第七章应力状态和强度理论

1、FP PPmmnnPnnkANmmPpkcoscos/ANANp2coscos p2sin2cossinsin p一、一点的应力状态一、一点的应力状态 过构件一点各个截面应力的总体情况称为该点的过构件一点各个截面应力的总体情况称为该点的。二、单元体二、单元体xyzxyxzxyzyxyzzxzy 围绕构件内一点截取一无限小正围绕构件内一点截取一无限小正六面体称为六面体称为。 单元体相对两面上的应力大小相等，单元体相对两面上的应力大小相等，方向相反。方向相反。 若所取单元体各面上只有正应力，而无若所取单元体各面上只有正应力，而无切应力，此单元体称为切应力，此单元体称为。 一点可以用无穷个微元表示，

2、找出之间应力的关系，称为一点可以用无穷个微元表示，找出之间应力的关系，称为也就是研究一点处沿各个不同方位的截面上的也就是研究一点处沿各个不同方位的截面上的应力及其变化规律。应力及其变化规律。123 只有正应力，而无切应力的截面只有正应力，而无切应力的截面称为称为。 主平面上的正应力称为主平面上的正应力称为。 一点的应力状态有三个主应力，一点的应力状态有三个主应力，按其代数值排列：按其代数值排列：321PP 若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称为为，如杆件轴向拉伸或压缩。，如杆件轴向拉伸或压缩。三、主平面和主应力三、主平面和主应力 若三个主

3、应力中，有一个等于零，两个不等于零，称若三个主应力中，有一个等于零，两个不等于零，称为为，或，或，如梁的弯曲。，如梁的弯曲。ABPxxxxxx 若三个主应力都不等于零，称为若三个主应力都不等于零，称为，三向，三向应力状态是最复杂的应力状态。应力状态是最复杂的应力状态。三向应力状态三向应力状态平面应力状态平面应力状态单向应力状态单向应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态特例特例yy 根据单元体的局部平衡：根据单元体的局部平衡：nynyx yx 应力的三个重要概念应力的三个重要概念 应力的点的概念应力的点的概念; ; 应力的面的概念应力的面的概念; ; 应力状态的概念应力状态的概念. . QFMz

4、yxy 哪一个面上哪一个面上哪一点哪一点？ 哪一点哪一点哪个方向面？哪个方向面？（1 1）（2 2）任一点都存在一个主单元体）任一点都存在一个主单元体 321（3 3）三种应力状态）三种应力状态 （单向、二向、三向）（单向、二向、三向） nxyx拉应力为正拉应力为正x压应力为负压应力为负 yx ax y cx yb ay tc n x yx 0 tF 0 nFdAcoscosdAxsincosdAxcossindAysinsindAy0dAsincosdAxcoscosdAxsinsindAycossindAy022cos1cos222cos1sin2yx xy 22cos2yx2sinx 2

5、sin2yx2cosx0222000 cossindd:xyyx令令yxxy22tan02p）、（0101极值正应力就是主应力极值正应力就是主应力 00 ）2222xyyxyxm inm ax （ x x y 在切应力相对的方向上，在切应力相对的方向上，且偏向于且偏向于 x 及及 y大的一侧大的一侧01 dd 令令xyx22tan1222xyxminmax ）（00145 , 4p即极值切应力面与主面成min2max1 ; y y主主单元体单元体21 xMPa20MPa103MPa30abc1n xy 22cos2yx2sinx23010030060cos23010060sin20MPa32.

6、 2 2sin2yx2cosx03060sin230100060cos20MPa33. 12n230100600120cos230100120sin20MPa32.42060120sin2301000120cos20MPa33. 1006030yxMPa40 x xy 22cos2yx2sinxcos222xx 2sin2yx2cosx2sin2x0452045x2045xmax xy 22cos2yx2sinx2sin 2sin2yx2cosx2cos045max450max4500045minmax 塑性材料（如塑性材料（如Q235）试件受扭时，当最大切应力达到）试件受扭时，当最大切应力达

