相似矩阵及二次型PPT学习教案

1、会计学12 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广, 但是只定义了线性运算, 而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维空间丰富的内容.5.1 向量的内积、长度及正交性我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中. 在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积),cos(yxyxyx 建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积设TTyyyyxxxx),(,),(321321 则332211yxyxyxyx 第1页/共114页3维向量维向量设有设有nTnTnyyyyxxxx),(,),(2121 xyyxyxyxyxyxTTnn 2211, 令令 . ,的的与与为为向向量量称称y

2、xyx内积第2页/共114页4;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx有有时时且当且当著名的Cauchy-Schwarz不等式,2yyxxyx 即 niiniiniiiyxyx121221第3页/共114页5非负性非负性. 1齐次性齐次性. 2三角不等式三角不等式. 3,22221nxxxxxx . 或或的的维向量维向量为为称称xnx长度范数; 0,0; 0,0 xxxx时时当当时时当当;xx .yxyx (三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证,见P114)第4页/共114页6 . ,11为为称称时时当当xx 单位向量

3、 yxyxyx ,arccos,0,02 时时当当 的的与与维向量维向量称为称为yxn夹角. ,0,yxyx与与称向量称向量时时当当 正交. 显然, 0 与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若xx 第5页/共114页7 若一个不含零向量的向量组 中的向量两两正交 ，则称该向量组为正交向量组又如果这些向量都是单位向量 ,则称该向量组为规范正交向量组. 若该向量组是一个向量空间 V 的基, 又分别称为向量空间 V 的正交基和规范正交基. )(0,jiji r ,211 i 第6页/共114页8, 0021111 T由由.01 从而有从而有. 02 r 同同理理可可得得.,21线线性性无无关关故故

4、r 使使设有设有又又r ,2102211 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T ,r21 设 是正交向量组正交向量组必线性无关.第7页/共114页9例100200032132121 AxxxxxxxxxTT 解这相当于要求方程组的非零解 12111121TTA 求得基础解系(即为所求)为 1013 121,11121 已知 中两个正交向量3R试求 使 构成3 321 ,的一个正交基.3R第8页/共114页10例2(例1的一般化, 也称正交基的扩张定理) 设 是 中的一个正交向量组, ,证明必可找到 个向量 使 构成 的正交基.r ,21nRnr rn nr ,1 n ,21

5、nR都正交. 只需证必可找到 使 与 01 r 1 r r ,21记 TrTA 1nrAr )(0 Ax必有非零解.其任一非零解即为所求的1 r 第9页/共114页11 设 是一组线性无关的向量, 它就是它生成的向量空间r ,21),(21rL的一个基(坐标系), 如何在向量空间 L 中建立正交的基(坐标系)?这个问题就是找与 等价的正交向量组r ,21r ,21第10页/共114页12以三个向量 为例, 从几何直观上去求.321, 1122 1 2 11 1 2 11 上式两边与 做内积, 注意 得1 0,21 ,11211从而1112122, 第11页/共114页13我们已求得 已正交,

6、再求构造21, 3 1 2 3 11 22 2211 3 )1(221133 (1)式两边与 内积, 注意1 0,3121 ,11311 得(1)式两边再与 内积, 类似可得2 ,22322 222321113133, 从而第12页/共114页1411 ,1112122 111122221111, rrrrrrrrr 222321113133, 施密特正交化方法设 线性无关r ,21令则 两两正交, 且与 等价.r ,21r ,21?111/ 222/ rrr / 是与r ,21等价的规范正交组第13页/共114页15 两两正交, 可用数学归纳法严格证明.r ,21与 等价, 这是因为(只需看

7、三个)r ,2111 11222 r 32231133 rr11 21122 r22311333 rr 100101,231312321321rrr 1231312321321100101, rrr 第14页/共114页16例3TTTaaa)1, 1 , 5 , 3(,)4 , 0 , 1, 1(,)1 , 1 , 1 , 1(321 Tab1 , 1 , 1 , 111 1112122,bbbabab TT1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 T3 , 1, 2, 0 求 的一个规范正交基, 并求向量),span(321aaa222321113133,bbbabb

