11第十一章时间数列变动分析

1、第十一章第十一章时间数列变动分析时间数列变动分析第一节时间数列预测分析模型第二节长期趋势分析第三节季节变动趋势分析第四节循环变动趋势分析练习题本章的学习目标掌握时距扩大法的计算方法；掌握移动平均法的计算方法；掌握曲线拟合的计算方法；了解指数平滑法了解同期平均法；了解趋势剔除法。本章重点：长期趋势、季节变动预测分析方法的计算本章难点：模型预测法的运用 时间序列时间序列中每一期的数据都是由不同的因素中每一期的数据都是由不同的因素同时发生作用的综合结果。同时发生作用的综合结果。各种影响因素各种影响因素归纳起来有归纳起来有四大类四大类：长期趋势因素长期趋势因素 T T季节变动因素季节变动因素 S S循

2、环变动因素循环变动因素 C C不规则变动因素不规则变动因素 I I第一节第一节 时间数列预测模型时间数列预测模型图图12-1我国月度消费品零售总额（单位：亿元）我国月度消费品零售总额（单位：亿元）(1)(1)长期趋势长期趋势：是指由于某种根本性原因的影响，社会：是指由于某种根本性原因的影响，社会经济现象在相当长的时间里，持续增加向上发展和持经济现象在相当长的时间里，持续增加向上发展和持续向下发展的态势。续向下发展的态势。它是时间数列预测分析的重点。它是时间数列预测分析的重点。例如，例如，图12-1中社会消费品零售总额有明显上升的趋势.(2)(2)季节变动季节变动：是指由于自然条件、社会条件的影

3、响：是指由于自然条件、社会条件的影响，社会经济现象在，社会经济现象在1 1年内随着季节的转变而引起的周年内随着季节的转变而引起的周期性变动。期性变动。 如：如：蔬菜生产受季节气候变化的影响，有淡季、旺季蔬菜生产受季节气候变化的影响，有淡季、旺季之分；之分；衣着、食品、电风扇、燃料的需求都有季节性衣着、食品、电风扇、燃料的需求都有季节性的变动。的变动。学校放假，职工探亲，客运量成倍增长等。学校放假，职工探亲，客运量成倍增长等。图12-1中，可以明显看出，年底和年初消费品零售总额增加较快。 (3)(3)循环变动循环变动：循环波动是指现象发生周期较长（一年以上）的涨落起伏的变动，它是一种波浪形或振荡

4、式的变动。它与季节变动有明显区别，一是周期较长且不固定；二是规律显现没有季节变动明显；三是影响因素的性质不一样。股票市场的波动明显包含着这样的循环波动。这个一般是由经济周期决定。从图12-2就可以明显看出股票市场的这种波动。图图12-2上证指数收盘指数时间数列图上证指数收盘指数时间数列图 (4)(4)不规则变动不规则变动：是指由意外的偶然性因素：是指由意外的偶然性因素引起的，突然发生的、无周期的随机波动。引起的，突然发生的、无周期的随机波动。例如，地震、水、旱、风、虫灾害和原因不明例如，地震、水、旱、风、虫灾害和原因不明所引起的各种变动。所引起的各种变动。二、时间数列预测分析模型将形成时间数列

5、的因素与时间数列的关系按照一定的假设，用一定的数学关系式表示，就形成了时间数列的分解模型。主要有两种假设，即有两种最基本的分解模型加法模型和乘法模型。1 1、加法型、加法型 Y=T+S+C+IY=T+S+C+I2 2、乘法型、乘法型 Y=TY=TS SC CI I第二节 长期趋势分析一、时距扩大法它是将原时间数列中各项指标加以合并，扩大每段计算所包括的时间，得出较长时距的新数列，以消除偶然因素的影响，显示出现象变动的基本趋势。应用时距扩大法应注意：（1）前后扩大的时距应当一致，以便相互比较；（2）单纯扩大时距，以使指标数值增大的方法，只能用于时期数列，而不能用于时点数列。时间间隔的扩大程度要适

