线性代数特征值与特征向量PPT学习教案

1、会计学1一一. .特征值与特征向量的定义和求法特征值与特征向量的定义和求法 5.1 特征值与特征向量 定义定义5.1.15.1.1 设设 A= = 是是n n阶方阵。若阶方阵。若存在数存在数 及非零列向量，及非零列向量，ijaTnxxx),(21 或或XAX 0 XAI 则称则称为矩阵为矩阵A的的特征值特征值，X为矩阵为矩阵A 的属于（或的属于（或对应于）特征值对应于）特征值的的特征向量特征向量。 X= =使得使得第1页/共153页 注意注意: :1. 1. 只有方阵才有特征值与特征向量只有方阵才有特征值与特征向量; ; 2. 2. 特征向量必须是非零向量，而特征值特征向量必须是非零向量，而特

2、征值不一定非零。不一定非零。下面讨论特征值和特征向量的解法：下面讨论特征值和特征向量的解法： 0 XAI 式式 子子 可写成以下线性方程组可写成以下线性方程组 第2页/共153页0.002122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa如果如果 是方程组的非零解，则有是方程组的非零解，则有 是是 的根。的根。0 X AI 反之，如果有反之，如果有 是是 的根，方程组有的根，方程组有非零解。非零解。 AI 第3页/共153页 TnxxxX,21 是是 的特征值的特征值 的特征向量，的特征向量， 是是 的特征根。的特征根。 AA 定义定义5.1.25.1.2 设

3、设A为为n n阶方阵，称阶方阵，称 为矩为矩阵阵A的特征矩阵，的特征矩阵， 为矩阵为矩阵A A的特征多项式的特征多项式， AI AI =0 =0为矩阵为矩阵A A的特征方程，的特征方程， 为矩阵为矩阵A 的特征方程组。的特征方程组。 AI 0 XAI 第4页/共153页综上综上，可得矩阵，可得矩阵 的特征值与特征向量的求法的特征值与特征向量的求法：A（1 )1 )写出矩阵写出矩阵 的特征多项式的特征多项式 ，它的，它的全部根就是矩阵全部根就是矩阵 的全部特征值的全部特征值; ;AAAI (2) 设设 是矩阵是矩阵 的全部互异的的全部互异的特征值特征值. .将将 的每个互异的特征值的每个互异的特

4、征值 分别代分别代入特征方程组，得入特征方程组，得AAi s,21第5页/共153页 siXAIi, 2 , 10 分别求出它们的基础解系分别求出它们的基础解系iiliiXXX,21这就是特征值这就是特征值 所对应的线性无关的特征所对应的线性无关的特征向量。向量。i 第6页/共153页非零线性组合非零线性组合iiililiiiiXkXkXk 2211 si, 2 , 1 是是 的属于特征值的属于特征值 的全部的全部特征向量特征向量 ，其中，其中 为任意常数。为任意常数。Ai si, 2 , 1 ijk第7页/共153页例例1 1 设设,200134112A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征

5、向量解解,2) 1(202) 1(2令. 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A200134112|AI第8页/共153页,0111p得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0( 1 kpk1 11当当 时解方程组时解方程组（-I-A)X=0 000100011300144111AI第9页/共153页 232,20.AIX当时 解方程由当时 解方程由得基础解系为：得基础解系为：,104/13 ,014/12pp:232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 0000004/14/11000114

6、1142AI第10页/共153页例例2 2 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则 x .)1(是是任任意意常常数数的的特特征征值值是是mAmm .,)2(11的的特特征征值值是是可可逆逆时时当当 AA 证证 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAxA 第11页/共153页可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可逆时可逆时当当A1111 , ,.

7、 .AxA 故故是是矩矩阵阵的的特特征征值值 且且 是是对对应应于于的的特特征征向向量量第12页/共153页 显然单位矩阵的特征值全是显然单位矩阵的特征值全是1 1；零矩阵的；零矩阵的特征值全是特征值全是0 0；上（下）三角阵的特征值是它；上（下）三角阵的特征值是它的全部主对角元。的全部主对角元。 矩阵矩阵 的全部特征值的集合常称为的全部特征值的集合常称为 的的谱。谱。AA第13页/共153页设设 ，易见，它的特征多项式是，易见，它的特征多项式是关于关于 的的 次多项式，不妨设为次多项式，不妨设为ijn nAa n nnnnccccAIf1110即即第14页/共153页nnnnnnaaaaaa