7、到一定数值时，也会发生类似拉伸时的屈服现象，这时的切应一定数值时，也会发生类似拉伸时的屈服现象，这时的切应力值称为力值称为屈服应力屈服应力，用，用S表示。试件屈服时，也会在试件表表示。试件屈服时，也会在试件表面出现纵向和横向的滑移线。屈服阶段后也有强化阶段，直面出现纵向和横向的滑移线。屈服阶段后也有强化阶段，直到横截面上的最大切应力达到材料的剪切强度极限到横截面上的最大切应力达到材料的剪切强度极限b，试件，试件就沿横截面被剪断，断口较光滑。就沿横截面被剪断，断口较光滑。 这主要由于这主要由于Q235钢抗剪强度低于抗拉强度，所以试钢抗剪强度低于抗拉强度，所以试件因抗剪不足而首先沿横截面发生剪断破

8、坏。件因抗剪不足而首先沿横截面发生剪断破坏。 脆性材料（如铸铁）试件受扭时，当变形很小时便发生脆性材料（如铸铁）试件受扭时，当变形很小时便发生裂断，且没有屈服现象，断口与轴线成裂断，且没有屈服现象，断口与轴线成45螺旋面。螺旋面。 由于铸铁等脆性材料的抗拉能力低于抗剪能力，于是便由于铸铁等脆性材料的抗拉能力低于抗剪能力，于是便沿最大拉应力作用的斜截面发生拉断破坏。此时横截面上的沿最大拉应力作用的斜截面发生拉断破坏。此时横截面上的最大切应力的值称为最大切应力的值称为剪切强度极限剪切强度极限，用，用b表示。表示。 解题注意事项：解题注意事项： 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写上述

9、公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已知条件。清已知条件。 x、 y 以拉为正，以压为负；以拉为正，以压为负； x 沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负；沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负； 为斜截面的外法线与为斜截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为正，顺轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。时针转为负。 求得主应力求得主应力 、 与与0排序，确定排序，确定 1、 2、 3的值。的值。 0为为主应力主应力 所在截面的外法线与所在截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。针转为正，顺时针转为负。yxx22tan0 在在03600，2 0有两

10、个解，与此对应的有两个解，与此对应的 0也有两个解，其中落在也有两个解，其中落在切应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。切应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。补例补例1求图示单元体的主应力、最大切应力、并在单元体上求图示单元体的主应力、最大切应力、并在单元体上标出主应力的方位。标出主应力的方位。MPa50MPa40MPa20解：解：已知已知,50MPax,20MPax,40MPay2 .495)20()24050(2405022MPaMPa2 .44, 0,2 .54321MPa2 .49)2 .44(2 .54(21maxMPa50MPa40MPa2094)40(50)20(22t

11、an096.20396.232098.10198.110此解在第一象限，为本题解；此解在第一象限，为本题解；此解在第二象限，不是本题解，舍掉。此解在第二象限，不是本题解，舍掉。11330=11.98练习练习1求图示单元体的主应力、最大切应力、并在单元体上求图示单元体的主应力、最大切应力、并在单元体上标出主应力的方位。标出主应力的方位。MPa80MPa40解：解：已知已知,80MPax,40MPax, 0y57.564040)2080(208022MPaMPa57.96, 0,57.16321MPa57.56)57.96(57.16(21maxMPa80MPa4010804022tan02254

12、5205 .675 .1125 .220此解在第二、四象限，为本题解。此解在第二、四象限，为本题解。此解在第一象限，不是本题解，舍掉；此解在第一象限，不是本题解，舍掉；33110=67.5222)(Ryax xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx222222xyxyx圆心？圆心？半径？半径？)0 ,2(yx222xyxR二、应力圆的画法二、应力圆的画法第一种画法第一种画法（1）在）在 轴上作出轴上作出 A0( x,0), B0( y,0) （2） A0 , B0的中点为圆心的中点为圆心C（3）过）过A0垂直向上取垂直向上取 x 得得 A， CA为半径为半径0 CA0B0AB

