信号与系统-第四章1

1、连续时间信号连续时间信号的付里叶分析的付里叶分析 第四章第四章2 4.1 引言引言时域分析时域分析连续信号连续信号 卷积积分卷积积分 以以 为基准信号为基准信号)(t 离散信号离散信号 卷积和卷积和 以以 为基准信号为基准信号n 频域分析频域分析连续信号连续信号 付里叶分析付里叶分析 以以 为基准信号为基准信号tje 连续系统连续系统 付里叶分析付里叶分析tje 离散信号与系统付里叶分析离散信号与系统付里叶分析nje 3变换域分析变换域分析连续信号连续信号 拉氏变换法拉氏变换法 以以 为基准信号为基准信号ste离散信号离散信号 Z变换法变换法以以 为基准信号为基准信号nz以以 作为基准信号的原

2、因作为基准信号的原因:P144tje 要求必须满足正交性，完备性要求必须满足正交性，完备性 4.2 复指数函数的正交性复指数函数的正交性1、矢量的正交、矢量的正交4两个矢量的点乘积两个矢量的点乘积Qvvvvcos2121 Q1v2v当当21vv 时时90 Q090cos 021 vv点积为零点积为零 矢量正交矢量正交当当1v重合时重合时10cos kvv 21点积为常数点积为常数与与2v0 Q5memkvv em 0 emvvem 2、函数的正交、函数的正交如果在区间如果在区间),(21tt内，一个复函数集内，一个复函数集)(),.,(),(10tttn 中的各个复函数间，满足如下条件中的各个

3、复函数间，满足如下条件 21)()(*ttmndttt 0knm nm 6即在函数互乘时积分为零，而在自乘时积分为即在函数互乘时积分为零，而在自乘时积分为一个常数一个常数k,则称则称)(tn n=0,1,2N 为正交函为正交函数集数集！注意几点：注意几点：a、一个实函数，则、一个实函数，则)()(*ttmm 正交公式将变为正交公式将变为21)()(*ttmndttt0knm nm 7b、以上式中，如果、以上式中，如果k=1,则称则称)(tn ，n=0,1,23为归一化的正交函数集为归一化的正交函数集c、当在区间、当在区间),(21tt内，对于正交函数集内，对于正交函数集)(tn 如果我们再也找

4、不到一个函数如果我们再也找不到一个函数)(t 使能满足使能满足0)()(21* ttmdttt m=0,1,2,N则称此函数集则称此函数集)(tn n=0,1,2, 是完备的是完备的 NnnnNNtctctctctx01100)()(.)()()( 8d、系数、系数nc的计算的计算)(.)()()(1100tctctctxNN 由由两边积分两边积分 21210*)()()()(ttttNnnnmmdttctdtttx NnttmnndtttC0*21)()( 由于由于)(*tm 和和)(tn 满足正交条件满足正交条件所以除了所以除了m=n以外，其余项皆为零以外，其余项皆为零9 2121)()(

5、)()(*ttttnnnmdtttcdtttx 212112)()(1)()()()(*ttnttnnttnndtttxkdtttdttxtc 3、复指数函数的正交性、复指数函数的正交性对于复指数信号对于复指数信号0tjne ),(011Ttt ,.2, 1, 0n 01100*Ttttjmtjndtee 00Tnm nm 10！注意几点注意几点a、以上复指数函数、以上复指数函数tjne0 是周期性的，角频率为是周期性的，角频率为0 ，周期为，周期为0Tb、把以上复指数函数用欧拉公式展开成、把以上复指数函数用欧拉公式展开成tn0sin 和和tn0cos 两项，他们满足正交条件两项，他们满足正交

6、条件01100sinsinTtttdtmtn02/0Tnm nm 1101100coscosTtttdtmtn02/0Tnm nm 0sincos01100Ttttdtmtn对所有的对所有的m和和n 4.3 用付里叶级数表示周期信号用付里叶级数表示周期信号1、用复指数形式的付里叶级数表示周期信号、用复指数形式的付里叶级数表示周期信号 ntjnnectx0)( 12而而 00*0)(1TtjnndtetxTc 00)(10TtjndtetxT ！注意：如果是正弦将是如何？！注意：如果是正弦将是如何？2、用三角形式的付里叶级数表示周期信号、用三角形式的付里叶级数表示周期信号三角级数三角级数cos,