8、aaa 212222111211nnnncccc1110第15页/共153页考虑上式左端行列式的展开式，它除了考虑上式左端行列式的展开式，它除了 1122 (5.1.6)nnaaannaaac22111这一项含有这一项含有 个形如个形如 的因式外，其的因式外，其余各项最多含有余各项最多含有 个这样的因式。于是个这样的因式。于是 只能由只能由 （5.1.6) 产生。比较（产生。比较（5.1.5)两端的系两端的系数，得数，得n iia 2 n1,nn 10c第16页/共153页在式（在式（5.1.5)5.1.5)中，令中，令 ，得，得0 Acnn1 另外另外,根据多项式理论，根据多项式理论， 次多

9、项式次多项式 在复数域上有在复数域上有 个根，不妨设为个根，不妨设为 ，又由于，又由于 的首项系数的首项系数 ，于是有，于是有nn AIf 12,n f10c第17页/共153页( )()()()()()nnnnnnAIf 2111211+=-7 . 1 . 5比较比较 和和 ， 得得 5 . 1 . 57 . 1 . 5nc11nnnc211第18页/共153页于是可得特征值的重要性质于是可得特征值的重要性质: niiniiinaA112121 第19页/共153页 由由 易见，矩阵易见，矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是它的所有特征值都不为零。它的所有特征值都不为零。 1A niiia

10、1 矩阵矩阵 的主对角线上的所有元素之和的主对角线上的所有元素之和 称为称为矩阵矩阵 的迹的迹，记作，记作 。于是，性质。于是，性质 又可写成又可写成A 2AtrAtrA nii1 还可证明，特征值和特征向量还有如下性质：还可证明，特征值和特征向量还有如下性质：第20页/共153页并可证明，并可证明， 的属于特征值的属于特征值 的全部特征向的全部特征向量，再添加零向量，便可以组成一个子空间，量，再添加零向量，便可以组成一个子空间，称之为称之为 的属于特征值的属于特征值 的的特征子空间特征子空间，记，记为为 。不难看出，。不难看出， 正是特征方程组正是特征方程组 的解空间。的解空间。A0 A0

11、0 V0 V 00 XAI 3 若若 都是矩阵都是矩阵 的属的属于于 特征值特征值 的特征向量，则其非零线性组合的特征向量，则其非零线性组合ssXkXkXk 2211sXXX,21A0 也是也是A的属于特征值的属于特征值 的特征向量。的特征向量。0 第21页/共153页 若若 是矩阵是矩阵 的特征值，的特征值， 是是 的属于的属于特征值特征值 的特征向量，则有的特征向量，则有AA 4 X 是矩阵是矩阵 的特征值（其中的特征值（其中 为正整数）；为正整数）；. 2mAm m 是矩阵是矩阵 的特征值（其中的特征值（其中 为任意常数）；为任意常数）；kA kk.1. 3 是是 的特征值（这里的特征值

12、（这里 是关于是关于 的多项式函数）的多项式函数）; f f Af 第22页/共153页. 4 当当 可逆时，可逆时， 是是 的特征值；并且的特征值；并且 仍是矩阵仍是矩阵 的分别对应于的分别对应于特征值特征值 的特征向量；的特征向量；A1 1 AX 1, AAfAkAm 1, fkm第23页/共153页例例 已知已知n阶可逆方阵阶可逆方阵A的全部特征值为的全部特征值为 求求 的全部特征值及的全部特征值及 ,21n *AI 解解 由特征值的性质知，由特征值的性质知， 又又已知已知 可逆，从而可逆，从而 的全部的全部特征值为特征值为 由伴随矩阵的性质由伴随矩阵的性质知，当知，当 可逆时，可逆时，

13、 从而有从而有 An 21An 211, 0 A.,11211 n A1* AAA 11* AfAAIAI记作记作*IA 第24页/共153页于是，由上述性质于是，由上述性质 中的中的 知，知， 的的全部特征向量值为全部特征向量值为 4. 3*AI niAfniiinii, 2 , 1,11111112111 于是于是 *11111111nniiniIAff 第25页/共153页定义定义 设设A、B是两个是两个n阶矩阵。若存在阶矩阵。若存在n阶可逆阶可逆矩阵矩阵P，使得，使得则称则称相似于相似于，记作，记作，称为由称为由到到的的相似变换矩阵相似变换矩阵。 BAPP 1第26页/共153页相似矩

14、阵具有如下性质：相似矩阵具有如下性质：反身性反身性)1(.本身相似本身相似与与AA)2(对称性对称性.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA传递性传递性)3(.,相似相似与与则则相似相似与与相似相似与与若若CACBBA显然，若显然，若 ，则，则BA BrAr BA 第27页/共153页另外，可以证明，相似矩阵还有以下性质另外，可以证明，相似矩阵还有以下性质： 112111121. mmPAAAPPA PPA PPA P 112111123. mmPA AAPPA PPA PPA P kAPkPPkAP,. 211 为任意数。为任意数。其中其中 均为均为 阶矩阵，阶矩阵， 为为 阶阶mAAA