6、当，间隔时间太短，不能排除偶然因素的影响，间隔时间过长，又会掩盖现象在不同时间发展变化的差异。例120012010年我国月度社会消费品零售总额如表12-1所示 月年 1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月200120013333 3333 3047 3047 2876 2876 2821 2821 2930 2930 2909 2909 2851 2851 2889 2889 3137 3137 3347 3347 3422 3422 4033 4033 200220023552 3552 3416 3416 3197 3197 3163 3163 3321 3321 3303

7、 3303 3244 3244 3284 3284 3627 3627 3815 3815 3831 3831 4270 4270 200320033907 3907 3706 3706 3495 3495 3407 3407 3463 3463 3577 3577 3562 3562 3610 3610 3972 3972 4204 4204 4203 4203 4736 4736 200420044569 4569 4211 4211 4050 4050 4002 4002 4166 4166 4251 4251 4209 4209 4263 4263 4718 4718 4983 498

8、3 4966 4966 5563 5563 200520055301 5301 5012 5012 4799 4799 4663 4663 4899 4899 4935 4935 4935 4935 5041 5041 5495 5495 5847 5847 5909 5909 6850 6850 200620066642 6642 6002 6002 5797 5797 5775 5775 6176 6176 6058 6058 6012 6012 6077 6077 6554 6554 6998 6998 6822 6822 7499 7499 200720077488 7488 7014

9、 7014 6686 6686 6673 6673 7158 7158 7026 7026 6998 6998 7117 7117 7668 7668 8263 8263 8105 8105 9015 9015 200820089077 9077 8355 8355 8123 8123 8142 8142 8704 8704 8642 8642 8629 8629 8768 8768 9447 9447 10083 10083 9791 9791 10729 10729 2009200910757 10757 9324 9324 9318 9318 9343 9343 10028 10028

10、9942 9942 9937 9937 10116 10116 10913 10913 11718 11718 11339 11339 12610 12610 2010201012718 12718 12334 12334 11322 11322 11510 11510 12455 12455 12330 12330 12253 12253 12570 12570 13537 13537 14285 14285 13911 13911 15330 15330 表表12-1 20012010年我国月度社会消费品零售总额年我国月度社会消费品零售总额 单位：亿元单位：亿元将时距扩大为1年，编制时距扩

11、大后的社会消费品零售总额的时间数列和序时平均数时间数列如表11-2所示。年份年份年社会消费年社会消费品零售总额品零售总额月平均社会消月平均社会消费品零售总额费品零售总额2001200137595375953132.923132.922002200242023420233501.923501.922003200345842458423820.173820.172004200453124531244427.004427.002005200563686636865307.175307.172006200676412764126367.676367.672007200789211892117434.2

12、57434.25200820081084901084909040.839040.832009200912534512534510445.4210445.422010201015455515455512879.5812879.58表表12-2 20012010年年我国社会消费品零售总额我国社会消费品零售总额 单位：亿元单位：亿元图图10-3 我国年度社会消费品零售总额我国年度社会消费品零售总额二、移动平均法二、移动平均法移动平均法：是指根据时间数列资料，逐项递推移动，依次计算包含一定项数的扩大时距平均数，形成一个新的时间数列（派生的时间数列），反映长期趋势方法。移动平均法是趋势变动分析的一种较简

13、单的常用方法。该方法又可分为简单移动平均法和加权移动平均法两种。tty11.1.简单移动平均法简单移动平均法它是直接用简单算术平均数作为移动平均趋势值的它是直接用简单算术平均数作为移动平均趋势值的一种方法。一种方法。(1)当移动间隔长度当移动间隔长度K为奇数时（为奇数时（K2k+1），则），则移动平均数序列可以写为：移动平均数序列可以写为：1111.i ki kiiii ki kiYYYYYYYYK (2)当移动间隔长度当移动间隔长度K为偶数时为偶数时(K=2k),则移动平均则移动平均数序列可以写为：数序列可以写为：knikknikKYYYYYYkikiikikii;2211例21991201

14、0年我国消居民消费价格指数如表12-3所示，分别计算三期移动平均数和四期移动平均数，并进行比较。时间变量 i年份居民消费 价格指数Yi分析用三期移动平均数 (K=3)分析用四期移动平均数 (K=4)11991103.421992106.4108.1731993114.7115.07113.8641994124.1118.63115.8151995117.1116.50114.5661996108.3109.40109.9671997102.8103.43104.548199899.2100.20101.249199998.699.4099.99102000100.499.9099.731120