8、bbabab TTT3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 T0 , 2, 1 , 1 解 易知 线性无关, 用施密特正交化方法 321,aaa再单位化 111121111bb 3120141222bb 021161333bb Taaa)4 , 2 , 5 , 5(321 在该规范正交基下的坐标.第15页/共114页17 当建立规范正交基(相当于标准直角坐标系)后, 求一个向量的坐标就特别方便332211 两边分别与 内积321, ,332211 (这里就不具体计算了)第16页/共114页18定理A 是正交矩阵EAAT TAA 1A 的列组是规范正

9、交组A 的行组是规范正交组 ,为为则称则称满足满足阶方阵阶方阵若若AEAAAnT 正交矩阵.第17页/共114页19EnTnTnTnnTTTnTTT 212221212111 njijijiijjTi, 2 , 1, 0, 1 当当当当 ,21nA 记EnTnTT ,2121 EAAT 证 (只证第三条)第18页/共114页20(1) A是正交矩阵，则 和 都是正交矩阵；1 A A(2) A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；(3) A是正交矩阵，则 ；1 A(4) P是正交矩阵，则 ，nRxxPx ,即正交变换保持向量的长度不变。第19页/共114页21第20页/共114页225.2 方阵

10、的特征值与特征向量 如果存在可逆矩阵 P 使(1)式成立, 此时称方阵 A 是可(相似)对角化的. ,11nP 记, 则,)1(1111nnA 1 2 n ), 1(niAiii 本章主要讨论: 对于方阵 A 能否找到(如何找)可逆矩阵 P APP1 1 2 n (1)使得 满足上式的 称为 A 的特征值, 称为 A 的对应于特征值 的特征向量. i i i 第21页/共114页23满足设 A 是 n 阶方阵，如果数 和 n 维非零列向量 x )1(xAx 则称 为 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于(或属于)特征值 的特征向量。 )2(0)( xAE 把(1)改写为 是 A 的特

11、征值0 AE 使得(2)有非零解 (2)的所有非零解向量都是对应于 的特征向量. 第22页/共114页24nnnnnnaaaaaaaaaAEf 212222111211)(nnnnnnncccc)1()1(112211 (注：第一章已求得 ， )nnaaac 22111Acn 称为 A 的特征多项式，而 称为 A 的特征方程。0)( AEf 由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根(重根按重数计算)。因此，n 阶方阵在复数范围恰有 n 个特征值。 本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内进行。第23页/共114页25nnnaaa 221121)1( An 21)2()()()

12、(21nAEf 设 n 阶方阵 特征值为)(ijaA n ,21, 则nnnnn 21121)1()( Aaaannnnn)1()(12211 又第24页/共114页26例1求矩阵 的特征值. 0110A01112 AE两个特征值为1,121 问: 特征向量是实的还是复的?第25页/共114页27例2 nnnnaaaaaa22211211 A求 A 的特征值. AE nnnnaaaaaa 222112110)()(2211 nnaaa 因此, n 个特征值为nnnaaa ,222111问：对角矩阵，下三角矩阵的特征值为？第26页/共114页28 122113221B例3 966636663A求

13、矩阵 A，B 的特征值和特征向量。966636663 AE解 （对矩阵A） 1016366633 100630663331 cc 0332 30363666313 rr第27页/共114页293, 3321 A 的特征值为对于 ，解方程组31 0)(1 xAE 000110101126660666031AEAE 3231xxxx同解方程组为 ，令 ，得基础解系13 xT)1, 1 , 1(1 因此，对应于特征值 的所有特征向量为1 )0(111 kk 966636663A第28页/共114页30对于 ，解方程组332 0)(2 xAE 00000011166666666632AEAE 同解方程

14、组为 ，令321xxx 得基础解系 10,0132xx,)0 , 1, 1(2T T)1, 0 , 1(3 因此，对应于特征值 的所有特征向量为332 3322 kk ),(32不同时为零不同时为零kk 966636663A第29页/共114页31（对矩阵B） 122113221B122113221 BE123113223321 ccc 30013022131211112213 0332 3, 3321 B 的特征值为第30页/共114页32对于 ，解方程组31 0)(1 xBE 00011010142214322431BEBE 3231xxxx同解方程组为 ，令 ，得基础解系13 xT)1