15、,21nnP第28页/共153页可逆矩阵。特别地，当可逆矩阵。特别地，当 时时，有有 AAAAm 21 mmAPPPAP11 （4） 若若 A B ，则，则 f(A) f(B) ，这里，这里 为任一多项式函数。为任一多项式函数。 xf其证明如下：其证明如下：设设 01axaxaxfmm 则则 IaAaAaAfmm01 由由 A B 可知，存在可逆矩阵可知，存在可逆矩阵 ，使得，使得P第29页/共153页BAPP 1于是于是 BfAPPfIaAPPaAPPaPIaAaAaPPAfPmmmm 101110111即得即得 f(A) f(B)。第30页/共153页若若 ，则，则 ，其证明，其证明如下如

16、下.5BABIAI 由由 可知，存在可逆矩阵可知，存在可逆矩阵 ，使得，使得A BPBAPP 1于是于是 AIPAIPPAIPAPPIBI 111第31页/共153页由上易见，若由上易见，若 ，则矩阵，则矩阵 ， 有相同的谱。有相同的谱。ABA B. 6 若若 ， 则则AB, 2 , 1mi mAAAdiag,21 mBBBdiag,21其证明如下：其证明如下：iiiiBPAP 1mi, 2 , 1 iAiBiP由 可知，存在可逆矩阵第32页/共153页取取 1P 11211, mPPPdiag mPPPdiag,21 P显然显然 可逆，且可逆，且P于是有于是有 mAAAdiag,21 mBB

17、Bdiag,21P1 P 第33页/共153页因此因此 mBBBdiag,21 mAAAdiag,21 例例.3设设 是矩阵的属是矩阵的属于特征值于特征值 的特征向量。证明：的特征向量。证明： 是矩阵是矩阵的对应于特征值的对应于特征值 的一个特征向量。的一个特征向量。1, ,BPAP X XP1 0 0 证证 由已知可得由已知可得第34页/共153页0,0 XXAX 于是于是 XPXPAXPXPAPPXPB10011111 又由又由 得得 ，故结论成立。，故结论成立。0 X01 XP第35页/共153页2 2）求）求 。例例. .4.4已知已知 2312,1118610PAnA1 1）求）求

18、；APP1 解解 1）先求得）先求得 23121P第36页/共153页于是于是APP1 20012312111861023122）由上式得）由上式得12001 PPA第37页/共153页两端同时求两端同时求 次幂，得次幂，得nnA 21111231236122123412312200123122001nnnnnnnnnnnPP第38页/共153页 4: det 3IA0,2 ,det0,.TAAAIAA 设 阶方阵 满足条件设 阶方阵 满足条件求的一个特征值求的一个特征值第39页/共153页1 0 3103 3det,.det()det,.det(), ,. .AAAIAA 因为故 可逆 由因

19、为故 可逆 由知是 的一个特征值 从而是的一知是 的一个特征值 从而是的一个特征值个特征值解解 2 216det()det(),det()det(),TTAAIAAI又由得即又由得即216404(det ),det,det,(det ),det,det,det,det,AAAA 于是但于是但因此因此.34有有一一个个特特征征值值为为故故A 第40页/共153页 一一. 矩阵可对角化的条矩阵可对角化的条件件 不妨假设不妨假设 阶方阵阶方阵 可相似于对角阵，可相似于对角阵，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 ，使得，使得nAPAPP1 ndiag ,21 或或AP nPdiag ,21 令令nXXXP,

20、21第41页/共153页并将之代入上式，得并将之代入上式，得 nXXXA,21 ndiag ,21 nXXX,21 nAXAXAX,21 nnXXX ,2211 即即从而有从而有iiiXAX ni, 2 , 1 第42页/共153页由由 可逆知可逆知, 且且线性无关从而线性无关从而 是是 的的 个个线性无关的特征向量，线性无关的特征向量， 是是 的的 个特征值。个特征值。 niXi, 2 , 10 nXXX,21nXXX,21nnPn ,21AA 反之，若反之，若 阶方阵阶方阵 有有 个线性无关的特个线性无关的特征向量，不妨设为征向量，不妨设为 ，则存在相应，则存在相应的特征值的特征值 ，使得

21、，使得nAnnXXX,21n ,21第43页/共153页iiiXAX ni, 2 , 1 此时，令此时，令 nXXXP,21 显然显然 可逆，且可逆，且有有PAPP1 ndiag ,21 综上，有如下结论综上，有如下结论 定理定理阶方阵可相似对角阶方阵可相似对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量化的充要条件是有个线性无关的特征向量。 第44页/共153页1 , , , .nAPPAPA 对 阶方阵若可找到可逆矩阵使对 阶方阵若可找到可逆矩阵使为对角阵 就称为把方阵 对角化为对角阵 就称为把方阵 对角化第45页/共153页 与与 相对应的对角阵的主对角元正好是相对应的对角阵的主对角元正好是 的