13、yx（4）以）以C 为圆心、为圆心、CA为半径为半径 画圆画圆第二种画法第二种画法 A( ( x， x) B ( y， y) AB与与 轴的轴的 交点交点C是圆心是圆心（3 3） 以以 C 为圆心为圆心 以以AC为半径为半径 画画 圆圆 应力圆应力圆 或或 莫尔圆莫尔圆 x x yxyOn A( x , x)O CB( y , y)x2 nD( , 以上由单元体公式以上由单元体公式应力圆（原变换）应力圆（原变换）下面寻求：下面寻求：由应力圆由应力圆单元体公式（逆变换）单元体公式（逆变换）只有这样，应力圆才能与公式等价只有这样，应力圆才能与公式等价换句话说，换句话说，单元体与应力圆是否有一一对应

14、关系？单元体与应力圆是否有一一对应关系？为什么说有这种对应关系？为什么说有这种对应关系？0000sin180(22)sin(22)(cos2)sin 2(sin 2)cos2sin 2cos22oxyxyDERRRR 2222222222222218020000sincos)sinsincos(cosR)cos(R)(cosRECOCOExyyxyxyxyxoyx0 CA( x , x)B( y , y)x2 n D( , E2 0 0单元体与应力圆的对应关系单元体与应力圆的对应关系（1）单元体的右侧立面单元体的右侧立面 应力圆的应力圆的 A 点（点（2 0 ）（2）斜截斜截面和面和应力应力(

15、 ， ) 应力圆上一点应力圆上一点 D 点点 和坐标和坐标( ， )（3）单元体上夹角单元体上夹角 应力圆上应力圆上 CA 与与 CD 夹角夹角 2 且转向一致且转向一致 x x yxyOn O CA( x , x)B( y , y)x2 nD( , 2 0 0（4 4）主主单元体上单元体上 1 所在面法向所在面法向 是由是由 x 轴轴顺时针转顺时针转 0 轴上应力圆最右端轴上应力圆最右端 yyxADxa( x , x)d( y , y)c o223122 xyxyxROC）（半径22minmax2xyxR）（半径A( x , x)maxCO B( y , y)x2 min 2 0 0 1 2

16、 31 1、解析法、解析法 精确、公式不好记精确、公式不好记 一般公式一般公式2 2个（正、切应力），极值应力个（正、切应力），极值应力5 5个个 （极大与极小正应力，极大与极小切应力，（极大与极小正应力，极大与极小切应力， 主单元体方位角）主单元体方位角）2 2、图解法、图解法 不必记公式、数值不精确不必记公式、数值不精确 有没有有没有 集二者优点集二者优点、避二者缺点避二者缺点 的方法的方法 ？ 为此提出了如下方法为此提出了如下方法 3 3、图算法、图算法 前半部前半部 画莫尔圆画莫尔圆 后半部后半部 看图精确计算看图精确计算30080 , ,yx例例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主

17、单元体单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体3080单位：单位：MPa80301 3 (80, 3080, 30 x y 1、取、取 的中点的中点C为圆心为圆心yx, 以以 AC 为半径画莫尔圆为半径画莫尔圆2、算出心标、算出心标 0C = -40，半径，半径3、算出主应力、切应力极值、算出主应力、切应力极值5022DCADACR4、算出方位角、算出方位角MPaMPaRC 9010031 MPaR -minmax50 5、画出主单元体、画出主单元体 （1） 点对应于右垂面点对应于右垂面 （2）右垂面顺时针转）右垂面顺时针转1 3 (80, 3080, 30 x y o 257.71286.

18、36180 86.36tan 0DCADarcACD3080单位：单位：MPa8031 o 得主单元体的最大得主单元体的最大 拉应力所在的面拉应力所在的面 （3）垂直做主单元体的）垂直做主单元体的 另一个面另一个面o bhzsFM123mm254132341123bhIz4500cm zIMy14310500501010MPa100021MPa1003AFs23max1006021012033MPa3022134212xyxyxMPa30102MPa303 zIMy34310500251010MPa50bISFzzs*60105005 .3725601012043MPa5 .22MPa6 .5

