2019-2020年高中数学数学归纳法(I)教案苏教版选修2-2

1、2019-2020年高中数学数学归纳法教案苏教版选修2-2一、教学目标：1了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。难点：归纳一猜想一证明。三、教学过程：【创设情境】问题1:数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳(完全归纳)的过程，转 化为一个有限步骤的演绎过程。(递推关系)问题2:数学归纳法证明命题的步骤？(1) 递推奠基：当n取第一个值no结论正确；(2) 递推归纳：假设当n=k( k 2，且k

2、 > n。)时结论正确；(归纳假设)证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)由(1)， 可知，命题对于从no开始的所有正整数n都正确。数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒 等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。【探索研究】问题：用数学归纳法证明：能被 9整除。法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。说明：归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。注意从“ n=k到n=k+1 ”时项的变化。【例题评析】例1：求证：能被整除(n N+)。例 2:数列an中，a1=1 且(a. - a.)2

3、- 2( an an 1)0(1) 求的值；(2) 猜想an的通项公式，并证明你的猜想。说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳一猜想一证明变题：(xx全国理科)设数列an满足，n N+,(1) 当a1=2时，求，并猜想an的一个通项公式;(2)当a1>3时，证明对所有的n1,有 an > n+2-_ 1 + ai 1 + a21 + an 2例3:平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这 n条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点, 求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。例4:设函数f(x

4、)是满足不等式log 2 x log 2(3U2k- - x) _ 2k - 1 ,( k N)的自然数 x的个数；(1) 求f(x)的解析式；(2) 记 S=f(1)+f(2)+f(n),求 S的解析式；(3) 令P n=n+n-1 ( n N),试比较S n与P n的大小。【课堂小结】1. 猜归法是发现与论证的完美结合 数学归纳法证明正整数问题的一般方法： 归纳一猜想一证明。2. 两个注意：(1) 是否用了归纳假设？(2) 从n=k到n=k+1时关注项的变化?【反馈练习】1观察下列式子1 D f专中士 ¥右7则可归纳出1 2n +1(n J2 n 1(n N)1 用数学归纳法证明2已知数列丄，丄，丄，.，1，.，计算根据计算结果，猜想的表达式,1沢4 4汉7 7 汉 10(3n2)( 3n+1)并用数学归纳法证明。3.是否存在常数a、b、(1、2、3山5'