7、sin00tntn 当当 ,.1 , 0n时亦是一组正交函数集，从复指数付里叶时亦是一组正交函数集，从复指数付里叶级数亦可亦分解成三角付里叶级数级数亦可亦分解成三角付里叶级数13 ntjnnectx0)( 1000ntjnntjnnececc 10Re20ntjnnecc 100)cos(2)(nnntnActx 在此设在此设njnneAc14tnAtnAtnAnnnnnn000sinsincoscos)cos( tnDtnBnn00sincos 22nnnDBA nnnBDtg 1 1000sincos2)(nnntDtnBctx nDnBn nA15可以证明可以证明 000cos)(1Tn

8、tdtntxTB 000sin)(1TntdtntxTD 比较：比较：(a)复指数付里叶级数展开式复指数付里叶级数展开式综合公式综合公式分析公式分析公式 ntjnnectx0)( 00)(10TtjnndtetxTc 16 0)(100TdttxTc平均值平均值三角付里叶级数展开式三角付里叶级数展开式综合综合 1000sincos2)(nnntDtnBctx 22nnnDBA nnnBDtg 1 分析分析 000cos)(1TntdtntxTB 000sin)(1TntdtntxTD 17(b)比较二者比较二者n从从 有正负频率项有正负频率项n从从 1只有正频率项只有正频率项(c)三角级数中，

9、要计算出三角级数中，要计算出nA和和n 才能代表谐波的幅度和相位，只需计算一次才能代表谐波的幅度和相位，只需计算一次nc因为计算出的因为计算出的nc是复数，它既有模又有相位是复数，它既有模又有相位所以比较方便所以比较方便18(4)两者系数的关系两者系数的关系)(2/1nnkccB )(2/nnkccjD nnnjDBc *nnnncjDBc 例例1：已知：已知x(t)是一个周期性的锯齿波如图是一个周期性的锯齿波如图试求其付里叶级数试求其付里叶级数)(txt1/2-1/200T 2/0T 0T2/0T19002/2/1)(TttTtx )22(00TtT 021112/2/220000000 T

10、TTtTtdtTTcnjdtteTTcntjnTTn 2)1(110002/2/00 幅谱图幅谱图0 n-2-1012nc 2/1 4/120 4.4 波形的对称性和付里叶级数波形的对称性和付里叶级数 100)cos(2)(nnntnActx 1000sincos2)(nnntnDtnBctx 000cos)(1TntdtntxTB 000sin)(1TntdtntxTD 其中其中211、当、当x(t)为偶对称时：为偶对称时：即即x(-t)=x(t) x(t)对纵轴对称对纵轴对称则则0sin)(1000 TntdtntxTD 2/000000cos)(2cos)(1TTntdtntxTtdtn

11、txTB 当当x(t)为偶函数时为偶函数时0 nD0 nB00 c没有没有正弦项正弦项只有只有余弦项余弦项和和直流分量直流分量222、当、当x(t)为奇对称时，即为奇对称时，即x(-t)=-x(t)时时即即x(t)对原点对称时对原点对称时0cos)(1000 TntdtntxTB 奇奇 x 偶偶 = 奇奇 000sin)(2sin)(10000TTntdtntxTtdtntxTD 奇奇 x 奇奇 = 偶偶0 nD0 nB00 c只有只有正弦项正弦项没有没有余弦项余弦项和和直流分量直流分量233、偶半波对称、偶半波对称)2/()(0Ttxtx 此周期函数为偶半波对称此周期函数为偶半波对称这样的信

12、号，只会有偶次谐波，不会有这样的信号，只会有偶次谐波，不会有奇次谐波奇次谐波0 nD0 nBx(t)t2/0T0T244、奇半波对称、奇半波对称如果如果)2()(0Ttxtx 这就是奇谐函数这就是奇谐函数此时：只有奇次谐波，没有偶次谐波此时：只有奇次谐波，没有偶次谐波0 nD0 nB02/0Tt2/0T 255、双重对称、双重对称当信号既是奇函数或偶函数，又是奇当信号既是奇函数或偶函数，又是奇谐或偶谐函数时，它就兼顾二者的特点谐或偶谐函数时，它就兼顾二者的特点例例1、t0偶函数，偶谐偶函数，偶谐0 nD0 nB并只有偶次谐波，只有余弦项并只有偶次谐波，只有余弦项4/30T 4/0T 4/0T4