19、8102MPa6 . 83MPa10010203 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 a 所示，梁的所示，梁的横截面尺寸示于图横截面尺寸示于图 b 中。试绘出截面中。试绘出截面 c 上上 a , b 两点处的应两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。12015152709zab单位：单位：mm(b)250KN1.6m2mC(a)AB解解: 首先计算支反力首先计算支反力, 并作出并作出 梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图MC = 80 kNmFSC左左 = 200 kN+200KN50KN+80KM.m250KN1

20、.6m2mCA463310881227011112300120mmIzmmya135横截面横截面C上上a 点的应力为点的应力为MPadISFzzasa6 .6412015152709zab单位：单位：mmIyMZ bISFzzsMPaIyMzaca7 .12232560005 . 715015120mmSzaa 点的单元体如图所示。点的单元体如图所示。xx,由由定出定出D1点点yy,由由定出定出D2点点以以D1D2为直径作应力圆。为直径作应力圆。xxxxyyoCB1D1(122.7 , 64.6)B2D2(0 , - 64.6)A1，A2两点的横坐标分别代表两点的横坐标分别代表 a 点的两个主

21、应力点的两个主应力 1 和和 3。MPa.OA415011MPa.OA72723oCB1D1(122.7 , 64.6)B2D2(0 , - 64.6)1A13A2xxxxyyA1 点对应于单圆体上点对应于单圆体上 1 所在的主平面所在的主平面004 .462002 .23主平面及主应力如图所示。主平面及主应力如图所示。xxxxyyoCB1D1(122.7 , 64.6)B2D2(0 , - 64.6)1A13A220013mmyb150 MPayIMbzCb5136. 0 b12015152709zab单位：单位：mmb点的单元体如图所示。点的单元体如图所示。MPax5136. xMPax5

22、136. 0 x0 y0 yB点的三个主应力为点的三个主应力为MPax51361. 032 1所在的主平面就是所在的主平面就是 x 平面平面 , 即梁的横截面即梁的横截面 C 。MPax5136. x ),.(051361D),( 002D1 3abd060060abcxxy0 xF030cos30sin00abxabAA3x3102333 A50100100200 o100,20050,100cMPa235102MPa1103MPa5 .172max 已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试求已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试求 角、该点角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力和主

23、的主应力、主平面，并在图上画出主应力和主平面的方位。平面的方位。95MPa45MPaMPa325MPa3252oaabbC954532570245abOC5025)325(22 car95MPa45MPaMPa325MPa3252oaabbC954532570245abOC5025)325(22 car, 5 . 0sin,30,15018012A1A2MParOC12050701MParOC2050702 1 22a2bab 30a 30b 1 2 3xzzxzyyzyxxy xyzoxxyxzyyxyzzzxzy因而独立的应力分量有因而独立的应力分量有6个个xyzxyyzzx根据切应力互等

24、定理，根据切应力互等定理，在数值上有在数值上有123。 受力物体内某一点处三受力物体内某一点处三个主应力个主应力 1、 2、 3 均均为已知为已知 利用利用 确定该点的最确定该点的最大正应力和最大切应力大正应力和最大切应力。131223131223首先研究与其中一个首先研究与其中一个主平面主平面 (例如主应力例如主应力 3 所在的平面所在的平面)垂直的垂直的斜截面上的应力。斜截面上的应力。1333121223 与与 3所在平面垂直的斜截所在平面垂直的斜截面上的应力可由面上的应力可由 1 、 2作出的作出的应力圆上的点来表示。应力圆上的点来表示。 主应力主应力 3 所在的两平面上所在的两平面上是

25、一对自相平衡的力，因而该是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力斜面上的应力 、 与与 3无关无关,只由主应力只由主应力 1、 2 决定。决定。3312与主应力与主应力 2所在主所在主平面垂直的斜截面平面垂直的斜截面上的应力上的应力 、 可用可用由由 1 、 3作出的应作出的应力圆上的点来表示。力圆上的点来表示。OA123OA123该截面上应力该截面上应力 和和 对应的对应的D点必位于上点必位于上述三个应力圆所围述三个应力圆所围成的阴影内。成的阴影内。abc 截面表示与三截面表示与三个主平面斜交的任个主平面斜交的任意斜截面意斜截面112233abcO123三个应力圆周上的点及由它三个应力圆周上的

