水动力学基本微分方程

1、第二章第二章 水动力学基本微分方程水动力学基本微分方程2-1 地下水动力学基本微分方程地下水动力学基本微分方程一、含水层的弹性理论一、含水层的弹性理论1.1.含水层的弹性释水含水层的弹性释水（以承压水为例）（以承压水为例） 从承压含水层中抽出的水，由两部分组成从承压含水层中抽出的水，由两部分组成 含水层所贮存水的弹性释放含水层所贮存水的弹性释放 侧向补给（来自远方）侧向补给（来自远方） 现取一处于平衡状态的现取一处于平衡状态的承压含水层柱体承压含水层柱体。设含水层。设含水层上覆岩层对含水层中的固体颗粒和地下水产生的应力为上覆岩层对含水层中的固体颗粒和地下水产生的应力为，骨架上的反压强为，骨架上

2、的反压强为 ，水的顶托力为，水的顶托力为P P。 当水处于平衡状态时，当水处于平衡状态时， 当从含水层中抽水、水头下降当从含水层中抽水、水头下降h h时，时，图图两个物理过程)()(hrhrPphp（1 1）H H下降下降h h，水体积膨胀，从而释放出一定，水体积膨胀，从而释放出一定体积的水；体积的水；（2 2）保持不变，骨架所受压力增加，因为固保持不变，骨架所受压力增加，因为固体颗粒接近于刚性体不可压缩，所以压力增加体颗粒接近于刚性体不可压缩，所以压力增加引起含水层压缩，使含水层空隙中的部分地下引起含水层压缩，使含水层空隙中的部分地下水被挤出。水被挤出。 这两点就是这两点就是弹性释水的机理弹

3、性释水的机理。 上述分析表明：上述分析表明：H H降低，承压含水层释降低，承压含水层释放部分地下水；放部分地下水；H H增大，承压含水层贮存部增大，承压含水层贮存部分地下水，这部分水量称为分地下水，这部分水量称为弹性贮存量弹性贮存量。 弹性贮水量的大小与含水层的岩性和弹性贮水量的大小与含水层的岩性和结构有关，为了表征含水层弹性释水（储结构有关，为了表征含水层弹性释水（储水）的能力，下面将给出弹性水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮贮水率和贮水系数水系数的概念。的概念。2.含水层的贮水率和贮水系数含水层的贮水率和贮水系数. .贮水率贮水率（Specific storativity）用用 表示表示

4、 当含水层中的水头降低（或升高）一当含水层中的水头降低（或升高）一个单位时，个单位时，单位时间单位时间内在内在单位体积单位体积含水层含水层中，由于水的弹性膨胀（或压缩）及含水中，由于水的弹性膨胀（或压缩）及含水层的弹性压缩（或膨胀）释放（或贮存）层的弹性压缩（或膨胀）释放（或贮存）的水量，称为的水量，称为贮水率贮水率, ,也称单位贮存量，也称单位贮存量，量纲为量纲为L L-1-1。s. .贮水系数贮水系数（ storage coefficient ） m m为含水层厚度，用于二维流计算。为含水层厚度，用于二维流计算。 无量纲，大部分含水层无量纲，大部分含水层 介于介于1010-5-51010-

5、3-3之间之间 物理意义物理意义：在单位面积、厚度为在单位面积、厚度为m m的含水层柱的含水层柱体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。ms 3.3.给水度给水度 对潜水含水层而言，对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分当水头下降时，引起两部分排水：排水： 含水层下部饱水部分的含水层下部饱水部分的弹性释水弹性释水，其释水能力用，其释水能力用 表示；表示； 上部潜水面下降部分引起的上部潜水面下降部分引起的重力疏干重力疏干排水，这部排水，这部分给水能力用分给水能力用给水度给水

6、度 （Specific yield）表示；表示； 给水度的物理意义：给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单当含水层中水头下降一个单位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的水量水量。s4.4.贮水率与给水度的区别贮水率与给水度的区别 弹性释水由减压引起，弹性释水由减压引起， 为压力变化所给出的水量，为压力变化所给出的水量， 为重力疏干排出的水量；为重力疏干排出的水量； 贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关，贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关，给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；