15、01100.7100.10100.0512200299.2100.37100.81132003101.2101.43101.39142004103.9102.30101.81152005101.8102.40102.55162006101.5102.70103.25172007104.8104.07103.19182008105.9103.33103.1019200999.3102.832010103.3iYiY表表123 我国消居民消费价格指数三期移动平均数和四期移动平均数我国消居民消费价格指数三期移动平均数和四期移动平均数 单位：单位：%2.加权移动平均预测法是在简单移动平均法的基础上给近

16、期数据以较大的权数，给远期的数据以较小的权数，计算加权移动平均数作为下一期的移动平均趋势值的一种方法。其计算公式为：111111kiiikikiiiiiiffffYfYfYY移动平均法应用时应注意：移动平均法应用时应注意：利用移动平均法分析趋势变动时，移动间隔的长度应长短适中。移动间隔过短，虽然反映波动的敏感性较高，但是易受不规则变动干扰，修匀的曲线不够平滑；移动间隔过长，虽然能减少不规则变动干扰，修匀作用增强，但敏感性较低，数列缺项越多，移动平均趋势越不够完整。一般来说，如果现象的发展具有一定的周期性，应以长度为移动间隔的长度；若时间数列是季度资料，应采用4项移动平均。如果是月度数据，就采用

17、12项移动平均。三、曲线拟合法（一）直线趋势的拟合根据线性函数的特性：直线趋势拟合适用条件:当时间序列的逐期增长量( (一次增长量）近似一常数，趋势图形表现为一条直线时采用直线趋势的拟合。bbtatbaYYYttt) 1(1直线趋势的拟合(直线趋势方程)直线趋势方程的形式为btayt 时间序列的趋势值时间序列的趋势值 t 时间标号时间标号 a趋势线在趋势线在Y 轴上的截距轴上的截距 b趋势线的斜率，表示时间趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个变动一个 单位时观察值单位时观察值(趋势值趋势值)的平均变动数量的平均变动数量ty确定待估参数a.b使用最小平方法最小平方法的要求: :1 1、原时间数列

18、中各指标数值与趋势值的离差平方为为最小；2 2、时间数列中各指标数值与趋势值的离差为0 0，设Q =（yyt）2（yabt）2最小值为使其最小，则对a和b的偏导数应等于0,即:0)2()(20)2()(bbxaybQbxayaQ2tbtatytbnay解得:其中，n代表时间的项数， 其他符号所代表的意义不变。预测误差可用估计标准误差来衡量为:22()ntytybnttaybx /,/yynttn 2)(2nyysty简算法nyybttya2:, 0，5，3，1 ；1- ，3- ，5- 各项，2这样间隔便为1 ，1时，中间的两项分别设n当，0为奇数时，中间项为n当项)( ,则公式可化简为这样选取

19、为为偶数项数数以时间序列中间为原点可适当选取简算法tt，例2某啤酒厂年度销售啤酒量（百万瓶）资料如表122，用最小平方法进行长期趋势分析。年份年份9697989900010203销售量销售量y304457668198105120年份年份0405060708092010销售量销售量y140153157164169178185表表122 某啤酒厂年度啤酒销售量某啤酒厂年度啤酒销售量解:列表计算如下:年份销售量(y)时间（t） t2ty趋势值yt误差y-yt误差平方199630113036.12-6.1237.4544199744248847.60-3.6012.961998573917159.07

20、-2.074.284919996641626470.55-4.5520.702520008152540582.03-1.031.060920019863658893.514.4920.16012002105749735104.990.010.00012003120864960116.473.5312.460920041409811260127.9512.05145.20252005153101001530139.4213.58184.41642006157111211727150.906.1037.212007164121441968162.381.622.624420081691316921

21、97173.86-4.8623.61962009178141962492185.34-7.3453.87562010185152252775196.82-11.82139.7124加总1747120124017190695.74472)(tyy 解：由表122得，t120， y1747， t21240， ty17190， 代入公式得 从而求得直线趋势方程：yt24.6311.48t 151719017474821011.4815124012042001747 /1511.48120 /15116.4791.8424.63ba 120 120把各t值代入上式，便求得相对应的趋势值yc，见表12-

