圆与方程章末复习课

1、I hi j i.x r 111 wmarsn第四章与方程章末复习课学习目标】1整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识2培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问 题，并学会运用数形结合的数学思想.U知识梳理1 圆的方程(1) 圆的标准方程：(x- a)2+ (y-b)2= r2.(2) 圆的一般方程：x2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0(D2+ E2 4F>0) 2 点和圆的位置关系设点 p(xo, yo)及圆的方程(x a)2+ (y b)2=r2.(1) (x0-a)2+ (yo b)2>r2?点 P

2、在圆外.(2) (xo a)2+ (yo b)2<r2?点 P 在圆内.(3) (x0 a)? + (yo b)?=？点 P 在圆上.3 .直线与圆的位置关系设直线I与圆C的圆心之间的距离为 d,圆的半径为r，则d>r宀相离；d=r相切；d<r宀相4 .圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d,半径分别为1与匕，则宀护¥方 位置大糸相离外切相交内切内含图示d 与 n, Q的关系d>n+2d= n+2|1 2|<d<r1 +2d= |1 切d<|1 5.求圆的方程时常用的四个几何性质(斗)两圖外切或内切时、切点与两圆忧心北线圜心到切线的距海尊于

3、半轻6 与圆有关的最值问题的常见类型(1)形如 尸川形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.x a形如t= ax + by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.形如(x a)2+ (y b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题.7 计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1) 几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2) 代数方法运用根与系数的关系及弦长公式|AB|= . 1+ k2 |xa Xb|=7( + k2 (xa+ Xb 2- 4xaxb.注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.8 空间中两点的距离公式空间中点Pi(

4、Xl,yi,引，点P2(X2,y2,迪之间的距离|PlP2=,X2 Xi2+ yi2+Z2 N 2.题型探究类型一求圆的方程例1根据条件求下列圆的方程.(1) 求经过 A(6,5), B(0,1)两点，并且圆心在直线3x+ 10y+ 9= 0上的圆的方程；(2) 求半径为 10,圆心在直线y= 2x上，被直线x y= 0截得的弦长为4,2的圆的方程. 解(1)由题意知，线段 AB的垂直平分线方程为 3x+ 2y 15 = 0,3x+ 2y 15= 0, 由3x+ 10y+ 9= 0,x= 7,解得y= 3,圆心 C(7, 3)，半径为 r = |AC|= 65.所求圆的方程为(X 7)=2(X

5、1 + X2 2 4X1X2 = 4迈，2 (X + X2) 4X1X2 = 16.2 2a2 + b2 10-X1 + X2= a + b, X1X2 =2, 22 -(a+ b) 2(a + b 10)= 16,即卩 a b = ± + (y+ 3)2 = 65.方法一设圆的方程为(x a)2+ (y b)2= r2,则圆心坐标为(a,b)，半径为r = 10,圆心(a, b)到直线x y= 0的距离为d =色J由半弦长，弦心距,半径组成直角三角形，得+ (42-)2= r2,.2即号-+ 8= 10, (a b)2= 4.又/ b= 2a, a = 2, b= 4 或 a= 2

6、, b = 4,所求圆的方程为(x 2)2 + (y 4)2= 10或(x+ 2)2 + (y + 4)2= 10.方法二 设圆的方程为(x a)2+ (y b)2= 10,圆心 C(a, b)在直线 y= 2x上， b= 2a.由圆被直线x y= 0截得的弦长为4 2,将 y = x 代入(x a)2 + (y b)2= 10,得 2x 2(a + b)x+ a + b 10= 0.设直线 y= x 交圆 C 于点 A(X1, y1), B(x2, y2),贝 H |AB|=寸 * - X2 2 + (y1 - y2 2a = 2, a =- 2,又/ b= 2a, 或b = 4b = 4.

7、£J所求圆的方程为(X 2)2 + (y 4)2= 1022或(x+ 2) + (y + 4) = 10.反思与感悟求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得 a, b, r(或D , E, F)的方程(组).第三步：解出a, b, r(或D, E, F).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练

8、1如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点 A, B(B在A的上方)，且|AB|= 2,则圆C的标准方程为 .答案(X 1)2 + (y 2)2= 2解析 取AB的中点D，连接CD , AC,贝U CD丄AB.由题意知，|AD|= |CD|= 1，故|AC|= |CD|2 + |AD|2 = . 2，即圆C的半径为，2又因为圆C与 x轴相切于点T(1,0)，所以圆心C(1 , . 2)，故圆的标准方程为(x 1)2+ (y .2)2= 2.类型二直线与圆的位置关系例 2 已知点 M(3,1)，直线 ax y+ 4= 0 及圆(x 1)2+ (y 2)2= 4.(1) 求过