22、全部特征值，并且的全部特征值，并且 的顺序与的顺序与 的顺序相对应的顺序相对应.AAnXXX,21n ,21 相似变换矩阵相似变换矩阵 由由 的的 个线性无关的个线性无关的特征向量作为列构成，即特征向量作为列构成，即PAn nXXXP,21 不唯一，因为不唯一，因为P1）特征向量不唯一；特征向量不唯一；第46页/共153页 2) 的顺序随的顺序随 的顺序改变而改变。的顺序改变而改变。nXXX,21n ,21 根据定理根据定理5.2.15.2.1， 阶方阵阶方阵 的相似对角化的相似对角化问题就转化为问题就转化为 是否有是否有 个线性无关的特征向个线性无关的特征向量的问题量的问题. .AAnn 定

23、理定理. . .阶方阵的属于不同特征阶方阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。值的特征向量是线性无关的。 第47页/共153页iiiXAX ti,2, 1=证证 设设 的互不相等特征值及其对应特征向的互不相等特征值及其对应特征向量量且有且有t ,21tXXX,21AtXXX,21下证下证 线性无关。线性无关。当当 时，时， 显然结论成立显然结论成立。01 X1 m 假设结论对假设结论对 个互异的特征值成立，下个互异的特征值成立，下面证对面证对 个互异特征值也成立。个互异特征值也成立。1 mm第48页/共153页设设上式两端同时左乘上式两端同时左乘A，得，得 1 . 2 . 5 2 . 2

24、. 5由于由于 上式可变上式可变为为iiiXAX ti, 2 , 1=由式由式 减式减式 的的 倍，消去倍，消去 ，得，得5.2.15.2.2m mX11220mmk Xk Xk X11220mmk AXk AXk AX1 112220mmmkXkXkX第49页/共153页5.2.3根据归纳假设，根据归纳假设， 线性无关。于线性无关。于是是121, mXXX1, 2 , 1 mi 0 miik 已知已知 ，所以，所以必有必有1, 2 , 1 mi0 mi 0 ik1, 2 , 1 mi1112221110mmmmmmkXkXkX第50页/共153页综上，结论对一切正整数都成立。综上，结论对一切

25、正整数都成立。代入代入 ，得，得 1 . 2 . 50 mmXk又因又因 ，所以必有，所以必有 ，于，于是是 线性无关。线性无关。mXXX,210 mk0 mX 推论推论若若阶方阵阶方阵有有n n个互异的特征值（个互异的特征值（即特征多项式无重根），则即特征多项式无重根），则可相似对角化。可相似对角化。 第51页/共153页定理定理设设 是阶方阵是阶方阵的个互异的特征值，的个互异的特征值， 是属是属于特征值于特征值 的线性无关的特征的线性无关的特征向量向量, ,则由所有这些特征向量（共则由所有这些特征向量（共 个）构成的向量组个）构成的向量组 ,21m iikiiXXX,21), 2 , 1(

26、mii mkkk21mmkmmkXXXXXX,21112111是线性无关的。是线性无关的。 第52页/共153页 由定理由定理 和和 知，对知，对 阶方阶方阵阵 来说，只要属于它的各个互异特征值的特征来说，只要属于它的各个互异特征值的特征向量的总数不少于向量的总数不少于 ,就可以相似对角化。那么就可以相似对角化。那么，对它的特征值，对它的特征值 来说，属于它的线性无关的来说，属于它的线性无关的特征向量最多有多少个？特征向量最多有多少个？1 . 2 . 53 . 2 . 5nni 第53页/共153页 由由 知，特征值知，特征值 对应的全部特征对应的全部特征向量正好是特征方程组向量正好是特征方程

27、组 的全部的全部非零解。因此，非零解。因此， 的属于特征值的属于特征值 的线性无的线性无关的特征向量最多有关的特征向量最多有 个。个。i 0 XAIi Ai in IA 秩秩 这个数就是特征方程组这个数就是特征方程组 解空间的维数，也即特征子空间解空间的维数，也即特征子空间 的维数的维数，称之为，称之为特征值特征值 的几何重数的几何重数，记为，记为 。 0 XAIi iV i iq第54页/共153页另外，有另外，有 spsppAf 2121 被称为特征值被称为特征值 的的代数重数代数重数 ，且有，且有 npsii 1i ip si, 2 , 1 设设A的互异特征值的互异特征值 , 对应的对应