22、2趋势值。估计标准误差来为:315. 72157447.6952)(2nyysty简算法：解:计算列表如下:年份年份销售量销售量 (y)时间时间（t） t2ty趋势值趋势值yt误差误差y-yt误差平方误差平方199630-749-21036.12-6.1237.454437.4544199744-636-26447.60-3.6012.9612.96199857-525-28559.07-2.074.28494.2849199966-416-26470.55-4.5520.702520.7025200081-39-24382.03-1.031.06091.0609200198-24-19693

23、.514.4920.160120.16012002105-11-105104.990.010.00010.00012003120000116.473.5312.460912.4609200414011140127.9512.05145.2025145.2025200515324306139.4213.58184.4164184.4164200615739471150.906.1037.2137.212007164416656162.381.622.62442.62442008169525845173.86-4.8623.619623.619620091786361068185.34-7.345

24、3.875653.875620101857491295196.82-11.82139.7124139.7124加总加总174702803214695.7447695.74472)(tyy 直线趋势方程参数a,b为：48.11280321447.1161517472ttybnyayt116.4711.48t 把各t值代入上式，便求得相对应的趋势值yt，见表12-3趋势值。估计标准误差来为:315. 72157447.6952)(2nyysty图图10-5某啤酒厂年度啤酒销售量和趋势值某啤酒厂年度啤酒销售量和趋势值1.1. 用于描述以几何级数递增或递减的现象即现象的环比发展速度（增长率）大体相同时

25、采用。( (适用条件) )2.2. 一般形式为(二)指数趋势线的拟合ttabY 指数趋势线(a、b 的求解方法) 1.采取“线性化”手段将其化为对数直线形式tbaYbbaaYYtlbbaYabYtttttt,lg,lg,lg)(lglg:令两边取对数有对指数趋势线方程根据最小二乘法，得到求解 的标准方程为2tbtay ttbanyba和解标准方程组有解标准方程组有tbyattnyty tnb22)(3.求出 后，再取其反自然对数，即得算术形式的a和bba和baba10,10例4我国1996-2008年社会消费品零售总额数据见表10-6，根据资料数据试确定指数曲线方程，计算出各期的趋势值，预测2

26、010年我国社会消费品零售总额，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较。年年 份份社会消费社会消费品零售总额品零售总额年份年份社会消费品社会消费品零售总额零售总额年份年份社会消费品社会消费品零售总额零售总额1996199628360.22001200143055.42006200676410.01997199731252.92002200248135.92007200789210.01998199833378.12003200352516.32008108487.71999199935647.92004200459501.02000200039105.72005200567176.6表

27、表12-6 我国我国1996-2008年社会消费品零售总额年社会消费品零售总额解：从逐年的环比增长率来看，每年的增长率比较接近，可拟合指数曲线。列表计算如下：年份年份t t总额（总额（Y）环比年增环比年增长率长率%lgYlgYt2t tlgYlgY趋势值趋势值199619961 128360.24.452714.452711 14.452714.4527127050.5 27050.5 199719972 231252.910.20 10.20 4.494894.494894 48.989788.9897829923.7 29923.7 199819983 333378.16.80 6.80

28、4.523464.523469 913.5703813.5703833102.1 33102.1 199919994 435647.96.80 6.80 4.552034.55203161618.2081218.2081236618.1 36618.1 200020005 539105.79.70 9.70 4.592244.59224252522.961222.961240507.6 40507.6 200120016 643055.410.10 10.10 4.634034.63403363627.8041827.8041844810.2 44810.2 200220027 748135.

