大学物理第一章质点运动学

1、第一章质点运动学第一章质点运动学本章内容本章内容 位矢、位移、运动方程、速度、位矢、位移、运动方程、速度、加速度。加速度。 直线运动、抛射体运动、圆周直线运动、抛射体运动、圆周运动、曲线运动。运动、曲线运动。 相对运动。相对运动。1 11 1质点运动的描述质点运动的描述一参考系、质点、时间和时刻一参考系、质点、时间和时刻 1 1参考系参考系自然界中所有的物体都在不停地运动，绝对静自然界中所有的物体都在不停地运动，绝对静止的物体是不存在的，这就是止的物体是不存在的，这就是运动的绝对性运动的绝对性。但是。但是对于对于运动的描述却是相对的运动的描述却是相对的。为了描述物体的运动。为了描述物体的运动，

2、必须选择另一物体作为参考标准，这个被选作参，必须选择另一物体作为参考标准，这个被选作参考的物体叫做考的物体叫做参考系参考系。 在运动学中参考系的选取是任意的。同一个物在运动学中参考系的选取是任意的。同一个物体的运动，在不同的参考系中看来是不同的。这叫体的运动，在不同的参考系中看来是不同的。这叫运动的相对性。运动的相对性。 2 2质点质点 当物体的大小和形状对所讨论的问题来说影响当物体的大小和形状对所讨论的问题来说影响不大时，就可忽略物体的大小和形状，把物体当成不大时，就可忽略物体的大小和形状，把物体当成只有质量的一个点，称为只有质量的一个点，称为质点质点。一个物体是否可以。一个物体是否可以抽象

3、为质点，应根据问题的性质而定。抽象为质点，应根据问题的性质而定。 3 3时间和时刻时间和时刻 任何物体的运动都是在时间和空间中进行的，任何物体的运动都是在时间和空间中进行的，运动不能脱离空间也不能脱离时间。在物理学中与运动不能脱离空间也不能脱离时间。在物理学中与一个过程对应的一个过程对应的时间间隔称为时间时间间隔称为时间，而，而某一瞬时称某一瞬时称为时刻为时刻。 其大小为其大小为222zyxr方向余弦为方向余弦为rzryrxcos,cos,cos1 1、坐标系与位置矢量、坐标系与位置矢量 用来确定质点在某一时刻位置的矢量叫做质点用来确定质点在某一时刻位置的矢量叫做质点的的位置矢量位置矢量，简称

4、，简称位矢位矢。引入引入kjir zyxkji,rijk二、坐标系、位置矢量、运动方程、位移二、坐标系、位置矢量、运动方程、位移 2、运动学方程和轨道方程、运动学方程和轨道方程质点在空间中运动时，位矢将随时间变化。质点在空间中运动时，位矢将随时间变化。kjirr )()()()(tztytxt分量式分量式)(),(),(tzztyytxx称为质点的称为质点的运动学方程运动学方程。 运动质点在空间所经过的路径，叫做运动质点在空间所经过的路径，叫做轨道轨道。从运动学方程中消去时间对数从运动学方程中消去时间对数t t 后可得到后可得到轨道方轨道方程程0),(zyxF3 3、位移与路程、位移与路程 位

5、移位移是描述质点是描述质点位置矢量改变位置矢量改变的物理量。与质点的物理量。与质点运动状态变化相对应。运动状态变化相对应。t 时刻时刻： P点点 ，r(t)t+ t 时刻时刻：P1点，点，r(t+ t)t到到t+ t 时间时间内位矢的增量内位矢的增量 kjyixr rr zttt)()(为质点在为质点在 t 到到 t+ t 这一段时间内的这一段时间内的位移。位移。其大小为其大小为222zyxr路程与位移的区别路程与位移的区别 路程是质点在路程是质点在t t内走过的内走过的轨道的长度轨道的长度s s ，是，是标量，而位移是标量，而位移是t t内位矢的变化量，它和位矢均为内位矢的变化量，它和位矢均