15、, 1 , 1(1 因此，对应于特征值 的所有特征向量为1 )0(111 kk 122113221B第31页/共114页33对于 ，解方程组332 0)(2 xBE 00021010122212322232BEBE 32312xxxx同解方程组为 ，令 ，得基础解系13 xT)1 , 2, 1(2 因此，对应于特征值 的所有特征向量为332 )0(222 kk 122113221B第32页/共114页34(1) 向量 满足 , 0 A0 是 A 的特征向量吗？(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗?(3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值_。nAAE 210 或或，A 有一个特征值

16、为_。0 EA(4) ，A 有一个特征值为_。0 AEA 可逆, A 的特征值一定不等于_。第33页/共114页35(6) 一个特征值对应于几个特征向量?一个特征向量对应几个特征值?(后面证明)(7) A 的各行元素之和均等于2,则 A 有一个特征值是_, 它对应的特征向量是_。 1112222111333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa(5) A 的特征值与 的特征值有什么关系？TATTAEAEAE )(特征向量的个数=_。 是 的一个特征值，它对应的最大无关的0 nnA )r(0AEn 第34页/共114页36例4证明：

17、一个特征向量只能对应一个特征值。证 假设 A 的特征值 和 对应的特征向量都是1 2 则 21 A0)(21 210 第35页/共114页37例5设 是方阵 A 的特征值，对应的一个特征向量 xxkxkAxAx)()()1( xxAxxAAxAxA22)2( 证明(1) 是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为 x。 k(2) 是 的特征值，对应的特征向量仍为 x。2 2A(3) 当 A 可逆时， 是 的特征值，对应的1 1 A特征向量仍为 x。证 xxAxAxAAxA 1)3(1111 第36页/共114页38：设 是方阵 A 的特征值， 则 是 的特征值。k kAmmaaaa 2210)(m

18、mAaAaAaEaA 2210)( 的特征值。如果 A 可逆，则mmkkaaaaa 1011)(mmkkAaAaEaAaAaA 1011)( 的特征值。是是第37页/共114页39例6设3阶矩阵A的三个特征值为2 , 1, 1 求EAA23 解 A的特征值全不为零，故A可逆。112 AAAA, 2321 AEAAEAAA23223)(1 的三个特征值为)3 , 2 , 1(232)(1 iiii 计算得3)2(, 3)1(, 1)1( 93)3()1(23 EAA因此，第38页/共114页40例7，设设OEAA 232证明A的特征值只能取1或2.设 是A的特征值，则 EAAA23)(2 的特征

19、值为23)(2 由于 是零矩阵，其特征值全是零，故)(A 21023)(2 或或第39页/共114页41第40页/共114页425.3 相似矩阵设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使BAPP 1则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算 称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。APP1 定义 特别地，如果A与对角矩阵相似，则称A是可对角化的。第41页/共114页43性质)tr()tr(BA (1) 相似关系是一种等价关系;(2) A与B相似, 则r(A)=r(B);(3) A与B相似, 则 ; 从而A与B有相同的特征值;(4) A与B相似, 则 ;(5) A

20、与B相似, 则 ;(6) A与B相似, 则 与 相似; 其中(7) A与B相似, 且A可逆, 则 与 相似。BEAE BA )(A )(B 1 A1 Bmmtataat 10)( 第42页/共114页44例1 xA10100002 12yB(1) 与相似，求x与y和A的特征值。 11322002aA bB21(2) 与相似，求a与b。解 (1) , )tr()tr(BA BA yyx22122 10yxA的特征值等于B的特征值为：1,1,2 第43页/共114页452 ba2, 0 ba(2)2)tr()tr( baBA2 baBAAaAAEfA )4()(tr)(23BEfB )(BbB )

21、2()(tr23 11322002aA bB21第44页/共114页46,21nP 记记,2121nnA 1 2 n ), 1(niAiii APP1 1 2 n 下面讨论对角化的问题PAP 1 2 n 这说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。,221121nnnAAA n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。第45页/共114页47 不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的。即设 是矩阵A的不同的特征值，t ,21又设 对应的无关特征向

22、量为1 )1(1)1(2)1(1,i 对应的无关特征向量为2 )2(2)2(2)2(1,i 对应的无关特征向量为t )()(2)(1,tittt )()(1)2(2)2(1)1(1)1(1,tittii 则仍是线性无关的。第46页/共114页48)1(0)2(22)2(11 iill )1(11)1(11iikk 证 (只证两个不同特征值的情况)设上式两边左乘 A 得)2(0)()2(22)2(112 iill )()1(11)1(111iikk )2()1(2 0)()1(11)1(1112 iikk 再由 线性无关得)1(1)1(2)1(1,i 011 ikk类似可得021 ill由假设