29、911.80 11.80 4.682474.68247494932.7772932.7772949569.8 49569.8 200320038 852516.39.10 9.10 4.720294.72029646437.7623237.7623254835.0 54835.0 200420049 95950113.30 13.30 4.774524.77452818142.9706842.9706860659.4 60659.4 20052005101067176.612.90 12.90 4.827224.8272210010048.272248.272267102.4 67102.4

30、2006200611117641013.74 13.74 4.883154.8831512112153.7146553.7146574229.9 74229.9 2007200712128921016.75 16.75 4.950414.9504114414459.4049259.4049282114.3 82114.3 20081310848821.61 21.61 4.950414.9504116916964.3553364.3553390836.3 90836.3 合计合计56.58512819819435.24376435.2437604384. 0)(lglglg22 ttnYtYt

31、nb1062. 11004384. 0b388335. 4lglgt bYa16.2445310388335. 4a因此得到社会消费品零售总额的长期趋势函数为：因此得到社会消费品零售总额的长期趋势函数为：ttY1062. 116.24453图图10-6我国社会消费品零售总额及时间趋势线图（亿元）我国社会消费品零售总额及时间趋势线图（亿元）1. 在一般指数曲线的基础上增加一个常数K2. 一般形式为（三）修正指数曲线拟合tabky如某种产品投入市场，初期迅速增长，随后增长率逐渐降低，最后接近最高限k。该曲线图形如图11-7所示，图中的虚线即是最高限k。现实世界中的许多事物的发展过程都符合修正指数曲

32、线形式。比如一个国家的人口等。时间y图图10-7 销售量的修正指数曲线图销售量的修正指数曲线图修正指数曲线拟合(求解k、a、b的三和法) 三和法的基本思想是：将时间序列观察值等分为三个部分，三和法的基本思想是：将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有每部分有m个时期，从而根据趋势值的三个局部总和分别等个时期，从而根据趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和来确定于原序列观察值的三个局部总和来确定3个系数。具体做法个系数。具体做法如下：如下：将时间数列分成将时间数列分成3个相等的部分，每部分包括个相等的部分，每部分包括m个数据。设个数据。设观察值的三个局部总和分别为观察值的三个局部

33、总和分别为S1，S2，S3 ，则：，则：总和总和mmtmttmtmmttmmtmmtmttmttmttmttmttbabmkabkYSbabmkabkYSbabmkabkYS312101231232121101210111)()( )(修正指数曲线拟合(求解k、a、b的三和法)mmttmmttmttYSYSYS312321211,111) 1(1)(121211223bbaSmkbbSSaSSSSbmmm例5我国19892009年的期末人口数如表12-8。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的趋势值和误差，预测2010年的期末人口数，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较.年份年份人口数

34、（万）人口数（万）年份年份人口数（万）人口数（万）年份年份人口数（万）人口数（万）1989198911270419961996122389200320031292271990199011433319971997123626200420041299881991199111582319981998124761200520051307561992199211717119991999125786200620061314481993199311851720002000126743200720071321291994199411985020012001127627200820081328021995199

35、51211212002200212845320092009133450表表108 我国每年期末人口数我国每年期末人口数 解：根据对表中数据的分析，其一阶差之比大致相似，可以考虑拟合修正的指数曲线。设所求趋势方程为原始数据共21项，可以分成3段，每段为7年。ttabkY有关计算过程见表有关计算过程见表109表表109 我国大陆每年期末人口数及趋势值我国大陆每年期末人口数及趋势值(见下页）见下页）年 份t人口数(万)y预测值(万)Yt误差y -Yt误差平方 1989111270411244226268644 1990211433311413220140401 1991311582311572994

36、8836 19924117171117239-684624 19935118517118667-15022500 19946119850120017-16727889 19957121121121293-17229584 S181951981951920247819968122389122499-11012100 19979123626123640-14196 199810124761124718431849 199911125786125738482304 200012126743126702411681 20011312762712761314196 200214128453128475-

37、22484 S287938587938518810200315129227129289-623844 200416129988130059-715041 200517130756130787-31961 200618131448131475-27729 20071913212913212639 200820132802132741613721 20092113345013332312716129 S3919800919800304342)(tYy 经过计算，得出S1=819519，S2=879385，S3=919800，故有：6 .143397)194542. 0194542. 0)5 .32

38、742(94542. 0819519(711115 .32742) 194542. 0(94542. 0194542. 0)819519879385() 1(1)(94542. 081951987938587938591980071272127111223bbabSmkbbbSSaSSSSbmmm于是得到趋势方程为：于是得到趋势方程为：Yt143397.632742.5（0.94542）t。将将t22代入方程，得代入方程，得2010年我国年末人口数：年我国年末人口数： （万人）（万人）1338730.9454232742.5143397.6222010Y图图12-8我国大陆每年末人口数及修正指