6、为矢量。矢量。 位移的大小是质点实际移动的直线距离，也与路位移的大小是质点实际移动的直线距离，也与路程程s s不同。运动员在跑道上跑完一圈又回到起点时，不同。运动员在跑道上跑完一圈又回到起点时，走过的走过的路程为路程为400400米而位移米而位移=0=0。 仅当仅当t t00时，无穷小的位移大小才与路程相等。时，无穷小的位移大小才与路程相等。dsrdSr1r2r三、速度与速率三、速度与速率设一质点在设一质点在t 时间内从右图中时间内从右图中P点点运动到运动到Q点，发生位移点，发生位移r ，定义：，定义：平均速度：平均速度：r1r2rOvPQ rvtrrt12瞬时速度瞬时速度，简称，简称速度：速

7、度：tt0tdrdrvlim速度方向沿轨道切线方向速度方向沿轨道切线方向，其大小称为，其大小称为速率：速率：dtdStStt ddvttlimlim00rrv在三维直角坐标系中在三维直角坐标系中kdtdzjdtdyidtdxdtrdv另一方面另一方面kvjvivvzyx比较上两式有：比较上两式有：dtdzvdtdyvdtdxvzyx,因而因而速率：速率： 222zyxvvvv速度矢量反映了质点在任一时刻运动的快慢和方向。速度矢量反映了质点在任一时刻运动的快慢和方向。要注意其要注意其矢量性、瞬时性和相对性矢量性、瞬时性和相对性。 四、四、 加速度加速度质点运动时，其速度的大小和方向都可能变化，质

8、点运动时，其速度的大小和方向都可能变化，为反映速度变化的快慢和方向引入为反映速度变化的快慢和方向引入加速度加速度。1v2vvPQ2v设质点在设质点在t t 时间内由图中时间内由图中P P点点运动到运动到Q Q点，速度改变了点，速度改变了12vvv定义平均加速度：定义平均加速度：ttv12vva瞬时加速度瞬时加速度，简称简称加速度：加速度： t ddt ddt20t2rvvalim加速度的加速度的方向：方向：沿沿 t0时速度增量的极限方向，在时速度增量的极限方向，在曲线运动中，总是曲线运动中，总是指向曲线的凹侧指向曲线的凹侧。在直角坐标系中在直角坐标系中kajaiaazyx因而有：因而有：222

9、222dtzddtdvadtyddtdvadtxddtdvazzyyxx,其大小其大小222zyxaaaa注意注意dtvddtvdaa描述质点运动的状态参量的特性描述质点运动的状态参量的特性状态参量包括状态参量包括avr,（1）矢量性矢量性。注意矢量和标量的区别。注意矢量和标量的区别。（2）瞬时性瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别。注意瞬时量和过程量的区别。 （3）相对性相对性。对不同参照系有不同的描述。对不同参照系有不同的描述。应注意它们的应注意它们的例例1. 一质点运动学方程一质点运动学方程2422ttytx,求质点在求质点在x= - 4 时的速度、速率和加速度。时的速度、速率和加速度。解：

10、解：而而x= -4 时，时，t=2，代入得，代入得412244223tdtdvadtdvattdtdyvtdtdxvyyxxyx,244yxvv,37422 yxvvv194044222yxyxaaaaa,1 12 2直线运动直线运动当质点在一直线上运动时，通常将该当质点在一直线上运动时，通常将该直线选为直线选为 x 轴轴，质点的运动方程、位移、速度、加速度为：，质点的运动方程、位移、速度、加速度为：22dtxddtdvadtdxvtxttxxtxx ,)()(),(此时，位移、速度、加速度都只需此时，位移、速度、加速度都只需用标量式用标量式表示，表示，但应注意它们的但应注意它们的正、负代表了

11、矢量的方向正、负代表了矢量的方向。如：如：v 0 表示沿表示沿 x 轴正向，轴正向，v 0 则沿则沿 x 轴负轴负向等。向等。v一、匀速与匀变速直线运动一、匀速与匀变速直线运动这一类型问题是直线运动中较简单，也是大家这一类型问题是直线运动中较简单，也是大家在中学就已熟习的。在中学就已熟习的。匀速直线运动：匀速直线运动：vtxxva 00常量，常量，,匀变速直线运动：匀变速直线运动：)(,02022000221xxavvattvxxatvva 常常量量，注意：以上各式仅适用于匀加速情形。注意：以上各式仅适用于匀加速情形。 例例2.2.如图，几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，如图，几个不同倾角