23、得 21 0)1(11)1(11 iikk 第47页/共114页49 n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。第48页/共114页50例1 966636663A(续第2节例3, 首先看矩阵A)AE 233 , 31 332 321, 线性无关，由上面定理，求特征值 求线性无关的特征向量， 即求 的基础解系0)( xAEi T)1, 1 , 1(1 31 ,)0 , 1, 1(2T T)1, 0 , 1(3 332 第49页/共114页51 如有n个线性无关的特征向量,把它们拼成矩阵P(P可逆)令 101011111,321 P 写出对

24、角化形式则 3331APP问： 如果,312 P令 3331APP，则对吗？第50页/共114页52 122113221BBE 233 31 T)1 , 1 , 1(1 332 T)1 , 2, 1(2 (这是二重根，但只有一个线性无关的特征向量) 对于矩阵B 不存在三个线性无关的特征向量。因为对B的任何一个特征向量 , 要么是属于 的, 此时与 相关；要么是属于 的, 此时与 相关。3 1 2 1 2 因此，B是不可对角化的。(再看矩阵B)第51页/共114页53tntnnAEf)()()()(2121 ), 2 , 1()r(tiAEnsii 设 的所有不同的特征值为t ,21nnA 则)

25、, 2 , 1(1tinsii 注： 就是 的重根数，称之为 的(代数)重数， 就是 对应的最大无关特征向量的个数，称之为 的几何重数。ini i isi i 该定理说明：。如果是单重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。第52页/共114页54证 (参考)1 设 对应的最大无关特征向量为1,21s 把上面特征向量扩充为 n 个线性无关的向量。ns ,121则 可逆。,21nP APP11s C1 1 O因C与A特征值相同，而上式说明 C 有特征值 ，其重数 至少是 。即1 1n1s11ns 。证毕。第53页/共114页55tntnnAEf)()()()(2121 ), 2 , 1()r(

26、tiAEnsniii n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。即： 设t ,21互不同，此时nnnnt 21), 2 , 1()r(tinnAEii 或或则 A可对角化的充要条件是亦即： 的重数 恰好等于它对应的最大无关特征i in向量的个数。第54页/共114页56), 2 , 1()r(tiAEnsniii 证 (充分性) 设个，它们仍是线性无关的，故可角化。把每个 对应的最大无关特征向量合并后，共有i nnnnssstt 2121(必要性) 设A可对角化 APP1 1 1 2 2 t t 2n1n第55页/共114页57APPEPAEP1111)( 002

27、1 21 t 1t 11n01 个个nn 1111)(r)r(nnPAEPAE 111)r(sAEnn 第56页/共114页58例2 00111100 xA问 x 为何值时，A 可对角化？ 11)1(011110 xAE2)1)(1( 11 是单重根，恰有一特征向量(不需讨论)。132 是二重根，A可对角化123)r(2 AE 00010010110101101xxAE1 x第57页/共114页59例3100,340430241AA求求 提示：A 可对角化 5511APP.,)(312112 APPPPPPA1 PPA第58页/共114页60第59页/共114页615.4 (实)对称矩阵的对角

28、化对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交。对称矩阵的特征值必为实数。从而特征向量可取到实的。证21222111, AA21121111, TTTTAA 0)(,2112211212 TTT021 T第60页/共114页62对称矩阵必可正交对角化。即设A是对称矩阵，则存在正交矩阵Q使得 AQQAQQT1 1 2 n 对称矩阵特征值的重数必等于其对应的最大无关特征向量的个数。iiiinnAEAEnn )r()r( 第61页/共114页63例1 011101110A把对称矩阵 正交对角化。:求特征值。 1111011111111|21 rrAE 1111011)1( 21111001)1( 2)1)

29、(2( , 21 132 (特征值必都是实数)第62页/共114页64:求线性无关的特征向量。对 ，解方程组21 0)2( xAE?)2r( AE求得基础解系(即无关特征向量，几个向量？) 1111 0001101012111211122AEr第63页/共114页65132 对 ，解方程组0)( xAE?)r( AE 000000111111111111AEr求得基础解系(即无关特征向量，几个向量？) 101,01132 1111 前面的?,21 ?,31 ?0,32 第64页/共114页66:检验重特征值对应的特征向量是否正交， 如果不正交，用施密特过程正交化，再把 正交的特征向量单位化。