39、数曲线预测的趋势值我国大陆每年末人口数及修正指数曲线预测的趋势值1.以英国统计学家和数学家BGompertz而命名2.一般形式为（四）Gompertz 曲线拟合3. 描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线线4. 两端都有渐近线，上渐近线为两端都有渐近线，上渐近线为Yk,下渐近线为下渐近线为Y= 0tbtakY式中：式中：k、a、b参数；参数；k0,a和和b一一般大于般大于0，小于，小于1。t时间。时间。ty龚柏兹曲线通常用龚柏兹曲线通常用于描述事物

40、的发展于描述事物的发展由萌芽、成长到饱由萌芽、成长到饱和的周期过程。现和的周期过程。现实中有许多现象符实中有许多现象符合该的，如工业生合该的，如工业生产的增长、产品寿产的增长、产品寿命周期、一定时期命周期、一定时期内的人口增长等，内的人口增长等，因此该曲线被广泛因此该曲线被广泛应用于现象的趋势应用于现象的趋势变动研究中。变动研究中。图图12-9 龚柏兹曲线龚柏兹曲线Gompertz 曲线(求解k、a、b 的三和法) ttbakYlnlnlnttttAbKYkKaAYY/:,ln,ln,ln则上式变为若令2.仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出 3. 取取 l

41、n a、ln k 的反对数求得的反对数求得 a和和 k1.将其改写为对数形式：将其改写为对数形式：kKaAbbln,ln,mmitmmitmitYSYSYS312321211ln,ln,ln:令11)(ln1ln) 1(1)(ln121211223bbbaSmkbbbSSaSSSSbmmm这里这里m是总数据是总数据n的的1/3。将时间数列分。将时间数列分成成3个相等的部分，个相等的部分，每部分包括每部分包括m个数个数据。据。S1，S2，S3分别分别为观察值的自然对为观察值的自然对数值三个局部总和。数值三个局部总和。例6根据表10-8中的数据，确定我国的人口利用龚柏兹曲线方程，计算出各期的趋势值

42、和误差，预测2010年的期末人口数，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较。解：原始数据共n=21项，可以分成3段，每段为m=7年。有关计算过程见表1210年年 份份t人口数人口数(万万)y人口数的自然对人口数的自然对数数lny趋势值趋势值(万万)Yt误差误差y -Yt误差平方误差平方 198919891 111270411270411.632511.632511250211250220220240804 40804 199019902 211433311433311.646911.646911415811415817517530625 30625 199119913 31158231

43、1582311.659811.659811573311573390908100 8100 199219924 411717111717111.671411.6714117229117229-58-583364 3364 199319935 511851711851711.682811.6828118650118650-133-13317689 17689 199419946 611985011985011.694011.6940119997119997-147-14721609 21609 199519957 712112112112111.704511.7045121275121275-15

44、4-15423716 23716 S S1 181951981951981.692081.6920 145907 145907 199619968 812238912238911.715011.7150122485122485-96-969216 9216 199719979 912362612362611.725011.7250123630123630-4-416 16 19981998101012476112476111.734211.734212471412471447472209 2209 19991999111112578612578611.742311.74231257391257

45、3947472209 2209 20002000121212674312674311.749911.749912670712670736361296 1296 20012001131312762712762711.756911.75691276221276225 525 25 20022002141412845312845311.763311.7633128486128486-33-331089 1089 S S2 287938587938582.186682.186616060 16060 20032003151512922712922711.769311.7693129301129301-

46、74-745476 5476 20042004161612998812998811.775211.7752130070130070-82-826724 6724 20052005171713075613075611.781111.7811130795130795-39-391521 1521 20062006181813144813144811.786411.7864131479131479-31-31961 961 20072007191913212913212911.791511.79151321231321236 636 36 20082008202013280213280211.796

47、611.796613273013273072725184 5184 20092009212113345013345011.801511.801513330113330114914922201 22201 S S3 391980091980082.501682.501642103 42103 2)(tYy 经过计算，得出S1=81.692，S2=82.1866，S3=82.5016，故有：686492.11)19376. 019376. 0376. 0)24979. 0(692.81(7111)(ln1ln24979. 0) 19376. 0(9376. 019376. 0)692.811866