13、/30T0 nC26例例2、2/0T 2/0Tt偶函数，奇谐偶函数，奇谐0, 0 nnBD而只有而只有 的奇次谐波的奇次谐波tn0cos 27例例3、t0, 0 nnBD2/0T 2/0T0T奇函数奇函数 偶谐偶谐只有只有tn0sin 的偶次谐波的偶次谐波28例例4、2/0T 02/0T奇函数奇函数 奇谐函数奇谐函数0, 0 nnBD只有只有tn0sin 的奇次谐波的奇次谐波概括一句话：概括一句话： 奇偶虚实奇偶虚实29 4.5 周期信号的频谱周期信号的频谱一、频谱的意义和特点一、频谱的意义和特点 ntjnnectx0)( dtetxTcTtjnn00)(10综合综合分析分析30 100)co

14、s(2)(nnntnActx 000cos)(1TndttntxTB 000sin)(1TndttntxTD 22nnnDBA 31 100)cos(2)(nnntnActx 0c12A22A32A42A0 nnjnnecc 0 n3c2c1c0c11Ac 22Ac 33Ac 321）离散性：是一根根离散的线谱）离散性：是一根根离散的线谱2）谐波性：（一根线就代表一次谐波的）谐波性：（一根线就代表一次谐波的1/2）每根线所在的位置是处于各谐波处每根线所在的位置是处于各谐波处3）收敛性：随着）收敛性：随着n的增大，谱线的幅度愈来的增大，谱线的幅度愈来愈降低，对于高次谐波它的幅度几乎为零愈降低，对

15、于高次谐波它的幅度几乎为零4）幅谱是）幅谱是n的偶函数对称于纵轴，而相谱的偶函数对称于纵轴，而相谱则是则是0 n的奇函数的奇函数njnneAc nnnAcc 而而nnncc argarg33即相谱即相谱n 对对0 n来说是奇函数，来说是奇函数，n 0 n二、周期方波的频谱分析二、周期方波的频谱分析1、频谱分析、频谱分析x(t)t0T 2/ 0T对称于原点。对称于原点。2/ A34P155 4-50式改写一下式改写一下02200001TAAdtTCTT 2sin2)(10002/2/00220000 nTnAeeTjnAdtAeTCjnjntjnn 3502T 0TA 20 n画出其频谱图如右画

16、出其频谱图如右000000000/)/sin(sin2sin22sinTnTnTATnnAncTAnnTA 361）幅度）幅度000/)/sin(TnTnTAcn 当当秒秒1 . 0, 1 A秒秒5 . 00 T时时即即5/10 T 当当n=0时时5/10 c当当n=1时时5/5/sin51/sin0001 TTTAc当当n=2时时5/25/2sin515/25/2sin02 TAc37当当n=n时时5/5/sin51 nncn 随着随着n的增大，其包络是按的增大，其包络是按xxsin的规律在变化的规律在变化此时此时)(sinsinxcxx 叫做抽样函数，是非常重要的叫做抽样函数，是非常重要的

17、2）间隔）间隔002T 一个间隔就等于一个基波周期一个间隔就等于一个基波周期函数函数383）节点）节点即即00/sinTnTn 的分子的分子0/sin0 Tn kTn 0/时时当当 0/Tn时时0 上上下下乘乘 /20 n5/15 . 01 . 00 T 0055/22 T39特点：特点：的的规规律律变变化化余余按按其其有有关关，最最大大幅幅度度为为幅幅度度与与xxTATAa/ )(sin,/,)(00 000/2TTb 有有关关，）间间隔隔只只与与（有有关关，只只与与脉脉冲冲的的宽宽度度节节点点 /2)(c0,TA 三三要要素素：4041的的变变化化而而变变化化的的情情况况和和、频频幅幅谱谱

