圆锥曲线几何性质总汇

1、圆锥曲线的几何性质椭圆的几何性质22 =1 (a> b> 0)为例)1、" ABF2的周长为4a（定值）证明：由椭圆的定义AF1BF1AF2 2aBF2 2a即 C j abf24a2、焦点"PF1F2中:(1)S" PF1 F2=b2 ?ta n 2(2)(S" PF1F2)max= bc(3)证明:(2)(3AF,AF2BF,bf2当P在短轴上时，/ F1PF2最大(1)在 < ARF2 中COSPF12 |pf22 4 c22|PFjPF2PF12 PFPF?PF1 PF2SpFR1(S" PF1F2)cos当x0=0时

2、3、cos2b21 cos2b21 cossinPF2hmaxPF12 IPF22 4c22|PFjPF22ca ex0_ 1max =222a 2c cos有最小值 2 a2cosbctan 22 a2PF1exx_2 2 2e x。2 4c24a2 4c212222a2e0 x°即/ F1PF2最大过点F作"PF1F2的/ P的外角平分线的垂线，垂足为2 2 2则M的轨迹是x +y =a证明：延长RM交F?P于F ,连接OM由已知有PF1FP M为F1F中点OMFF2 =- PF1 PF2 =a2x所以m的轨迹方程为x2 y a24、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆

3、x2+y2=a2内切“ 111OM =-PF2-2aPF1a PF1a r222圆M与圆O内切以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2 内切证明：取PF1的中点M，连接OM。令圆M的直径PF1，半径为r5、任一焦点"PF1F2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于则 I IR 1:1 IP I =e证明：证明：连接 F-I ,F2I由三角形内角角平分线性质有IRF1RF2RF1RF2R2cePIPF1PF2PF1PF22aIRePI6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明:令A X1,% ,BX2,y2到准线的距离为以为直径的圆的圆心为M到准线的距离为d。af2bf

4、2ecdAF2 BF2 e d1 d2ed2AB2Re d1 d21Re d1 d22d1 C1 C221e«1RYd以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则：(I PAI + IPF2I)max =2a+ IAFiI(I PAI + IPF2I)min =2a- IAFiI证明：连接 AP,AFi,PFiAPPF2AP2aPF12aAP PF1AF1AP PF1AF12aAF1APPF22aAF1(I PAI + I PF2 I ) max =2a+ I AF1 I8、A为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点，则(I PA I + I PF> I )

5、 min =2a- I AF1 I(I PA I +£空)min = A 到右准线的距离证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有ePFPFe d dePA IPF2+min =PA d min = A到右准线的距离9、焦点"PF1F2的旁心在直线x= ± a 上。证明：令° I与/ PFF2三边所在的直线相切于 M N、APMPF1F1F2PNF2Nf2aF2NF1APF2PF2d1eQF2d1PF2QF2ed1d2QF2d2PF2d2QF2虫PKd2QK证明：令P,Q到准线的距离为di,d2由三角形外角平分线性质定理有KFz平分/ ERQEFQTF

6、MF1APF1PNF1F2 F2N/f2nf2aPF1PNF2NF1F2F2NF2ATF2NF2A 2a 2c 2 F2A a cF2A即为椭圆顶点。 焦点"PFF2的旁心在直线 x= ± a 上10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于 E, K是准线 上另一任意点，连结 PK交椭圆于Q贝U KF2平分/11、1AF1BF書（定值）证明：令Axi, yi,B X2,y2当AB的斜率存在时，设直线y k x c疋y2b2x22 2a b2 2 2 2 2a (k x 2k cx c k) aAB方程为y k x(b2 a2k2)x2 2a2k2cx a2k2c2 a

7、2b202a2k2cb2 a2k2x1x2222 2. 2a k c a b2 22b a kAFBFa exa ex2AFc2a2k2c2a e 2 2b2 a2k2BF1a ex11a ex22a2a2k2c2 a2k2c2 a2b2aeb2 a2k2 e b2 a2k22a e x1 x222a ae x x?e2a2k2cae22 2b2 a2k22a2k2cb2 a2k2222 2-2(c)2 a k c a b ) 2 2 2 a b a k322a k2ab2ci222ak c4.22. 22. 2 24. 2.22a ka b2 a k cc k b c2ak212a.2.2,