28、的几何几何重数重数分别为分别为 。于是。于是A 的线性无关的线性无关的的特征向量最多有特征向量最多有 个。个。A可相似对角化当且可相似对角化当且仅当仅当 12,s 12,sq qq1siiq 1.siiqn 第55页/共153页 定理定理.2.4.2.4 阶方阵的任一特征值阶方阵的任一特征值 的几何重数的几何重数 不大于它的代数重数不大于它的代数重数 。 i ipiq 特别地特别地，对于单特征值，其几何重数等，对于单特征值，其几何重数等于代数重数。于代数重数。由定理由定理 可得可得 siiq1npsii 14 . 2 . 5第56页/共153页同时，由上面已知，同时，由上面已知， A 可相似对

29、角化当且仅当可相似对角化当且仅当nqsii 1于是有于是有 定理定理 设设 是是阶阶方阵方阵A的全部互异的特征值，的全部互异的特征值， 和和 分别是特分别是特征值征值 的代数重数和几何重数，的代数重数和几何重数，i=1=1，2 2，, ,s，则则A可相似对角化的充要条件是可相似对角化的充要条件是 = = ， i=1=1，2 2，s ,21s ipi ipiqiq第57页/共153页 求出求出 的全部互异的特征的全部互异的特征值值 1A 前面讨论了前面讨论了 阶矩阵可相似对角化的条阶矩阵可相似对角化的条件，下面给出求相似对角阵及变换矩阵的方法件，下面给出求相似对角阵及变换矩阵的方法和步骤：和步骤

30、：ns ,21 2 对每个特征值对每个特征值 ,求特征矩阵求特征矩阵 的秩，并判断的秩，并判断 的几何重数的几何重数 是否等于它的代数重数是否等于它的代数重数 。只。只要要i AIi i AIrnqii sipi, 2 , 1 第58页/共153页的一组基础解系的一组基础解系有一个不相等，有一个不相等， 就不可以相似对角化；就不可以相似对角化；否则否则 可以相似对角化。可以相似对角化。AA 0 XAIi 3 当当 可以对角化时，对每个特征值可以对角化时，对每个特征值 ,求方程组求方程组Ai iiqiiXXX,21si, 2 , 1 第59页/共153页则有则有 4令令 ssqssqXXXXXX

31、P,21112111 ssdiagAPP ,111 其中有其中有 个个 。iqi si, 2 , 1 第60页/共153页例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解(1)AI 由由 722 0 242422221. 7, 2321 得得第61页/共153页 12120,AIX 将将代代入入得得方方程程组组 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.110,10221 第62页/共153页 337,0,AIX 对对由由求得基础解系求得基础解系 2,2,13T 1

32、235.2.2,.,. 由定理知线性无关由定理知线性无关 3 , ,. .AA即 有 个线性无关的特征向量 因而 可即 有 个线性无关的特征向量 因而 可对角化对角化,同同理理第63页/共153页212533102AI 31 201335212)2(A. 1321 的的特特征征值值为为所所以以A 10,AI X 把代入把代入解之得基础解系解之得基础解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A第64页/共153页 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解4

33、60350361AI 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A第65页/共153页 1210AI X将代入得方程组将代入得方程组 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 第66页/共153页 3 20,AI X 将将代代入入得得方方程程组组的的基基础础解解系系 .1 , 1 , 13 T .,321线性无关线性无关由于由于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A第67页/共153页注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 AP

34、P则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P第68页/共153页则则从而有从而有 一般地，对任意多项式一般地，对任意多项式 及及 阶方阵阶方阵 ,若若 xfnA ndiagAPP ,211 记记为为 fPAfP1 nfffdiag ,21 121, PfffPdiagAfn 第69页/共153页);det()det(,)1(BABA 则则相似相似与与;,)2( 11相似相似与与且且也可逆也可逆则则可逆可逆且且相似相似与与若若 BABABA;,)3( 为为常常数数相相似似与与则则相相似似与与kkBkABA.)

35、()(,)(,)4( 相似相似与与则则是一多项式是一多项式而而相似相似与与若若BfAfxfBA相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：第70页/共153页相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为

36、比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵APP1 P第71页/共153页,111111111 A.00100100 nB.,是是否否相相似似判判断断下下列列两两矩矩阵阵BA第72页/共153页112 det()()(), , 0.nnAInAn 因的特因的特征值为征值为解解1 , , ,AP又又 是是实实对对称称矩矩阵阵 存存在在可可逆逆矩矩阵阵使使得得),0 , 0 ,(111ndiagP

37、AP 1 det()()(),nBIn 还可求得还可求得.有相同的特征值有相同的特征值与与即即AB第73页/共153页,1, 02特征向量特征向量个线性无关的个线性无关的有有对应特征值对应特征值 nn 使得使得故存在可逆矩阵故存在可逆矩阵,2P, 212 PBP, 212111PBPPAP 从而从而, 121112BPPAPP 即即.相似相似与与故故BA第74页/共153页一一. . 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量. .二二. . 实对称矩阵的相似对角化。实对称矩阵的相似对角化。第75页/共153页定理定理1 1实实对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .证