12、的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一垂直面上。若使一物体从斜面上端由静顶点也在同一垂直面上。若使一物体从斜面上端由静止开始滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选止开始滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选75o60o45o30oLs.75)(.60)(.45)(.30)(ooooDCBA解解 ： cos,Lsats221由由 singa2sin4sincos222gLgLast故故 =45=45o o 时所用时间最短。时所用时间最短。二、直线运动的第一类问题：二、直线运动的第一类问题：已知已知 x( t ) ，求，求 v ，a求解此类问题的基本思路是：求解此类问题的基本思路是：先写出运动学方程先

13、写出运动学方程 x=x( t )，再用求导得出速度和加速度。，再用求导得出速度和加速度。注意：注意：有时运动学方程是有时运动学方程是隐含在题目中隐含在题目中的，要自己去的，要自己去找出来。找出来。例例3如右图所示，一人在如右图所示，一人在高为高为 h 的岸上以恒定的速的岸上以恒定的速率率 v0 收绳拉小船靠岸，求收绳拉小船靠岸，求小船运动至图示位置时的小船运动至图示位置时的速度与加速度。速度与加速度。hxlv0 xO解：取解：取 x 轴如图，小船的坐标：轴如图，小船的坐标：22htltx )()(此即为小船的运动学方程，将上式对此即为小船的运动学方程，将上式对 t 求导可得：求导可得：2032

14、020022221vxhvxx lxldtdvavvxlhll ldtdxv cos三、直线运动的第二类问题：三、直线运动的第二类问题：已知已知 a( t ) ，求，求 v( t ) ，x( t )当当 a = 常数时，积分结果就是前述匀变速直线运动常数时，积分结果就是前述匀变速直线运动的基本公式。的基本公式。当当a 常数时，一定要自己积分得出结果。常数时，一定要自己积分得出结果。解此类问题的基本思路是解此类问题的基本思路是求积分求积分： dttvtxdttatv)()(,)()(或解微分方程或解微分方程dttvdxdttadv)(,)( 例例5. 一质点作直线运动，其加速度一质点作直线运动，

15、其加速度 a = 4t - 5 ，且，且初始条件为初始条件为 x0 =0 , v0 = 0 ，求质点的速度和运动学，求质点的速度和运动学方程。方程。解：积分有解：积分有125254Cttdttadtv )(其中积分常数其中积分常数C1 可由初始条件可由初始条件 v0 = 0 得：得：C1 = 0再次积分有：再次积分有：2232523252Cttdtttvdtx .)(积分常数积分常数C2 可由初始条件可由初始条件 x0 = 0 得：得：C2 = 0，于是，于是232523252ttxttv., 例例4. 跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时速率跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时速率为为v0

16、，入水后所受重力与浮力相抵消，仅受水阻力，入水后所受重力与浮力相抵消，仅受水阻力而减速。其加速度而减速。其加速度 a = - kv2，k 为常数，求运动员入为常数，求运动员入水后的速度水后的速度 v 和入水深度和入水深度 y 随时间的变化，及速度随时间的变化，及速度随深度的变化随深度的变化 v( y )。解：取解：取 y 轴铅直向下为正原点位于水面，并取运动轴铅直向下为正原点位于水面，并取运动员接触水面时为计时零点。有：员接触水面时为计时零点。有：kdtvdvdtkvadtdv 22两边一起定积分得两边一起定积分得100020 tkvvtvdtkvdvtvv)(再次积分得再次积分得)ln()(

17、11100000 tkvktkvdtvvdttytt要求要求 v( y )，可由，可由dydvvdtdydydvdtdva 有有kdyvdvdydvvkv 2积分得积分得kyyvvevvkyvvdykvdv 0000,ln1 13 3曲线运动曲线运动 一运动的分解一运动的分解 如图，如图，A A、B B为在同一高度的两个小球。在同一为在同一高度的两个小球。在同一时刻，使时刻，使A A球自由落体，球自由落体，B B球沿水平方向射出，虽然球沿水平方向射出，虽然两球的轨道不同，但是两球总是在同一时刻落地。两球的轨道不同，但是两球总是在同一时刻落地。说明，说明，B B球的运动可分解为在水平方向作匀速直