7、弹性释放瞬时完成；弹性释放瞬时完成；重力疏干具明显的滞后效应重力疏干具明显的滞后效应； 数量级：数量级： 约约1010-5-51010-3-3； 约约0.10.10.30.3； 在潜水含水层中，通常只考虑重力疏干，忽略弹性在潜水含水层中，通常只考虑重力疏干，忽略弹性释水。释水。sss二、二、承压含水层中渗流基本微分方程承压含水层中渗流基本微分方程（一）方程的建立（一）方程的建立设：设： 地下水、含水层均为弹性体；地下水、含水层均为弹性体； 弹性释水瞬时完成；弹性释水瞬时完成； 为常数为常数（constant）；）； 在渗流场中取一无限小的在渗流场中取一无限小的平行六面体平行六面体，作为均衡单元

8、，作为均衡单元，如图示，六面体边长分别为如图示，六面体边长分别为dx、dy、dz，下面分析，下面分析dt时时段内，均衡单元中的质量守恒问题。段内，均衡单元中的质量守恒问题。 均衡区均衡区均衡期均衡期 依据质量守恒和能依据质量守恒和能量守恒定律量守恒定律，建立承，建立承压含水层中渗流基本压含水层中渗流基本微分方程。微分方程。 dtQxdxdydzxyzabcdabcddxxQQxxxQ x x为单位时间内通过为单位时间内通过abcdabcd断面流入的水量。在断面流入的水量。在dtdt内，内，沿沿x x方向通过方向通过abcdabcd断面断面流入流入均衡单元的水量均衡单元的水量 , ,通过通过a

9、ab bc cd d断面从均衡单元断面从均衡单元流出流出的水量为的水量为 dtdxxQQxx)(o dtdt时段内分别沿时段内分别沿oyoy、 oz oz进入单元的水量为进入单元的水量为 而流出的水量为而流出的水量为 dxdydzxyzabcdabcd 在在dtdt内，均衡单元贮存量的变化量为内，均衡单元贮存量的变化量为: 据水均衡原理得：据水均衡原理得： odxxQQxxxQdtQdtQzy和dtdzzQQdtdyyQQzzyy)()(和dxdydzdttHs化简为：根据达西定律：根据达西定律：dtdxdydztHdtdzzQQdtQdtdyyQQdtQdtdxxQQdtQszzzyyyxx

10、x)()()(dxdydztHdzzQdyyQdxxQszyx)(dxdyzHKQdxdzyHKQdydzxHKQzzzyyyxxxdxdyzHKzzQdxdzyHKyyQdydzxHKxxQzzzyyyxxx)()()( 上式就上式就是非均质各向异性是非均质各向异性承压含水层中地下水三承压含水层中地下水三维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取坐标轴方向与主渗透方向一致。坐标轴方向与主渗透方向一致。（二）方程的化简和讨论（二）方程的化简和讨论 . .对于对于均质各向同性均质各向同性含水层，为常数，这时含水层，为常数，这时 简化为：简化为：t

11、HzHKzyHKyxHKxszzyyxx)()()(tHKzHyHxHs222222. .对于二维的情况，常用对于二维的情况，常用 和和T T表示表示( ( 各项均乘以各项均乘以m m） tHTyHxHTTTtHyHTyxHTxyxyx2222 ,)()(则时当，. .当含水层有垂直水量交换时，其量常用表示，称当含水层有垂直水量交换时，其量常用表示，称为为源（汇）项源（汇）项，含水层的源（汇）项可是，含水层的源（汇）项可是t t和位置的和位置的函数函数 W=W(x,y,z,t)。 当从含水层中抽水或从垂直方向有水流出含水层时，当从含水层中抽水或从垂直方向有水流出含水层时，为负，称为为负，称为汇

12、汇； 当给含水层中注水或从垂直方向有水流入含水层时，当给含水层中注水或从垂直方向有水流入含水层时，为正，称为为正，称为源源； 二维二维：tHWzHKzyHKyxHKxszzyyxx)()()(W W为单位时间从单位体积含水层中流入或流出的水量为单位时间从单位体积含水层中流入或流出的水量 三维三维：tHWyHTyxHTx)()(W W为单位时间从垂直方向单位面积含水层中流入为单位时间从垂直方向单位面积含水层中流入或流出的水量或流出的水量( (补给强度或蒸发强度补给强度或蒸发强度) ) 2() m /sTaa 令， 称为压力传导系数， 也叫导压系数 在二维情况 单位：tHayHxH1 2222这时