38、证明明, 对应的特征向量对应的特征向量为为复向量复向量的特征值的特征值为对称矩阵为对称矩阵设复数设复数xA . 0, xxAx 即即, 的的表示表示用用 共共轭轭复复数数xAxA 则则 .xxAx , 的的表示表示xx共轭复向量共轭复向量一一. 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量.第76页/共153页于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 两式相减，得两式相减，得 . 0 xxT , 0 x但因为但因为 , 0 , 即即.是实数是实数由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所以所以第77页

39、/共153页1212 , , ,App是对称矩阵的两个特是对称矩阵的两个特征值, 是对应的特征向量。征值, 是对应的特征向量。定理定理实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。是正交的。 证证 设设 , ()0, 0, .iiiAAI XAI 由由于于对对称称矩矩阵阵 的的特特征征值值为为实实数数 所所以以齐齐次次线线性性方方程程组组是是实实系系数数方方程程组组 由由知知必必有有实实的的基基础础解解系系 从从而而对对应应的的特特征征向向量量可可以以取取实实向向量量 第78页/共153页,21222111 AppApp,AAAT 对对称称 TTTAppp1

40、1111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交与与即即pp. 021 ppT第79页/共153页定理定理设设 是是 n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A的任一特征值的任一特征值，p，q 分别为它的代数重数和几何重数，则分别为它的代数重数和几何重数，则 0 . qp 第80页/共153页),(211ndiagAQQ 其中其中 为矩阵为矩阵的全部特征值。的全部特征值。 n ,21 由此定理知，实对称矩阵一定可以相似由此定理知，实对称矩阵一定可以相似对角化，而且有对角化，而且有第81页/共153页根据上述结

41、论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化将特征向量正交化; ;3.3.将特征向量单位化将特征向量单位化. .4.4.2.2. 0,;,;iA I XA由求出 的特征向量由求出 的特征向量1.1.;的特征值的特征值求求A第82页/共153页解解22021202AI 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(A例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.APP1 P(1) 第一步第一步 求

42、求 的特征值的特征值A第83页/共153页 0,iAIXA第二第二由求出 的量由求出 的量步步特征向特征向 14,40,AIX 对对由由得得 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系 .1221 21,0,AI X 对由得对由得 0202202323121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2122 第84页/共153页 32,20,AI X 对由得对由得 02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3, 321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量

43、的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令第85页/共153页,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则第86页/共153页 1 2,20,AI X 对对由得基础解系由得基础解系 310130004)2(A400031013AI ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 1101 234,40,AIX 对对由由得得基基础础解解系系第87页/共153页.110,00132 ,32恰好正交恰好正交

44、与与 .,321两两正交两两正交所以所以 1231 2 3, , ,iiii再将单位化 令得再将单位化 令得,212101 ,0012 .212103 第88页/共153页于是得正交阵于是得正交阵 2102121021010,321 P.400040002 1 APP则则第89页/共153页例例 设设3阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的特征值为的特征值为1，4，-2，矩，矩阵阵A对应的特征值对应的特征值1和和4的特征向量分别为的特征向量分别为 122,1, 2 2, 2,1TTXX3132123123 , , 220220XXXXxxxxxx 由定理5.3.2知，即有由定理5.3.2知，即有（1）

45、求求A的特征值的特征值-2的特征向量；的特征向量；（2） 求求A。解解 设设A的特征值的特征值-2的特征向量是的特征向量是3123(,)TXxxx 第90页/共153页因此，因此，A A的特征值的特征值-2-2的全部特征向量为的全部特征向量为1231221(,)12221221212219122PXXXP 于于是是得得(1,2,2) (,0)TkkR k求得其一组基础解系：求得其一组基础解系：(1,2,2)T（2 2）取）取3(1,2,2) , TX 同时令同时令第91页/共153页同时同时从而从而1diag(1,4, 2)22112121122422192122122220212020APP

46、 = =1(1,4, 2)PAPdiag 第92页/共153页例例5.3.35.3.3 已知已知 为实对称矩阵，且为实对称矩阵，且 证明：存在正交矩阵证明：存在正交矩阵 ，使得，使得BA,BA QBAQQ 121221111),(BQQdiagAQQn n ,21证证 由由 知知 和和 有相同的特征值，设为有相同的特征值，设为BA AB根据定理根据定理5.3.45.3.4，对，对 和和 分别存在正交矩阵分别存在正交矩阵 和和 , ,使得使得AB1Q2Q第93页/共153页从而有从而有BQAQQQ 121112BAQQ 1其中其中 由正交矩阵的性质知，为正交矩阵由正交矩阵的性质知，为正交矩阵。,