18、线运球的运动可分解为在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向作自由落体运动。动，在竖直方向作自由落体运动。 根据大量实验事实得到如下根据大量实验事实得到如下结论：结论：一个实际发生的运动，可一个实际发生的运动，可以分解成几个各自独立进行的分以分解成几个各自独立进行的分运动。运动。这个结论称为运动的分解这个结论称为运动的分解二、抛射体运动二、抛射体运动yOx 0v0v如图，将一物体从坐如图，将一物体从坐标原点处以初速度标原点处以初速度 倾角倾角 抛出，物体将在铅直平抛出，物体将在铅直平面内运动，加速度面内运动，加速度 ax = 0, ay = -g，可将物体的运动，可将物体的运动分解为：分解为：x

19、方向上匀速直线运动，方向上匀速直线运动，y 方向上竖直上抛运动。方向上竖直上抛运动。1 1、运动方程和轨道方程运动方程和轨道方程消去时间消去时间 t 得到得到轨道方程：轨道方程： vgx xy 220221costan运动学方程：运动学方程：20021gttvytvx )sin(,)cos(yOx 0vgtvvvvyx sin,cos00其速度的两个分量为：其速度的两个分量为：2、射高与射程、射高与射程RyHOx 0v抛射体运动到最高点时，抛射体运动到最高点时，vy = 0，可由速度公式得，可由速度公式得出出上升时间上升时间 t1 gvt sin01代入运动学方程中得出代入运动学方程中得出射高

20、射高 H 和和水平射程水平射程 R 为：为：gvtvRgvH2sin2)cos(,2sin2010220当当 = 45 时，水平射程最大时，水平射程最大gvR20max例例5.一人扔石头的最大出手速率为一人扔石头的最大出手速率为 v0=25 m/s，他，他能否击中与他的手水平距离能否击中与他的手水平距离 L=50 m，高，高 H=13 m 的目标？在此距离上他能击中目标的最大高度？的目标？在此距离上他能击中目标的最大高度？解：设他以解：设他以 角抛出石头，并将角抛出石头，并将 v0=25, x=50 代入轨代入轨道方程有：道方程有：)(.cos.cos 2222021619506195021t

21、gtgtg vgx xtgy高度高度 y 随随tg 而变，为求极值（而变，为求极值（y 的最大值）的最大值）026 .1950tgdtgdy令：令：得：得：tg = 1.2755 时，最大高度时，最大高度 ymax=12.29 m 因而无法击中因而无法击中H=13 m 的的目标。目标。3、抛射体运动的另一种分解、抛射体运动的另一种分解yOx 0vtv0221t gr可写出抛射体的位矢可写出抛射体的位矢202002121tgtvjgttvi tvryx )(因而抛射体运动可分解为：因而抛射体运动可分解为： 沿初速度方向的匀速直线运动沿初速度方向的匀速直线运动自由落体运动。自由落体运动。C tv0

22、221t g例例6.一质点自由下落一质点自由下落 h 的的高度与倾角高度与倾角 =30 的斜面的斜面发生完全弹性碰撞后作抛射发生完全弹性碰撞后作抛射体运动，并再次与斜面在体运动，并再次与斜面在B 点处相碰。如图，求点处相碰。如图，求A, B 两两点间的距离。点间的距离。ABh 0v解：由题可知质点斜抛的初速度大小解：由题可知质点斜抛的初速度大小ghv20 与水平方向的夹角与水平方向的夹角 = 30 。将斜抛运动作图。将斜抛运动作图示分解，在本题中示分解，在本题中ABC 恰为一等边三角形，有：恰为一等边三角形，有：0v2021gttvAB 求出：求出：hgvABgvt422200 ,三、圆周运动

23、三、圆周运动1、匀速率圆周运动、匀速率圆周运动其大小其大小RvtsRvtABRvtvatttn2000 limlimlim1v2v v OABR 1v2vsna此时此时速度大小不变仅方向速度大小不变仅方向变化变化。当。当t0 时，时， 方方向因而加速度方向指向圆向因而加速度方向指向圆心，称为心，称为向心加速度向心加速度nav 此时速度大小方向都在变化。此时速度大小方向都在变化。 aatvtvtvanttt20100limlimlim2、变速率圆周运动、变速率圆周运动OABR 1v2vsna a1v2vv 1v 2v CA第一项仍是由于速度方向变化而第一项仍是由于速度方向变化而引起的引起的向心加