18、随随02T 变变化化时时不不变变仅仅）当当（01T 次次谐谐波波上上。有有四四根根线线，节节点点在在第第秒秒，其其中中秒秒不不变变时时，如如果果当当55 . 01 . 0, 1)(0 TAa 0TA nC05 变变大大，谱谱线线变变密密。不不变变，节节点点位位置置不不变变；0T 04 0 02 03 42根根线线中中间间有有次次谐谐波波上上，则则节节点点在在第第秒秒，如如果果910,101)(00 TTb0TA nC010 430TA 根根线线中中间间有有次次谐谐波波上上，则则节节点点在在第第秒秒，如如果果1920,202)(00 TTcnC020 44变变化化时时不不变变仅仅）当当（ 02T

19、变变小小，节节点点远远离离。不不变变，谱谱线线间间隔隔不不变变； 0T中中间间有有四四根根线线时时，秒秒，即即秒秒，当当,2525/15 . 01 . 0)(000TTTa 0TA nC05 0 n45根根线线谐谐波波处处，中中间间有有次次节节点点发发生生在在第第，即即当当910,210205. 0)(0Tb 0TA nC010 0 n46根根线线间间有有谐谐波波处处而而间间隔隔不不变变，中中次次时时，节节点点发发生生在在即即当当19202202,025. 0)(0Tc 0TA nC020 0 n473、关于相谱问题、关于相谱问题它它无无虚虚部部，只只有有实实部部为为实实函函数数，000/si

20、nTnTnTncn 或或0 n 为为负负时时，相相位位为为为为正正时时，相相位位为为零零nncc4、频带宽度问题、频带宽度问题0 n n 20 sB48 4.7 非周期信号的付里叶变换非周期信号的付里叶变换一、公式的推导一、公式的推导周期信号的付里叶级数周期信号的付里叶级数 ntjnnTectx0)( 2/2/0000)(1TTtjnTndtetxTc 使周期信号非周期化使周期信号非周期化490T当)()()1txtxT愈愈密密，线线谱谱消消失失减减小小，谱谱线线愈愈来来时时，当当00/2)2TT 增增加加而而减减少少将将随随着着增增加加时时，谱谱线线的的幅幅度度当当000)(sin)3Txc

21、TAT ?lim00 TcnT设设法法求求50 2/2/000TTT时时，当当 0n)()(txtxT )()(lim00 jdtetxTctjnT推导反变换公式推导反变换公式dntxtxTnT,),()(000时，当)(lim00 jTcnT 002)(lim)(limlim000 TTnTTc51 deetxtjtjnnT)(212)(lim)(000的的比比较较与与（二二、ncj) ntjnnTectx0)( dtetxTcTtjnTn00)(10 dejtxtj)(21)( dtetxjtj )()(不同点：不同点： 0)1(n 0)2(T52是是代代表表了了谐谐波波幅幅度度的的注注意

22、意：nc次次谐谐波波的的幅幅度度就就是是nAccnnn2 三、常用信号的付里叶变换三、常用信号的付里叶变换例例1、单边指数信号、单边指数信号)()(tuetxt 0 0)()()(dtedtetuetjtjt j153221)( 1)( tg /1 )( )( 2/ 4/ 4/ 54例例2、门函数、门函数)(1tGTtA02/ 2/ )(1tGTA02/ t2/ t2sin2/)2/sin()(2/2/ cAAdtAetj 比较单个脉冲的频谱与周期信号的频谱，我们比较单个脉冲的频谱与周期信号的频谱，我们可以看到可以看到551)频谱的形状是相同的，都是按频谱的形状是相同的，都是按xxsin的规律

23、的规律变化变化2)它们的节点一样都是它们的节点一样都是 2只与脉冲宽度有关只与脉冲宽度有关3)它们的信号频带可以定义为一样，即它们的信号频带可以定义为一样，即 2 wB4)它们的幅频谱都是频率的偶函数，相谱是频它们的幅频谱都是频率的偶函数，相谱是频率的奇函数率的奇函数不同点：不同点：(1)周期信号为离散线谱，而非周期信号为连续周期信号为离散线谱，而非周期信号为连续的带谱的带谱56(2)周期方波的最大幅度是周期方波的最大幅度是TA AT无无关关，为为而而非非周周期期信信号号与与例例3、求单位冲激函数，、求单位冲激函数，)()(ttx 的频谱的频谱解：解：1)()()( dtetdtetxtjtj