30、101,01132 22 2112110121011,2223233 ?0,312132 检查检查还是特征向量吗？还是特征向量吗？32, 第65页/共114页67:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。单位化： 11131111 01121222 21161333 则 1121APPAPPT令 ,3, 21 P 62316121316121310第66页/共114页68例2设3阶对称矩阵A的特征值为, 3, 6321 与特征值 对应的特征向量为61 ,)1 , 1 , 1(1Tp 求A。提示：设对应于 的无关特征向量为332 ,21pp则, 0, 03121 ppppTT说明21, pp是方程

31、组)1(01 xpT的两个无关的解(基础解系)，因此，上面方程组的任意两个无关的解都是对应于 的特征向量。32 解(1)可求得 再正交化单位化构成正交矩阵Q,32ppTTQQAAQQ 第67页/共114页69第68页/共114页705.5 二次型其次标准形引言判别下面方程的几何图形是什么？)1(103222 yxyx6,)cos()sin()sin()cos( yxyyxx作旋转变换代入(1)左边，化为：12041021252222 yxyx见下图第69页/共114页71xyxy第70页/共114页72 3223311321122333222221113212 22 ,xxaxxaxxaxax

32、axaxxxf 称为n维(或n元)的二次型.nxxx,21含有n个变量 的二次齐次函数)(ijjiaa njijiijnxxaxxxf1,21,三维的二次型为再改写：关于二次型的讨论永远在实数范围内进行！第71页/共114页73 31,321,jijiijxxaxxxf 3131ijjijixax 31332211)(iiiiixaxaxax 333232131323222121313212111321,xaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx 321333231232221131211321,xxxaaaaaaaaaxxx对称第72页/共114页74一般地，对于n维的二次型)(ijjiaa

33、 njijiijnxxaxxxf1,21,AxxT 上式称为二次型的矩阵表示。也常记为 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA21212222111211,(对称)其中AxxfAxxxfTT 或或)(第73页/共114页75 任给一个对称矩阵A，令 可唯一地确定一个二次型AxxxfT )(AxxxfT )( 反之，任给一个二次型 f 可找到对称矩阵A使得. 而且对称矩阵A是唯一.因为, 设 xTAx = xTBx (A,B都是对称矩阵), 即(以三维为例)3223311321122333222221112 22xxaxxaxxaxaxaxa 322331132112233322222111

34、2 22xxbxxbxxbxbxbxb 令 类似,)0 , 0 , 1(1111baxT 33332222,baba 令121212221112221122)0 , 1 , 1(babbbaaaxT 23231313,baba 类似第74页/共114页76对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;f 叫做对称矩阵A的二次型;对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.记作r(f).二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系这说明：AxxxfT )(第75页/共114页77例1写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。解3231213322211410695xxxxxxxxxf AxxxxxxxxT

35、321321975753531,BxxxxxxxxxxxfT 321321321987654321,),(2)r()r( Af： 在二次型 中,如不限制 A对称, A唯一吗?AxxfT 第76页/共114页78只含平方项的二次型2222211nnxkxkxkf nnnxxkkxx111,称为二次型的标准形(或法式)。平方项系数只在 中取值的标准形0 , 1, 1 221221rppxxxxf (：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。)称为二次型的规范形。第77页/共114页79 )1(,1,21 njijiijnxxaxxxf对给定的二次型找可逆的线性变换

36、(坐标变换)： nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111)(可可逆逆其其中中ijcC 代入(1)式，使之成为标准形2222211nnykykykf 称上面过程为化二次型为标准形。第78页/共114页80：AxxxfT )(Cyx 可逆可逆C)()(CyACyTyACCyTT)( DyyT (其中D为对角矩阵)注意到 与D都是对称矩阵，而二次型与对称矩阵是一一对应关系，故“化二次型为标准形”又等价于ACCT对给定的对称矩阵A，找可逆矩阵C，使为对角矩阵为对角矩阵DACCT ：这件事情能够做到吗？以前学过吗？第79页/共114页81 总

