2017年全国高中数学联赛模拟题1

1、2017年全国高中数学联赛模拟题1一试考试时间上午8：009：20，共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、已知函数的值域为，则 2、已知并且，则的取值范围是 3、设在平面上，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为 4、的最小值为 5、已知复数，且.则 6、过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=|PH|(1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为 7、设表示不超过的最大整数，则 8、设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=_二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）

2、在ABC中，A,B,C所对边分别为，且，P为ABC的内切圆上的动点，求点P到A,B,C的距离的平方和的最大值和最小值10、（本题20分）数列中，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在最大的正整数，使得对于任意的,均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。11、（本题20分）给定圆P:及抛物线S:,过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.2017年全国高中数学联赛模拟题1（二试）9：4012：10共150分钟 满分180分平面几何、代数、数论、组合1、（本题40分）联结圆内接等腰梯形的对角线相交于，已知

3、图中各条线段均为正整数，且.(1)求证图中存在一个三角形，其三边长均为素数且组成一个等差数列. (2)若给点染上红色，圆面上的其它点任意染上红蓝色之一，求证圆面上存在一个同色等边三角形，其边长为素数. 2、（本题40分）已知实函数满足 求的表达式.3、（本题50分）求不定方程的正整数解的组数4、（本题50分）正五边形的每个顶点对应一个整数，使得这5个整数和为正。若其中三个相连顶点相应的整数依次为，而中间的，则要进行如下操作：整数分别换为，只要所得的5个整数中至少有一个负时，这种操作就继续进行，问：是否这样的操作进行有限次后必定终止。2010年全国高中数学联赛模拟题1一试 参考答案一、填空题1、

4、0, 将代入得不等式 又函数的值域为，函数值能取到1和3，即有解，故得c2，b22、 （P596）3、 在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，的图形在第一象限的面积为A。因此的图形面积为4、定义域为,在上是减函数，在上是增函数，故5、解 （1）依题设，有.根据复数相等的充要条件，知由得. 由得. 得. 所以 .6、,设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又HQ=PH，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以

5、离心率e=7、解：设，则，符合条件的整数x有2个，符合条件的整数x有6个，符合条件的整数x有18个，符合条件的整数x有54个，符合条件的整数x有162个，结合，符合条件的整数x有258个共21428、解：设，从而是平方数，设为 。（负值舍去）二、解答题9、易证A+B90°，内切圆半径为2，用解析法建系，写出园方程，设P（x，y）则点P到A,B,C的距离的平方和S=88-4y，最大值为88，最小值为72 （P44）10、数列为等差数列，存在最大正整数7 （P450）11、解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设l的方程为,即,代入抛物线方程得:,设有,则故,因此据等差,所以即,则l方程为

6、或.2017年全国高中数学联赛模拟题1（二试）1、证明 (1)在中，由知，为最长边，且由余弦定理得 .把取中的值验证，得只能取3，5.故存在，其三边长3，5，7均为素数且组成一个等差数列.(2) 不妨设，由 知，是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形.作边长为7的等边，等边，联结交于.再联结，由得，四边形为平行四边形，又，得是边长为3的等边三角形.同理，是边长为5的等边三角形.当中有红点时，命题已成立. 当中无一为红点时，考虑，若为蓝点，则是同蓝色的等边三角形，其边长为素数3；若为红点，考虑点，若为红点，则是同红色的等边三角形，其边长为素数5；若为蓝点，则是同蓝色的等边三角形，其边长为素数7.综上得，圆面上存在一个同色等边三角形，其边长为素数.2、解 把代入，有， 进而 （由） 一方面由有 另一方面由、有 由得 ，即 . 检验知为所求.3、解 令，则先考虑不定方程满足的正整数解，当时，有，此方程满足的正整数解为当时，有，此方程满足的正整数解为所以不定方程满足的正整数解为 又方程的正整数解的组数为，方程的正