48、.82() 1(1)(ln9376. 0692.811866.821866.825016.8271272127111223bbbaSmkbbbSSaSSSSbmmm解得：解得：b=0.9376，a =0.778968，k=142190.2则所求的龚柏兹曲线模型为：则所求的龚柏兹曲线模型为：)9376. 0(778968. 02 .142190ttY将t22代入方程，得2010年我国年末人口数：=133839（万人）)9376. 0(22778968. 02 .142190tY图图12-10我国年末人口数及龚柏兹曲线预测的趋势值我国年末人口数及龚柏兹曲线预测的趋势值（五）多价曲线拟合有些现象的变

49、化形态不是按照某种固定的形态变化，而是有升有降，在变化中可能有几个拐点。这时就需要拟合多项式函数。当有k-1个拐点时，需要拟合k阶曲线。特别当有1个拐点时，时间数列Yt的一阶差分（）之差（逐期增长量之差）近似一常数时，可以拟合2阶曲线，即抛物线。k阶曲线函数的一般形式为：kkttbtbtbaY221曲线中的系数曲线中的系数 可以根据最小平方法求得，可以根据最小平方法求得，只需将只需将上上式线性化，即令式线性化，即令可化为可化为 对对上上式按多元回归分析中的最小平方法求得曲线式按多元回归分析中的最小平方法求得曲线中的系数中的系数 。kbbba,21kkxtxtxt,221kktxbxbxbaY2

50、211kbbba,21四、指数平滑法指数平滑法是一种特殊的加权平均法。它是利用本期实际观察值和本期预测值，分别给予不同权数进行加权平均，求得一个指数平滑值，作为下一期趋势预测值的预测方法。特点：对离预测期较近的观察值给予较大的权数，对离预测期较远的观察值给予较小的权数，权数由近到远按指数规律递减。基本指数平滑法模型如下：tttYYY)1 (1（一） 值的确定（1）当时间数列呈较稳定的水平趋势时，应取小一些，如0.10.3，以减小修正幅度，同时各期观察值的权数差别不大，预测模型能包含更长时间数列的信息。（2）当时间数列波动较大时，宜选择居中的值，如0.30.5。（3）当时间数列波动很大，呈现明显

51、且迅速的上升或下降趋势时，应取大些，如0.60.8，以使预测模型灵敏度高些，能迅速跟上数据的变化。（4）在实际预测中，可取几个值进行试算，比较预测误差，选择误差小的那个值。（二）初始值的确定 如果资料总项数N大于50，则经过长期平滑链的推算，初始值的影响变得很小了，为了简便起见，可用第一期水平作为初始值。但是如果N小到15或20，则初始值的影响较大，可以选用最初几期的平均数作为初始值。指数平滑法适用于预测呈长期趋势变动和季节变动的评估对象。 一次指数平滑 (例题分析例题分析)例8表12-13是我国1990-2006年粮食产量资料，用指数平滑法进行长期趋势分析。分别取0.2、0.5和0.8。解：

52、列表计算如表12-13：注：初始值选取1990年的粮食产量。通过比较分析得出 取0.8的误差平方和较小。年份产量=0.2误差平方=0.5误差平方=0.8误差平方199044624.3199143529.344624.3119902544624.3119902544624.31199025199244265.844405.319460.2544076.83572143748.3267806.3199345648.844377.4161645844171.3218300644162.32209682199444510.144631.6814781.69644910.0515996045351.57

53、07954199546661.844607.364220707.344710.08380923044678.383933955199650453.545018.252954193045685.942272965246265.1217542561199749417.146105.31096801348069.72181543649615.8239490.91199851229.5346767.661990827748743.41618079649456.843142413199950838.5847660.031010315149986.4772609250874.991325.90120004

54、6217.5248295.744319013.750412.521759806650845.8621421555200145263.6747880.16845700.548315.02931075247143.193532590200245705.7547356.812726009.646789.35117418145639.574379.302200343069.5347026.61565840746247.551009979945692.516880049200446946.9546235.19506607.3944658.54523682543594.131124142220054840