24、速度向心加速度，第二顶是由，第二顶是由于速度大小变化引起的，方向沿于速度大小变化引起的，方向沿轨道切线的轨道切线的切向加速度切向加速度。222 aaadtdvaRvann,ORva 例例7、质点圆周运动半径为、质点圆周运动半径为 R ，其加速度与速度之间，其加速度与速度之间的夹角的夹角 恒定，初速为恒定，初速为 v0 ，求质点速度，求质点速度 v( t )。 ana解：由题有解：由题有 RtgdtvdvdtdvRvaatgn22定积分定积分 tvvdtRtgvdv0210得得tvRtgRtgvv00 3、圆周运动的角量描述、圆周运动的角量描述y质点作圆周运动时，给出质点作圆周运动时，给出角位置

25、角位置 ，质点的位置就确定，质点的位置就确定了。设在了。设在 t 时间内，质点有时间内，质点有角位移角位移 ，则质点运动的，则质点运动的xRP vdtdtt 0lim角速度角速度角加速度角加速度220dtddtdtt lim质点作变速圆周运动时质点作变速圆周运动时 又会随时间变化，定义：又会随时间变化，定义：匀速率圆周运动：匀速率圆周运动：t 0常常数数，匀变速圆周运动：匀变速圆周运动：)(02022000221 ttt 常常数数， RdtdvaRRvaRvn,22角量与线量间的关系：角量与线量间的关系：四、一般曲线运动四、一般曲线运动OS0P nS0自然坐标系自然坐标系在曲线上选一点在曲线上

26、选一点 O 为原点，为原点，用质点到原点的弧长用质点到原点的弧长 S 表示表示质点位置。质点位置。质点运动学方程：质点运动学方程：S = S ( t )沿轨道切线方向和法线方向作单位矢量：沿轨道切线方向和法线方向作单位矢量：n, v质点运动速度：质点运动速度： dtdsvv引入引入曲率圆曲率圆（轨道上质点所（轨道上质点所在处的一小段弧线，与曲率在处的一小段弧线，与曲率圆相切）后，质点的加速度圆相切）后，质点的加速度可套用圆周运动的结论，即可套用圆周运动的结论，即有：有： O anaPva aaan22222 aaadtsddtdvavann,其中其中 为曲率圆半径，在轨道不同地方其值不同。为曲

27、率圆半径，在轨道不同地方其值不同。例例8、在高处将小球以水平初速度、在高处将小球以水平初速度v0 抛出，求抛出，求小球小球在任一时刻在任一时刻 t 的位置、轨道方程、速度，切向加速的位置、轨道方程、速度，切向加速度和法向加速度。度和法向加速度。0vxyg anaO解：取坐标系如图所示，则有解：取坐标系如图所示，则有20220221vgxygtytvx ,22200222220222200tgvgvagatgvtgdtdvagatgvvgtvvvnyx ,14相对运动相对运动y 研究的问题研究的问题: : 在两个惯性系中考察同一物体的运动在两个惯性系中考察同一物体的运动静止参照系静止参照系S S

28、（相对观察者固定不动）（相对观察者固定不动）运动参照系运动参照系S S （相对相对S S系沿系沿x x 轴作匀速直线运动）轴作匀速直线运动）OO xx yPuzz rr0r一、伽利略变换一、伽利略变换或逆变换：或逆变换：turrrr0turrrr0OO xx yy Purr0rzz 分量式：分量式：zzyyttutxx,或：或：zzyyttutxx,二、伽利略变换中蕴含的时空观二、伽利略变换中蕴含的时空观伽利略变换中的时空观是：伽利略变换中的时空观是：绝对空间绝对空间和和绝对时间绝对时间观。观。即：即：空间长度和时间的测量结果都与参考系的相对运空间长度和时间的测量结果都与参考系的相对运动无关。动无关。12121212ttttxxxx,三、伽利略速度变换三、伽利略速度变换将式将式turr两边一起求导有：两边一起求导有：udtrddtrd