26、点及由它们围成的阴影部分上的点的们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。所有截面上的应力。123该点处的最大正应力该点处的最大正应力(指代数值指代数值)应等于最应等于最大应力圆上大应力圆上A点的横点的横坐标坐标 1。1 maxO123A AO123A AB Bmax)(max3121 O123A AB Bmax)(max3121 1 max 单元体的应力如图单元体的应力如图 a 所示所示，作应力圆，并求出主应作应力圆，并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位。力和最大切应力值及其作用面方位。zx20M Pa20M Pa20M Pa因此与该主平面

27、正交的各截面因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力上的应力与主应力 z无关无关, 依依据据 x 截面和截面和 y 截面上的应力画截面上的应力画出应力圆出应力圆. MPaz20 MPax40 MPax20 MPay20 MPay20 解解: 该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力zx20M Pa20M Pa20M Pa o A11A2346MPa-26MPa量得另外两个主应力为量得另外两个主应力为D1D2c该单元体的三个主应该单元体的三个主应力按其代数值的大小力按其代数值的大小顺序排列为顺序排列为MPa26MPa,20MPa,46321 ocD2D1A11A232MPa36 max

28、BmaxMPa26MPa,20MPa,46321根据上述主应力，作根据上述主应力，作出三个应力圆。出三个应力圆。 ocD2D1A112Bmax20从应力圆上量得从应力圆上量得34200 1700 A23据此可确定据此可确定 1 所在的所在的主平面方位和主单元主平面方位和主单元体各面间的相互位置体各面间的相互位置. ocD2D1A112A23Bmax 其中最大切其中最大切应力所在截面与应力所在截面与 2垂直，与垂直，与 1和和 3所所在的主平面各成在的主平面各成45 夹角。夹角。 x45173(c) maxmax450 MPa40MPa20MPa20MPa20maxMPa20minMPa401M

29、Pa202MPa203231max22040MPa30302001年长安大学（1）符号规定）符号规定 x y z x y y z z x x y z x y y z z x 一、各向同性材料的广义胡克一、各向同性材料的广义胡克定律定律： 拉应力为正拉应力为正 压应力为负压应力为负。xyzo上面上面右侧面右侧面前面前面xxyxzyyxyzzzxzyxyzo上面上面右侧面右侧面前面前面xxyxzyyxyzzzxzy 若正面若正面( (外法线与坐标轴正外法线与坐标轴正向一致的平面向一致的平面) )上切应力矢上切应力矢的指向与坐标轴正向一致的指向与坐标轴正向一致, , 或或负面负面( (外法线与坐标轴

30、负向外法线与坐标轴负向一致的平面一致的平面) )上切应力矢的上切应力矢的指向与坐标轴负向一致，则该指向与坐标轴负向一致，则该切应力为正切应力为正, , 反之为负。反之为负。 : 以伸长为正以伸长为正, 缩短为负。缩短为负。: 使直角减小者为正使直角减小者为正, 增大者为负。增大者为负。分别对应着直角分别对应着直角 xoy， yoz， zox 的变化。的变化。xyyzzxxyzo上面上面右侧面右侧面前面前面xxyxzyyxyzzzxzyxE-泊松比泊松比E213=111+1 22+331 E11E21 E31 1+ 32111 E231 32111 E 13221 E 21331 Ey x xz

31、yxxE1xzyyE1yxzzE1 yxxE 1 xyyE 1 yxzE 12EGGGGzxzxyzyzxyxy kNF14xyz0 x0zAFy202010143MPa35zyxxE100353 . 0zxyxzzE100353 . 0 xzMPazx15 y x z A2000年西安建筑科技大学zyxxE1 T045pWE11E1p1163dET3 . 0116210200102 . 5334pmN 7 .125已知已知E=10GPa、 =0.2，求图示梁求图示梁nn 截面上截面上 k 点点沿沿30方向的线应变方向的线应变 30。nnk1m1m2mAB200150