8、2bk1b2ak2 a2 c2 2ab2 k2b4 a2b2 b2c2当AB的斜率存在时，2ak2 2a2 2 2 2k b a c11aa 2aAFBFb2 b2 b21 1AF BF存定值）12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点，则Kab?K°p冬（定值）a证明：令 A X1,% ,B X2,y2 , P 怡。2Xo2yo22X1y112 ab2X1x2 .音222X2淫1a2 ab2y1y2b2X1X22X1X2a*y2X2y1y2X2% y2匹，Kdpy1y2 . y1y2X20b2ab2a213、椭圆的短轴端点为 B、E2, P是椭圆上任一点，连结 BiP、B2P分别交长

9、轴于 N M两点，则有I 0M * I ONI2=a证明：B1 0,b ,B2 0, b , N ,P 心丫。,M x20由于B2、X2, bxi,bXqX2X2bxgYq b由于PF?Xq,Yq,pf2C Xq,YqxXqXiYq bbbxoYq bOM2XqaOMON2YqON2-2Xq bx°2b2AB2 .2YqbYq2 b22.22XqbYq2 a2 ab2Xi2 a2 2b Xq2 2 bYq14、椭圆的长轴端点为 A、A 2，P是椭圆上任一点,连结AP、A2P并延长，交一准线于 N M两点，则M N与对应准线的焦点张角为 90°证明：令2aM, Y1c2,N

10、,Y2 ,P Xq, Yq ， A a,0 cA2 a,0APXq a, Yq ,APx° a,y° ,A1M2aa, Y1 ca2,ANa, Y2c由于A、P、M共线yixoayo2ayic2za、yo (a)CX。 a由于a2,p,n共线y2Xo ayo2 ay2c2za.yo (a)cXoa222XoaXoaXoac2 2aayo U a)yo U a)yo2a4 a2c2222Xo2ayob2yo22Xoab2a.242 2b a a cyiy222a cb4fN2ac, yi cb42yiy2cc, y2cfM fNM、N与对应准线的焦点张角为9oo15、过椭圆准

11、线上任一点作椭圆和切线,切点弦该准线对应的焦点。2证明：设M ,yoc2aX则AB的方程为& a即X智c b1必过点yoy 1眉1c,o16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明：设P Xo, yo ，则过P点的切线l :必# 1，直线l的法线x交轴于Qa b直线l的法向量为:Xo yo , ab2Xo,y。,Pf2 c Xo,yo- PF22Xoyo2 2cXo2Xo2cxo b2.22b Xo2a2c Xo2222a cXo2aCXo 2(1)同理PFi2cXo Xo2 yo 了CXo2 aXob2.22b Xoa2aexo2aCXo2 a同理n PF22a

12、CXo2acosF2PQcos F2PQ2aCXo2a2acXo2 aF1PQF2 PQ即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。2、双曲线的几何性质(均以务a271 a, bb2o 为例：).2(1)焦点三角形面积：S b cot2P? F2? Fi过作/ FiPF的内角平行线的重线垂足M的轨迹是xa2以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与x22a内切，小的圆与x2a外切。以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交、焦点"PF1F2的内切圆心横生标为土 a即与实轴的切点定是实轴端点1MC比 2arccos e(9)、焦点到渐近线的距离等于bAx(9)(6)焦点弦为直径的圆被相应准线截得

13、圆弧所对的圆心角为定值/、A为双曲线内一定点 P为双曲线上动点=pa+pf21(8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点，PA + - PF2min等于A到右准线的距离e(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值a2b2c2(11)、P是弦AB中点Kab .b2Kop =2定值(12)x1、P为双线上任一点过 P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值-ab2(13)、过P的切线平分/ F1PF2 （光学性质）即经过一焦点的光线被双曲线反射，反射光线的下长线过另一焦点(14)双曲线与渐近线把平面分成5部分2 2双曲线上的点笃 y21a b渐近线上的点b22

14、 2区域的点刍占 1a2 b2区域的点2 x 2 a2y2 y b22 2区域的点0 笃上71a2 b2过渐近线上的点(除中心)只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域的点作切线分别在两支上，过区域的点作切线切点在同一支上，过区域的点没切线，双曲线的切线斜率k -，区域、的a点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上(除中心)，双曲线上，区域的点不可能是弦中点(15)直线L与双曲线的渐近线2x-2ab21交于A、B两点，与双曲线交于 C D两点，则AC=BD三、抛物线的几何性质均以抛物线y2 2px p 0为例（1） 如图：A为抛物线内一定点，P是抛物线上的动点,PA + PF min等于A到准线的距离2px p 0 焦点 F 作弦 AB 其中 A（xi,y 1）,B （x2,y 2）则有:yi y22P2x1x2p4ABx1X2PABmin2p112A