47、Q取取 ，于是有，于是有121 QQQ第94页/共153页 2 ,det 2.nAAAArIA 设 阶实对称矩阵 满足且 的秩为设 阶实对称矩阵 满足且 的秩为试求行列式的值试求行列式的值第95页/共153页使得使得故存在可逆阵故存在可逆阵且秩为且秩为阵阵是实对称是实对称又又或或的特征值为的特征值为可得可得由由, 01 2PrAAAA 解解10 ,00.rrIPAPIr 其中 是 阶单位阵其中 是 阶单位阵11 det(2)det(2)IAPPP P从而从而det(2)I 0det02rn rII 2.n r 第96页/共153页一一. . 求解线性方程组求解线性方程组 例求解线性微分方程组例

48、求解线性微分方程组 nnnnnnnnnnxaxaxadtdxxaxaxadtdxxaxaxadtdx22112222121212121111 1 . 4 . 5第97页/共153页解解 令令 ,21TnxxxX ,21TndtdxdtdxdtdxdtdX nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211第98页/共153页 3 . 4 . 5 2 . 4 . 5则方程组则方程组 可表示成矩阵形式可表示成矩阵形式 1 . 4 . 5AXdtdX 假设假设 可以相似对角化，即存在可逆矩阵可以相似对角化，即存在可逆矩阵 ,使使得得AP nTdiagAPP ,21 其中其中 为为 的全部特征值

49、。于是的全部特征值。于是令令An ,21PYX 第99页/共153页即即 4 . 4 . 5其中其中 ,将式将式 代入式代入式 ，得，得 3 . 4 . 5 2 . 4 . 5 TnyyyY,21 APYdtPYd APYdtdYP 在上式两端同时左乘在上式两端同时左乘 ,得得1 P YdiagAPYPdtdYn ,211 第100页/共153页即即将上式积分得将上式积分得 nnnydtdyydtdyydtdy 222111tnnttneCyeCyeCy ,212211 5 . 4 . 5第101页/共153页其中其中 为积分常数。将式为积分常数。将式 代入式代入式 ，可得，可得nCCC,21

50、 5 . 4 . 5 3 . 4 . 5tnnttnePCePCePCX 212211其中其中 为矩阵为矩阵 的第的第 列，也是列，也是 的对应于特的对应于特征值征值 的特征向量，的特征向量，iPPiAi ., 2 , 1ni 另外，对于另外，对于 阶线性齐次常系数微分方阶线性齐次常系数微分方程程n第102页/共153页可令可令 01111 txadttdxadttxdadttxdnnnnnn 6 . 4 . 5nnnxdtxdxdtxdxdtdxxx 1132221,第103页/共153页 于是，可得与方程于是，可得与方程 同解的方程组同解的方程组 6 . 4 . 5 nnnnnnxaxax

51、adtdxxdtdxxdtdxxdtdx121113221第104页/共153页其中其中式式 可写成矩阵形式可写成矩阵形式 7 . 4 . 5AXdtdX 8 . 4 . 5 TnxxxX,21 TndtdxdtdxdtdxdtdX ,21第105页/共153页于是这类微分方程可以归结为等价的线性微分于是这类微分方程可以归结为等价的线性微分方程组，然后再利用特征值和特征向量求解。方程组，然后再利用特征值和特征向量求解。 121100001000010aaaaAnnn第106页/共153页 解解 令令例求解微分方程例求解微分方程012432233 xdtdxdtxddtxd 9 . 4 . 5于

52、是，式于是，式 可变为等价的方程组可变为等价的方程组 9 . 4 . 532221,xdtxdxdtdxxx 第107页/共153页即即其中其中 321332213412xxxdtdxxdtdxxdtdxAXdtdX TxxxX321, TdtdxdtdxdtdxdtdX 321,第108页/共153页于是由例于是由例5.4.15.4.1可知，可知， 3412100010A TTTXXX4 , 2, 1,4 , 2 , 1,9 , 3 , 1321 可求得可求得 的特征值为的特征值为 ，对应的特征向量分别为，对应的特征向量分别为A2, 2, 3321 ttteXCeXCeXCX32133221

53、1 第109页/共153页从而从而ttteCeCeC232231421421931 ttteCeCeCxx2322311 其中其中 为任意常数为任意常数。 3 , 2 , 1 iCi第110页/共153页 例例 某超市为了提高自己的经营、某超市为了提高自己的经营、服务水平，年末对附近一个小区的居民作了市场调服务水平，年末对附近一个小区的居民作了市场调查。结果表明，该小区有的居民使用该超市查。结果表明，该小区有的居民使用该超市提供的日用品，而且在这些老顾客中，有的提供的日用品，而且在这些老顾客中，有的人表示，来年仍将继续使用该超市提供的日用品；人表示，来年仍将继续使用该超市提供的日用品；同时，在