24、 1)(t 0)(t t1)( 57例例4、已知、已知)()( 求求x(t)=?解：解： 2121)(21)(0 tjtjedetx)(2/1 1)(t )(2/1 0)(t t1)( )( 2/10)( 58 4.8 付里叶级数与付里叶变换的关系付里叶级数与付里叶变换的关系的的互互换换关关系系和和、)(1 nc0)(10 nnTc 00)(nncT换换、周周期期信信号号的的付付里里叶叶变变2狄里赫利条件就是狄里赫利条件就是(1)x(t)绝对可积，即绝对可积，即 dttx)(2)在任何有限区间内，在任何有限区间内，x(t)只有有限个极只有有限个极大值和极小值大值和极小值59(3)在任何有限区间

25、内，在任何有限区间内，x(t)不连续点个数有限，不连续点个数有限，而且在不连续点处而且在不连续点处x(t)的值是有限的的值是有限的?)()(2)(10 tx的的、求求例例 解：解： dedetxtjtj)()(221)(00tje0 )(200 tje)(200 netjn 60 nnnntjnnncectx)(2)(0 周期信号的付氏变换公式，特点就是有周期信号的付氏变换公式，特点就是有 的存在的存在)( 时时求求其其付付里里叶叶变变换换、当当例例 kkTttx)()(20 )(tx00T02T03T0T 02T 03T )( x002T 04T 06T 02T 04T )(0 161 nn

26、nntjnnncectx)(2)(0 02/2/01)(1000TdtetTcTTtjnn nnTnTkTttx)2(12)()(000 nnT)(200 62)()(sin000 jt)()(cos000 t)( x 0 0 0j/ j/ )( x 0 0 0 ttx0cos)( ttx0sin)( 63 4.9 连续时间付里叶变换的性质连续时间付里叶变换的性质1)线性性质线性性质)()(11 tx若若)()(22 tx为为两两个个任任意意常常数数21,aa)()()()(2211211 aatxatxa则则说明我们研究的是线性变换说明我们研究的是线性变换2)共轭对称性共轭对称性64)()(

27、)(* 是是一一个个实实时时间间函函数数，则则若若tx)(1)()( jtuetxt例例、已已知知是是一一个个实实函函数数)()(tuetxt j 1*）（）（则则)()()()()( jIRej 可见其实部是频率的偶函数可见其实部是频率的偶函数其虚部是频率的奇函数其虚部是频率的奇函数65(1)当当x(t)为一般实函数时，为一般实函数时，)()()(txtxtxoddeven 实实偶偶函函数数实实偶偶函函数数 )2(虚虚奇奇函函数数实实奇奇函函数数 )3()(tx)( 3)时移性质时移性质证：证： dtettxttxFtj )()(00)()(00)( tjtjedex66注意：幅谱不变、相谱

28、变化注意：幅谱不变、相谱变化例如例如02/ A)(tft )( 2/2 2/4 0t )(0ttf t)( 0t 000674)尺度变换性质尺度变换性质)()( tx若若)(1)(aaatx 则则为为一一实实常常数数其其中中a时时域域压压缩缩了了一一倍倍了了一一倍倍，相相比比，相相当当于于频频率率增增大大与与例例：ttsin2sin时时域域扩扩大大了了一一倍倍了了一一倍倍，相相比比，相相当当于于频频率率减减少少与与ttsin2/1sin68t2sin 2 2tsint2/1sin 269宽宽频频宽宽乘乘积积是是一一个个常常数数倍倍，而而时时倍倍之之后后，频频域域缩缩小小了了当当时时域域扩扩大大