37、有总有任给二次型任给二次型,1,jiijnjijiijaaxxaf ,2222211nnyyyf .)(,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf 化为标准形化为标准形使使正交变换正交变换fPyx, 第80页/共114页82用正交变换化二次型为标准形的步骤;)( . 1一一定定是是对对称称的的的的矩矩阵阵求求二二次次型型Af; ),diag( . 221其方法同上一节其方法同上一节使使求正交矩阵求正交矩阵nTAPPP . , . 32211nnyyffyPx 的的标标准准形形为为则则得得作作正正交交变变换换第81页/共114页83例2 ,把二次型把二次型求一个正交变换求一个正交

38、变换Pyx ,0111101111011110 A433241312122222xxxxxxxxxxf 化为标准形。 111111111111 AE 1111111111111)1( icc 14 , 3 , 2 i第82页/共114页841000212022101111)1( 120210111)1(2 1rri 4 , 3 , 2 i展开展开按按4r)3()1(1221)1(32 1, 34321 得基础解系得基础解系解方程解方程时时当当0)3(,31 xAE 11111 单位化 1111211p第83页/共114页850)(,1432 xAE解方程解方程时时当当 1111,1100,00

39、11432 得正交的基础解系 111121,110021,001121432ppp单位化 2202220220222022221,4321ppppP第84页/共114页86242322213yyyyf yPx 用正交变换 ，二次型 f 化为标准形为第85页/共114页87例332212221321442),(xxxxaxxxxxf 设二次型经正交变换 化为标准形yQx 2322214ybyyf 求 (1) a , b ; (2) 正交变换矩阵 Q .DbAQQAQQT 411 02022022aA二次型的矩阵为由题意由相似矩阵的性质得 ，从而)tr()tr(,DADA 第86页/共114页88

40、 410248bab2, 1 ba解得A与D有相同的特征值，分别为4, 2, 1321 T)2 , 1, 2(1 T)1 , 2, 2(3 T)2 , 2 , 1(2 求得它们对应的特征向量(正交)为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵 12222121231Q第87页/共114页89设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使ACCBT 则称A与B合同.(1) 合同关系是一种等价关系；(2) A与B合同, 则 r(A) = r(B);(3) A与B合同, A对称, 则B对称. 二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同变换为对角矩阵。 在n阶对称矩阵集合中，矩阵的合同等价相当于二次型可以互化(也

41、称二次型等价)。第88页/共114页90二次型必可化为规范形。证 设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为:)0(22112211 irrppppkykykykykf(思考为什么一定可化为上面形式？)再做一次可逆的线性变换 nrizyrizkyiiiii, 1 , 2 , 11则 f 化为221221rppzzzzf 思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？第89页/共114页91(1) 二次型的标准形唯一吗？ (2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？ (3) 设CT

42、AC = D (C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？ (4) 设4阶对称矩阵A的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二次型的规范形是什么？第90页/共114页92第91页/共114页931. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形; ixix2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换0 ija),(ji kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.第92页/共114页9432

43、312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例131212122xxxxx 322322652xxxx 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx )(232121xxxx 322322652xxxx 第93页/共114页95 322322232144xxxxxxx 23223212xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx 2321xxx

44、 322322652xxxx 3223222xxxx 第94页/共114页9632312123222162252xxxxxxxxxf 2221yy 所用变换矩阵为 01,100210111 CC第95页/共114页97,33212211 yxyyxyyx令令323122218422yyyyyyf 代入得代入得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例2由于所给二次型中无平方项 321321100011011yyyxxx即即第96页/共114页98再配方，得 232322316222yyyyyf 333223112 yzyyzy

45、yz令令,233322311 zyzzyzzy232221622 zzzf 得得 321321100210101zzzyyy第97页/共114页99所用变换矩阵为 100210101100011011C 100111311 .02 C第98页/共114页100213232221)()()(xxxxxxf 133322211xxyxxyxxy令令232221yyyf 得标准形为第99页/共114页101第100页/共114页1025.7 正定二次型本节讨论二次型的分类问题. 重点是正定二次型. 在n维的二次型中, 如果两个二次型 xTAx 和 yTBy可以互化，即ByyyACCyAxxTTTT )( 可逆可逆C yCx 则称这两个二次型等价。这相当于ACCBT 即在n阶对称矩阵中A与B合同等价。 我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩阵的合同等价类。第101页/共114页103什么条件决定两个二次型等价？