55、2.1946377.544099211.145802.74675711746276.394519045200649747.8946782.478793719.947102.47699826147977.03313594820075015047375.5548425.1849393.72合计1205404729601391979779202表表12-13 我国我国1990-2006年粮食产量年粮食产量 (单位：万吨单位：万吨)图图12-13 我国我国1990-2006年粮食产量及指数平滑法的趋势分析年粮食产量及指数平滑法的趋势分析第三节 季节变动趋势分析 季节变动分析季节变动分析是根据以月、季为

56、单位的时间数列是根据以月、季为单位的时间数列资料，测定以年为周期的、随着季节转变而发生的周资料，测定以年为周期的、随着季节转变而发生的周期性变动的规律性。期性变动的规律性。 季节变动分析为了消除偶然性因素影响。季节变动分析为了消除偶然性因素影响。进行分析的步骤：进行分析的步骤： 首先首先应将时间数列绘成曲线图，观察在不同年份的应将时间数列绘成曲线图，观察在不同年份的相同月（季）有无季节变动；相同月（季）有无季节变动； 其次其次，确定有季节变动之后，再剔除其余因素变动，确定有季节变动之后，再剔除其余因素变动的影响，从而测定季节变动的规律性。的影响，从而测定季节变动的规律性。 最常用的方法最常用的

57、方法: :同期水平平均法、长期趋势剔除法。同期水平平均法、长期趋势剔除法。一、同期水平平均法一、同期水平平均法该方法的基本思想：1、计算出各年同月（季）的平均数，以消除不规则变动（随机影响），作为该月（季）的代表值；2、计算出总月（季）的平均数，作为全年的代表值；3、将同月（季）平均数与总月（季）平均数进行对比，即为季节指数。例9某企业啤酒销售量季节变动分析，利用简单平均法计算季节指数年份年份季季 度度1234200430384230200529395035200630395137200729425538200820083143544120092009334558422010201034466

58、045季度平均季度平均30.8641.7152.8638.29季节指数季节指数75.39%101.92%129.14%93.54%表表1214 某企业啤酒销售量的季节变动分析某企业啤酒销售量的季节变动分析 单位：万瓶单位：万瓶月（季）平均法：简单，易于理解。本方法的前提是假定原时间数列的资料没有明显的长期趋势变动和循环波动。对于长期趋势比较明显的时间数列，测定其季节变动，需要在计算季节指数之前，先剔除长期趋势变动因素，然后计算季节指数二、趋势剔除法二、趋势剔除法 （一）移动平均趋势剔除法 适用于没适用于没有太明显的时间趋势的情况。其步骤： 1、根据时间数列中各年按月（季）的数值计算其移动平均数

59、 2、用时间数列中各月（季）的数值（y）与其相对应的趋势值（yc）对比，计算yyc的百分比数值。 3 3、把yyc的百分比数值按月（季）排列，计算出各年同月（季）的总平均数，这个平均数就是各月（季）的季节比率。4、季节指数调整各季节指数的平均数应等于1或100%，若根据第二步计算的季节比率的平均值不等于1时，则需要进行调整具体方法是：将第三步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平均值（二）拟合曲线趋势剔除法适用于适用于有明显的时间趋势的情况。其步骤：（1）将时间数列按照季度进行排序，采用相应的曲线(直线、指数)进行拟合，计算出长期的时间趋势。（2）计算出季节比率，即将时间数列中的各观察值除以

60、用（1）计算出的长期趋势，然后再计算出各个比值的季度(或月度)平均值。（3）季节指数调整。由于各季节指数的平均数应该等于1或是100%，若根据2计算出的季度比率的平均值可能不等于1，则需要进行调整。具体的办法是：将（2）计算出的每个季节比率的平均除以它们的总平均值。（4）进行预测。可以利用（2）以拟合出的长期时间趋势预测未来的趋势值，并乘以相应的季节指数，得出未来的预测值。（二）拟合曲线趋势剔除法：例题分析例11：下表是一家啤酒生产企业20042010年各季度的啤酒销售量数据。试用拟合曲线趋势剔除法计算各季的季节指数。年份年份季度季度时间时间销售量销售量y年份年份季度季度时间时间销售量销售量y