13、有： 可得到三维、二维相应的稳定状态下的渗流基本微分可得到三维、二维相应的稳定状态下的渗流基本微分方程。方程。 对于均质各向同性的三维流来说：对于均质各向同性的三维流来说：0 . 4tH对于稳定流，方程通常称为laplacezHyHxH02222225.5.若化为柱坐标若化为柱坐标（三维各向同性介质）（三维各向同性介质） tHKzHHrrHrrrs222221)(1三、三、越流含水层中渗流基本微分方程越流含水层中渗流基本微分方程（一）什么是越流？（一）什么是越流？ 1.1.半承压含水层半承压含水层：一个主含水层的上层和（或）下层为弱透：一个主含水层的上层和（或）下层为弱透水层，主含水层通过弱透

14、水层与相邻含水层发生水力联系，水层，主含水层通过弱透水层与相邻含水层发生水力联系，但它本身具有承压性，主含水层称为但它本身具有承压性，主含水层称为半承压含水层半承压含水层。 2. 2.越流越流：当半承压含水层与相邻含水层间存在水头差时，地：当半承压含水层与相邻含水层间存在水头差时，地下水便通过弱透水层从高水头含水层向低水头含水层产生下水便通过弱透水层从高水头含水层向低水头含水层产生垂向流动，这种现象称为垂向流动，这种现象称为越流越流。 简言之，相邻含水层在水头差的作用下，通过弱透水简言之，相邻含水层在水头差的作用下，通过弱透水层与主含水层发生水力联系的现象称为层与主含水层发生水力联系的现象称为

15、越流越流。越流的方向越流的方向：由两相邻含水层的水位决定。：由两相邻含水层的水位决定。（二）越流含水层中渗流基本微分方程（二）越流含水层中渗流基本微分方程 1.1.假定假定 a. a.忽略弱透水层的弹性释水；忽略弱透水层的弹性释水； b. b.水流在弱透水层中是垂向运动，而在主含水层中水流在弱透水层中是垂向运动，而在主含水层中 折射为水平运动；折射为水平运动； 2.2.方程的建立方程的建立 在主含水层中取一微分柱体（其长宽分别为在主含水层中取一微分柱体（其长宽分别为dxdx、dydy，高为含水层厚度，高为含水层厚度m m）作为均衡单元。下面分析在）作为均衡单元。下面分析在dtdt时段内，微分柱

16、体的水均衡问题。时段内，微分柱体的水均衡问题。P(x，y）沿沿x x方向流入单元体的水量：方向流入单元体的水量： 流出流出： 位于柱体中心，设),(yxP沿沿y y方向流入单元体的水量：方向流入单元体的水量： 流出流出： 沿沿z z方向流入单元体的水量：方向流入单元体的水量： 流出流出： dtdxxQQxx)2(dtdxxQQxx)2(dtdyyQQyy)2(dtdyyQQyy)2(dtdydxv2dtdydxv1流入量流出量流入量流出量：dxdtxQxx 方向：dydtyQy y方向：dtdydxvv)( z12方向：单元体内单元体内贮存量的变化贮存量的变化为：为：根据水均衡原理得：根据水均

17、衡原理得：dxdydttHdxdydttHdtdydxvvdydtyQdxdtxQyx)(12代入上式 得：1111mHHKv2222mHHKvdxyHTQydyxHTQxtHmHHKmHHKyHTyxHTx222111)()(这就是不考虑弱透水层这就是不考虑弱透水层弹性释水条件下，非均弹性释水条件下，非均质各向异性质各向异性越流含水层越流含水层系统地下水非稳定运动系统地下水非稳定运动的基本微分方程。的基本微分方程。（三）（三）越流因素和越流系数越流因素和越流系数. .越流因素越流因素（Leakage factor） 上式中，若介质为均质各向同性介质上式中，若介质为均质各向同性介质， TCon

18、stanttHTHHTmKHHTmKyHxH)()(2221112222 式中：式中：为主含水层的导水系数为主含水层的导水系数 i，mi分别为弱透水层的渗透系数和厚度分别为弱透水层的渗透系数和厚度222111KTmBKTmB 定定义义：1 1、2 2分别称为上、下两弱透水层的越流因素分别称为上、下两弱透水层的越流因素 tHTBHHBHHyHxH2222112222则则上上式式为为： 越流因素是反映弱透水层隔水性能的参数越流因素是反映弱透水层隔水性能的参数。越越大，越流量越小，对于隔水层无穷大，越流量大，越流量越小，对于隔水层无穷大，越流量为零。为零。 . .越流系数越流系数（Coefficie