29、了了倍倍，反反之之，了了倍倍之之后后，其其频频域域就就扩扩大大压压缩缩了了说说明明了了当当时时域域从从上上面面公公式式，aaaaaaatx),(1)( 倍倍。下下面面画画出出域域的的幅幅度度要要相相应应的的减减少少倍倍。而而频频少少倍倍，必必然然时时域域面面积积要要减减时时宽宽压压缩缩的的面面积积的的。幅幅值值是是正正比比于于时时域域图图形形前前面面的的系系数数aaaa1倍倍大大了了的的情情况况下下，说说明明频频带带扩扩在在aa1 倍倍缩缩了了的的情情况况下下，说说明明频频带带压压在在aa1 70时时其其频频谱谱的的图图形形)2()()2(txtxtx)2/(txt011T1T 5 .0 a)

30、(txt012/1T2/1T 1 a)2( txt014/1T4/1T 2 a)2( 1/T 12T)( 1/2T 1T)( 1/4T 2/1T)2/( 715）反转性质）反转性质)()(),()( txtx则则若若移移频频性性质质)6)()(),()(00 tjetxtx则则若若2)(cos)(000tjtjeetxttx 又又)()(2/1cos)(000 ttxF72例：画出调制信号的频谱例：画出调制信号的频谱调制波调制波tttxtg0cos)()( )( G0 0 2/1T 2/1T 信号信号)(txt012/1T2/1T )( 1/2T 1T)( 73t0cos t0 0 )( )(

31、 7)对偶性质对偶性质)(2)(),()( xtAAtx则则如如例例1)(t ）（则则 21为为偶偶函函数数而而)( )(2/121 ），即即（748)函数下的面积函数下的面积)0()()()(00 dtetxdttxtj的的面面积积轴轴围围成成与与的的值值就就是是时时域域中中在在ttx)(0)( 轴轴围围成成的的面面积积与与频频谱谱函函数数 )( )0(2)(2)()(00 xtxdedtttj 75)2/(txt0A2/1T2/1T )( 1/T 1AT)(t /2 )( 0c /c c 001221 cc cc 22769)时域微分性质时域微分性质)()( tx若若)()( jdttdx

32、则则同理可证明同理可证明)()()( nnnjdttxd例例2、求三角脉冲的付里叶变换式、求三角脉冲的付里叶变换式)(tf0d dA)(tf dA /dA / dd 0)(tf dd dA /dA /dA /2 ttt77步骤：步骤：1）先把）先把f(t)连续求导，使全部出现冲连续求导，使全部出现冲击为止击为止)()(2)()(dtdAtdAdtdAtf 2sin4cos222)(2ddAddAeedAtfFdjdj )2(sin/2sin4)(222dcAdddAF 7810)频域微分性质频域微分性质 ddtjtxtx)()(),()( 则则若若它说明信号在频域中对频谱函数求导，等效于在它说

33、明信号在频域中对频谱函数求导，等效于在时域中用时域中用-jt去乘它的时间函数去乘它的时间函数nnnddtxjt )()()( 同理同理例例)(21 )(2 jt或或)(2 jt)(2)( nnnjt 79 jtu1)()( 21)()( jttu11)时域卷积定理时域卷积定理)()(11 tx若若)()(22 tx)()()()(2121 txtx则则时时，就就转转到到频频域域中中去去当当我我们们计计算算卷卷积积有有困困难难求三角脉冲的频谱函数求三角脉冲的频谱函数80)(1tGTt012/1T2/1T )(2tGTt012/1T2/1T =)(tx01T 1T1Tt2/11TsaxT 1/2T

34、 0.2/11TsaxT 1/2T 0=2121TsaxT 21T8112)频域卷积定理频域卷积定理 )()(21)()( PXtptx 例例1、已知、已知 求求 )(cos)()()( PttpXtxc ？的频谱的频谱 )()()()( Rtrtptx )()(21)()()(21)()(21)(0000 XXXPXR82例例2、解调，把、解调，把 求求)(cos)(tgttrc ?)( g相乘相乘相乘相乘低滤低滤x(t)r(t)g(t)tc costc cos解：解： )2(4)(2)2(4)()()()(221)()(21)(000000 XAXAXAXXAPRg83440AA)()()( P 002)( AR 00 000022 2A)( G时间信号时间信号x(t) 0002)( H84为此解调的过程可以写为为此解调的过程可以写为)()()(trtptx ttp0cos)( )(tg)(txH()13)时域积分时域积分 Time Inte