能质点直线运动质点直线运动刚体定轴转动刚体定轴转动功功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能动能定理动能定理转动动能定转

15、动动能定理理rdFA2KmvE21k12kEEAdMA2KJE21k12kEEAvoqvoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒 .角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒 .圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒 .讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计 例例1 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动 . 一质

16、量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内距支点为点为 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少 ?vamm 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的过程系统角动量守恒子弹射入竿的过程系统角动量守恒)31(22malmamvoamv302233malmamvoamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统 ，机械能守恒，机械能守恒 .2233m

17、almamvLoq q例。例。一长为一长为L L，质量为，质量为m m的匀质杆竖直立在地面，下的匀质杆竖直立在地面，下端点由一水平轴端点由一水平轴O O固定固定. .在微扰动作用下以在微扰动作用下以O O为轴为轴倒下倒下. .求求: :当杆与竖址方向成当杆与竖址方向成 q q 角时，对轴的角角时，对轴的角速度速度 q q = = ？（？（三种方法求解三种方法求解）解：解：先求在任意角先求在任意角q q 时杆对时杆对O点的力矩点的力矩(重力矩重力矩)。质量元：质量元：xLmmdd gmG ddq q q q sind)sin(ddxgLmxGxMq qq qsin21dsin0mgLxxgLmM

18、L dmxGd质量元对轴的力矩为质量元对轴的力矩为q q M是变力矩，是变力矩，由由刚体定轴转动瞬时作用定律：刚体定轴转动瞬时作用定律：q q sin23lgIM(变角加速度变角加速度)q q q q q q ddddddddtt q q q qq q 00dsin23dlg)cos1(3q q Lg进而可由进而可由 q qq q q q00)(ddtt积分求出积分求出)(tq q又解：又解：由由转动动能定理解转动动能定理解。先求在任意角先求在任意角q q 时杆对点时杆对点O O的力矩的力矩( (重力矩重力矩) )由转动动能定理由转动动能定理 KEMdq q021dsin2120 q qq q

19、 q qJmgL.Lcoxq qq q sin21mgLM)cos1(3q q LgcpmghE 刚体的重力势能与它的质量集中刚体的重力势能与它的质量集中在质心时的势能相同在质心时的势能相同. .Lcoq qhc)cos1(21q q mgLhc021cos1(212 q qJmgL）又解又解: :用用机械能守恒机械能守恒来解。来解。)cos1(3q q Lg请比较这三种解法，要求掌握这三种方法，显然请比较这三种解法，要求掌握这三种方法，显然最后一种用能量守恒是最简单的。最后一种用能量守恒是最简单的。q qL/2L/2hc习题课习题课刚体的转动惯量：刚体的转动惯量：2iirmJdmrJ2平行轴

20、定理：平行轴定理：2mdJJc外力对转外力对转轴的力矩轴的力矩iiizFrMJM 刚体转动的描述：刚体转动的描述：角量：角量：线量：线量：角量与线量的关系：角量与线量的关系：22dddtdtq2nt,rara 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理1221dJJtMttz刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理tJtLMzzzd)(ddd动量守恒定律动量守恒定律0M常量JL，若若刚体转动的功和能：刚体转动的功和能：21qqqMdA221JEkcpmghE 转动动能定理转动动能定理2022121JJA说明：说明： 粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）

21、形状的刚体，要把它们看成一个刚体，不要分开考虑。的刚体，要把它们看成一个刚体，不要分开考虑。不不同同。和和的的均均相相同同，但但不不同同半半径径处处和和它它们们的的a orR处处：如如图图，在在 rrart:R处处在在RaRt用一根绳连接两个或多个刚体时，要把刚体分开用一根绳连接两个或多个刚体时，要把刚体分开考虑。考虑。1o2o1R1M2M2R1m2m 加加速速度度和和线线速速度度相相同同；同同一一根根绳绳上上各各点点的的切切向向1ABCD DaCaBaAatttt DCBA（2） 跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张 力不相等；力不相等；DBATTTCBTT 但但

22、（3） 两个圆盘的角速度和角加速度不相等。两个圆盘的角速度和角加速度不相等。21211m2mrR例例1：如图所示，两个同心圆盘结合在一如图所示，两个同心圆盘结合在一起可绕中心轴转动，大圆盘质量为起可绕中心轴转动，大圆盘质量为 m1、半径为半径为 R，小圆盘质量为，小圆盘质量为 m2、半径为、半径为 r，两圆盘都用力两圆盘都用力 F F 作用，求角加速度。作用，求角加速度。F FF F解：解：以以 m1、 m2 为研为研究对象，它们有共同究对象，它们有共同的角加速度，只有的角加速度，只有 F F、F F 产生力矩。产生力矩。)(21JJFrFR由圆盘的转动惯量：由圆盘的转动惯量：21121RmJ

23、22221rmJ21JJFrFR2221)(2rmRmrRFMmrRF FF F例例2：光滑斜面倾角为光滑斜面倾角为 q，顶端固定一半，顶端固定一半径为径为 R ，质量为，质量为 M 的定滑轮，质量为的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面下滑，求下滑，求: :下滑的加速度下滑的加速度 a 。qRM,m解：解：物体系中先以物体系中先以物体物体 m 研究对象，研究对象，受力分析受力分析, ,maTmgqsing gmT Tx在斜面在斜面 x 方向上方向上补充方程补充方程Ra联立三个方程求解：联立三个方程求解：Mmmga2sin2q221MRJ定滑轮可

24、视为圆盘，定滑轮可视为圆盘，转动惯量转动惯量JJTR以滑轮为研究对象以滑轮为研究对象qRM,mg gmT Tx例例3：在光滑水平桌面上放置一个静止的在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为质量为 M、长为、长为 2l 、可绕中心转动的细、可绕中心转动的细杆，有一质量为杆，有一质量为 m 的小球以速度的小球以速度 v0 与杆与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度速度 v 及杆的转动角速度及杆的转动角速度 。0v vmlM2 ,o解：解：在水平面上，在水平面上，碰撞过程中系统角碰撞过程中系统角动量守恒，动量守恒，LL0Jmlvmlv0（1）弹性碰撞机械能守恒，弹性碰撞机械能守恒，2220212121Jmvmv（2 2）联立联立(1)、(2)式求解式求解mMvMmv3)3(0lmMmv)3(60注意没有关系：注意没有关系：lv0v vmlM2 ,o题题4、一轻绳绕过一半径为、一轻绳绕过一半径为R，质量为，质量为m/4的滑轮。质量为的滑轮。质量为m的人的人抓住了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为抓住了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为m/2的重物，如图的重物，如图所示。求当人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？所示。求当人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？解：解：选人、滑轮与重物为系统选人、滑轮