32、7575kkNP1230mkNMk.6kNFs6MPahbhMyIMkkzk130206000341223bhFbbhhbhFbISFsszzs89)8/3()4/(123*解：解：nnk1m1m2mAB2001507575kkNP1230mkNMk.6kNFs6MPahbhMyIMkkzk130206000341223MPabhFs1125. 030020086000989nnk1m1m2mAB2001507575kkNP1230MPaMPaxyx1125. 0, 0,130-6030-60MPaxxx847. 0234260sin60cos2230MPaxxx153. 02342)120s

33、in()120cos(2260nnk1m1m2mAB2001507575kkNP123030-6030-60,847. 030MPaMPa153. 060536030301016. 81010)153. 0(2 . 0847. 0)(1E 薄壁筒内压容器薄壁筒内压容器(t/D1/20)，筒的筒的平均直径为平均直径为D ，壁厚壁厚为为t ，材料的材料的E、 已知。已测得筒壁已知。已测得筒壁上上 k 点沿点沿45方向的方向的线应变线应变 45，求筒内压强，求筒内压强p。45 kptDxxyy解：解： 筒壁一点的轴向应力：筒壁一点的轴向应力：tpDx4筒壁一点的环向应力：筒壁一点的环向应力：tpDy

34、245 kptDxxyy,4tpDxtpDy245-4545-45tpDyx8324545tpDEE831)(1454545DEtp)1 ( 3845二、各向同性材料的体积应变二、各向同性材料的体积应变（2） 各向同性材料在空间各向同性材料在空间 应力状态下的体积应变应力状态下的体积应变 1 2 3a1a2a3（1）概念）概念:构件每单位体积构件每单位体积 的体积变化的体积变化, 称为体积称为体积 应变用应变用 表示。表示。 )1 ()1 ()1 (332211 aaaV公式推导公式推导设单元体的三对平面为主平面设单元体的三对平面为主平面, 其三个边长为其三个边长为a1, a2, a3变形后的

35、变形后的边长分别为边长分别为 a1(1+ , a2(1+ 2 , a3(1+ 3 , 因此变形后单元体因此变形后单元体的体积为的体积为 1 2 3a1a2a3321321321321321321321332211 )1 ( )1 ()1 ()1 ( aaaaaaaaaaaaaaaaaaVVV)(21321E表达式表达式：xy 3102 )(13211 E)(11322 E)(12133 E)(21zyxE 在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变只与三个线应变x ，y， z有关。仿照上述推导有有关。仿照上述推导有 壁厚壁厚 t =10mm

36、，外径，外径 D=60mm 的薄壁圆筒，在表面上的薄壁圆筒，在表面上 k 点处与其轴线成点处与其轴线成 45和和135角即角即 x、 y 两方向分别贴上应两方向分别贴上应变片，然后在圆筒两端作用矩为变片，然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶，如图所示。的扭转力偶，如图所示。已知圆筒材料的弹性常数为已知圆筒材料的弹性常数为 E = 200GPa 和和 = 0.3 ，若该圆，若该圆筒的变形在弹性范围内，且筒的变形在弹性范围内，且 max = 80MPa , 试求试求k点处的线应点处的线应变变 x 、 y 以及变形后的筒壁厚度。以及变形后的筒壁厚度。Dtymk450900 x450900Dtxym

37、kmaxmaxxyk0MPa80MPa80max3max1zxy可求得可求得解解: 从圆筒表面从圆筒表面k点处取出单元体点处取出单元体,其各面上的应力分量如图所示其各面上的应力分量如图所示 1 3k点处的线应变点处的线应变 x、 y 为为)(102 . 5)(1 )(1)(14maxmaxmax压应变EEEyxx)(102.54拉应变 xy圆筒表面上圆筒表面上k点处沿径向点处沿径向 (z轴轴) 的应变为的应变为0)()(maxmax EEyxz同理可得圆筒中任一点同理可得圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为该点到圆筒横截面中心的距离为 ) 处处的径向应变为的径向应变为因此因此, 该圆筒