19、nt of leakage） 因为因为 物理意义物理意义： 当主含水层和相邻含水层间的水头差等于一个当主含水层和相邻含水层间的水头差等于一个长度单位时，通过单位面积含水层上的越流量。长度单位时，通过单位面积含水层上的越流量。 越流系数越流系数反映越流量的大小，反映越流量的大小， 越大，相同水越大，相同水头下的越流量也越大头下的越流量也越大。 11mK2BT)(1111HHmKv四、潜水含水层中渗流基本微分方程四、潜水含水层中渗流基本微分方程（一）（一）Dupuit假定假定 潜水面通常不是水平面，潜水含水层中存在着流速的潜水面通常不是水平面，潜水含水层中存在着流速的垂直分量，潜水面本身又是渗流区

20、边界，随时间而变化。垂直分量，潜水面本身又是渗流区边界，随时间而变化。为了建立潜水含水层中渗流基本微分方程，引出了为了建立潜水含水层中渗流基本微分方程，引出了DupuitDupuit假定：假定：, SindsdHJsintg 很小，由于假设假设潜水面比较平缓潜水面比较平缓，潜水面上任意一点，潜水面上任意一点P P有：有： 相当于忽略了渗透速度的垂直分量相当于忽略了渗透速度的垂直分量 ， 代替，代替，在铅垂面上各点的水头都是相在铅垂面上各点的水头都是相等的等的；或者说，水头不随深度而变化，同一铅直面上各点；或者说，水头不随深度而变化，同一铅直面上各点的水力坡度和渗透速度都相等，渗透速度可表示为：

21、的水力坡度和渗透速度都相等，渗透速度可表示为： 在此条件下，通过宽度为在此条件下，通过宽度为B B的铅直平面沿的铅直平面沿x x方向的流量方向的流量x x为：为：zV)( ,xHHdxdHKvx),(),(tyxHtzyxHxHhBKQx h-h-含水层厚度，当隔水底板水平时，含水层厚度，当隔水底板水平时，h = Hh = H（二）潜水含水层中渗流基本微分方程（二）潜水含水层中渗流基本微分方程1.1.方程的建立方程的建立 在在DupuitDupuit假定下，考虑一维问题，取平行于假定下，考虑一维问题，取平行于xozxoz平平面的单位宽度进行研究。面的单位宽度进行研究。 首先取一微分柱首先取一微

22、分柱体（其长度为体（其长度为x x，宽，宽为，高为整个含水为，高为整个含水层厚度）作为均衡单层厚度）作为均衡单元，下面分析在元，下面分析在dtdt时时段内，微分柱体的水段内，微分柱体的水均衡问题。均衡问题。从上游断面流入：从上游断面流入：从下游断面流出：从下游断面流出： dtxdxdqq)2(dtxdxdqq)2(dtxdxdq其差在在t t时间内，时间内，垂直方向的垂直方向的补给量为：补给量为： dtxW 由于潜水面的上升而由于潜水面的上升而引起的均衡区内的水的增引起的均衡区内的水的增量为：量为： dtxtH根据连续性原理，上面两个增量应相等，即根据连续性原理，上面两个增量应相等，即tHWx

23、qxHhKq)(xHhKxxq代入上式代入上式tHWxHKhx)(得到得到 上式为非均质各向异性潜水含水层中一维地下水非稳上式为非均质各向异性潜水含水层中一维地下水非稳定运动的基本微分方程，也称为定运动的基本微分方程，也称为. .BoussinesqBoussinesq方程。方程。对于均质含水层，对于均质含水层，ConstantConstant tHKKWxHhx)(tHWxHKhx)(式中：式中： ：水位下降时称为水位下降时称为给水度给水度，水位上升时称为，水位上升时称为饱和差饱和差； W W：降雨入渗强度（：降雨入渗强度（+ +）或蒸发强度（）或蒸发强度（）；）； h h：含水层厚度；：含水层厚度； H H：含水层的水位（平均值）；：含水层的水位（平均值）； K K：含水层渗透系数；：含水层渗