54、尚未使用过该超市提供的日用品的被调查同时，在尚未使用过该超市提供的日用品的被调查中，有的人表示，来年将使用该超市提供的中，有的人表示，来年将使用该超市提供的日用品。问：照此趋势，年后，在这个小区中，日用品。问：照此趋势，年后，在这个小区中，有多少比例的居民使用该超市提供的日用品？有多少比例的居民使用该超市提供的日用品？ 第111页/共153页 这个例子从数学角度看可以抽象出一个数这个例子从数学角度看可以抽象出一个数学模型，即一个有限状态的系统。它每一时刻学模型，即一个有限状态的系统。它每一时刻处在一个确定的状态，并随着时间的流逝从一处在一个确定的状态，并随着时间的流逝从一个状态转移为另一个状态

55、，每一状态的概率只个状态转移为另一个状态，每一状态的概率只与前一个状态相关。这样的一种连续过程被称与前一个状态相关。这样的一种连续过程被称为为Markov过程过程。 一般地假设系统共有一般地假设系统共有n种可能的状态，分别种可能的状态，分别记为记为1,2,n,在某个观察期间，它的状态为在某个观察期间，它的状态为j，而，而在下一个观察期间，它的状态在下一个观察期间，它的状态i为的概率为为的概率为 ，称之为称之为转移概率转移概率。它不随时间而变化，且有。它不随时间而变化，且有ijP第112页/共153页njppniijij, 2 , 1, 1, 101 称矩阵称矩阵 为为转移矩阵转移矩阵。由系统的

56、初始。由系统的初始状态可以构造一个状态可以构造一个 元向量称之为元向量称之为状态向量状态向量，记为记为 ， 年后的状态向量记为年后的状态向量记为 ，于是有，于是有 ijpP nk0XkX01XPPXXkkk 第113页/共153页时，有时，有0XPXkk 由上式易见由上式易见, 要求出要求出 ,关键是求关键是求 。当。当 可相似对角化，即存在可逆矩阵可相似对角化，即存在可逆矩阵 ，使得，使得kXkPPS ndiagPSS ,211 0121,XSSdiagknkk 第114页/共153页 对于例对于例5.4.35.4.3系统共有两种状态：使用和系统共有两种状态：使用和不使用，分别记为不使用，分

57、别记为1 1和和2 2，于是有，于是有 7 . 03 . 03 . 07 . 0,4 . 06 . 0222112110ppppPX0XPXkk 下面求下面求 。先求。先求 的特征值及对应的特征向量的特征值及对应的特征向量。kPP 4 . 017 . 03 . 03 . 07 . 0 AI第115页/共153页取取于是于是于是，特征值为于是，特征值为 。对应的。对应的特征向量分别为特征向量分别为4 . 0, 121 TTSS1, 1,1 , 121 111121SSS 212121211S第116页/共153页从而从而 4 . 06 . 0212121214 . 000111110kkkXPX

58、 kk4 . 01 . 05 . 04 . 01 . 05 . 0由上可知，当由上可知，当 时时, k TkX5 . 0 , 5 . 0第117页/共153页第三步第三步将每一个特征值代入相应的特征方程组，将每一个特征值代入相应的特征方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量求出基础解系，即得该特征值的特征向量第一步第一步计算的特征多项式；计算的特征多项式；A第二步第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；特征值；A第118页/共153页3243202423 . .A 计算 阶实矩阵的全部特计算 阶实矩阵的全部特征值和特征向量征值和特征向量例1例132

59、4( )22423fIA .)1( )8(2 解解第一步第一步计算的特征多项式计算的特征多项式A第119页/共153页 ( ) , .fA求求出出特特征征多多项项式式的的全全部部根根 即即的的全全部部第第二二步步特特征征值值 ., 1, 8, 0)(321全全部部特特征征值值的的为为解解之之得得令令Af 118,()0.IA x对求相应线性方程组对求相应线性方程组的一个基础解系的一个基础解系第三步第三步求出的全部特征向量求出的全部特征向量A第120页/共153页 , 0524, 0282, 0425321321321xxxxxxxxx.2121 个个基基础础解解系系化化简简求求得得此此方方程程

60、组组的的一一11118(0).kk属于的全部特征向量为属于的全部特征向量为为实数为实数 第121页/共153页232123123123221,()0:4240,220,4240,:110,2 .10IA Xxxxxxxxxx 同理对求相应线性方程组同理对求相应线性方程组的一个基础解系的一个基础解系求解得此方程组的一个基础解系求解得此方程组的一个基础解系第122页/共153页23223323 1 , ,.Akkkk 于是 的属于的全部特征向量为于是 的属于的全部特征向量为是不全为零的实数是不全为零的实数112233123 , ,0, ,.Akkkkkk 从而 的全部特征向量为从而 的全部特征向量