38、变形后的厚度并无变化该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为仍然为 t =10mm。0)( Ez54hP 简支梁由简支梁由18号工字钢制成。其上作用有力号工字钢制成。其上作用有力P = 15KN ，已知已知 E=200GPa , v = 0.3。求：求：A 点沿点沿 00 ，450，900 方向的线应变方向的线应变00450900A0045090054hPA00450900)(yxxE 1)(xyyE 1)(yxzE 设设 z = 0解：解：2502. PMA2PFASzA4hMPayIMAzAA850. MPadISFzzAASA8 .68(-)yA , Iz

39、 , d 查表得出查表得出SzA*为图示面积对中性轴的静矩为图示面积对中性轴的静矩54hPA00450900)(yxxE 1)(xyyE 1)(yxzE 设设 z = 0A850. A868. A8 .5000A0900 yE0000 09000E MPaxxx29490902200450.sincos MPaxxx34327027022001350.sincos 135010536161354545000 )(E (2) 在三个主应力同时存在时在三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度应为单元体的应变能密度应为)(33221121 u1、 ：单位体积物体内所积蓄的应变能称

40、为：单位体积物体内所积蓄的应变能称为 应变能密度应变能密度2、(1) 单轴应力状态下单轴应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为物体内所积蓄的应变能密度为222221EEu 112122E11EW2211EW2222E22E2112333E333EW2233E31E32W321WWWE221E222E21E223E31E32133221232221221E21331322321121E1E2E3E33221121v= 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+v=vV+vd 状态状态1受平均正应力受平均正应力 m作用，因各向均匀受力，故只有作用，因各向均匀受力，故只有体积改变，而

41、无形状改变，相应的应变能密度称为体积改变，而无形状改变，相应的应变能密度称为。 状态状态2的的体积应变：体积应变：0)()()(213212mmmE 状态状态2无无体积改变，只有形状改变，相应的应变能密度体积改变，只有形状改变，相应的应变能密度称为称为。 用用 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为为用用 vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度, , 称称为为形状改变能密度。形状改变能密度。应变能密度应变能密度 等于两部分之和等于两部分之和dvvvv 1 2 3 m m 1- m m 2-

42、m 3- m=+=V+d2321222)(6213221)323(21EEEvmmmV)()()(2)()()(21133221232221mmmmmmmmmdEv)()()(61213232221Evd化简后，可得化简后，可得对于最一般的空间应力状态下的单元体，其应变能密度为对于最一般的空间应力状态下的单元体，其应变能密度为)(21zxzxyzyzxyxyzzyyxxu 133221232221221EvdVvvv即应变能密度即应变能密度 等于体积改变能密度与形状改变能密度等于体积改变能密度与形状改变能密度两部分之和。两部分之和。例例边长为边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模

43、的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为量为E 、泊桑比为、泊桑比为 ，顶面受铅直压力，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的体积作用，求钢块的体积应变应变 和形状改变能密度和形状改变能密度 ud 。Pxyz x y z解：解： 由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2aPAFNy, 0z, 0 x x y z,2aPyx)0(10yxE23221, 0aPaP222321)1)(21 ()0(21)(21EaPaPaPEE42222222223)1)(1 ()()()(61EaPaPaPaPaPEud补例补例 用能量法证明三个弹性常数间的关系用能量法证明三个弹性常数间的关系Gu2212（1

44、1）纯剪切单元体的应变能密度为纯剪切单元体的应变能密度为（2 2）纯剪切单元体应变能密度的主应力表示为纯剪切单元体应变能密度的主应力表示为312321232221221Eu)(002)(02122E21E12EG xyA 1 3 WM maxmax ANmaxmax拉、压拉、压弯曲弯曲切应力强度条件切应力强度条件 ： pWTmaxmax扭转扭转 bsISFzz zmax*maxmax弯曲弯曲 一、引言一、引言正应力强度条件正应力强度条件 ： 构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何复杂，构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何复杂，其破坏形式总不外乎几种类型，而同一类型的破坏则可能是某一个其破坏形式总不外乎几种类型，而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的。共同因素所引起的。材料出现显著的塑性变形