9、M点的圆的切线方程；(2) 若直线ax y + 4 = 0与圆相切，求a的值；若直线ax y + 4 = 0与圆相交于 A, B两点，且弦 AB的长为2 .3，求a的值.解 圆心C(1,2)，半径为r = 2.x= 3. 当直线的斜率不存在时，方程为由圆心C(1,2)至直线x= 3的距离为d= 3- 1 = 2= r知，此时直线与圆相切. 当直线的斜率存在时，设方程为y 1 = k(x- 3),即 kx- y+ 1 - 3k= 0.由题意知,|k- 2+ 1 - 3k|3=2,解得 k= 4.方程为 y- 1 = 3(x- 3),即卩 3x 4y- 5= 0.故过M点的圆的切线方程为 x= 3

10、或3x- 4y- 5= 0.由题意有旧-2+ 4|= 2,解得a= 0或a= 3寸 a2+ 13/圆心到直线ax- y+ 4 = 0的距离为罟皇,Pa2+ 1反思与感悟当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式 少0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长.几何方法：若弦心距为 d，圆半径为r，则弦长为1= 2 'r2- d2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，禾U用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线.跟踪训练2 已知点P

11、(0,5)及圆C: x2 + y2 + 4x- 12y + 24= 0.(1)若直线I过点P,且被圆C截得的线段长为4.3,求I的方程；求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程.解 如图所示，|AB|= 4.3,设D是线段AB的中点，贝U CD丄AB,O |AD|= 2 3, |AC|= 4.在 Rt ACD 中，可得 |CD|= 2.设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为y 5 = kx,即kx y+ 5 = 0.| 2k 6 + 5|3由点C到直线AB的距离为 =2，得k = 3,A/k2+ 14此时直线I的方程为3x 4y+ 20= 0.又当直线I的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x= 0

12、,所求直线I的方程为x= 0或3x 4y + 20= 0.设过P点的圆C弦的中点为D(x, y),则 CD _L PD，所以 kcD kpD = 1,y 6 y 5x + 2x化简得所求轨迹方程为x2+ y2+ 2x 11y+ 30= 0.类型三圆与圆的位置关系例3已知一个圆的圆心坐标为A(2,1)，且与圆x2 + y2 3x= 0相交于P?两点，若点 A到直线P1P2的距离为一 5,求这个圆的方程.解 设圆的方程为(x 2)2 + (y 1)2= r2, 即 x2 + y2 4x 2y+ 5 r2= 0,所以直线P1P2的方程为x+ 2y 5+ r2 = 0.由已知得2|2+ 2X 1 +

13、r 5|解得r2= 6.故所求圆的方程是(x 2)2 + (y 1)2 = 6.=.5,5反思与感悟(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆 Cl： x2+ y2+ Dix+ Eiy + Fi = 0 与圆 C2: x2+ y2+ D2X + E2y+ F2= 0 相交，则两圆公共弦 所在的直线方程为(Di D2)x+ (E1 E2)y + F1 F2= 0.(2) 公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.跟踪训练3 已知两圆(x+ 1)2

14、+ (y 1)2= r2和(x 2)2+ (y+ 2)2= R2相交于P, Q两点，若点P 的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为 .答案(2, 1)解析 两圆的圆心坐标分别为。1( 1,1)和02(2, 2),由平面几何知，直线O1O2垂直平分线段PQ,1 一(一 2 )则 kpQ= kpQ = 1,kpQ= 1.1 2直线PQ的方程为y 2 = x 1，即y= x+ 1.222由点 P(1,2)在圆(x+ 1) + (y 1) = r 上,可得r = .5,f(x+12+ (y 1 f= 5,联立5'7=x+ 1,x= 1,x= 2,解得丫或17= 2y= 1.- Q( 2, 1).类

15、型四数形结合思想的应用例4曲线y= 1+ ,4 x2与直线y= k(x 2) + 4有两个交点，则实数 k的取值范围是()A . (0, $)B .(g，2 )1353C.(1, 4D.(1? 4答案 D 解析 首先明确曲线y= 1 + ” 4 x2表示半圆,53由数形结合可得< k< ,反思与感悟数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数（方程）的思想反映几何问题.跟踪训练4 已知实数x、y满足方程x2

16、+ y2 4x+ 1 = 0,则丫的最大值为x，最小值为答案 .3 3解析 如图，方程x2+ y2 4x+ 1= 0表示以点（2,0）为圆心，以，3为半径的圆.设 x = k,即 y=kx， 则当圆心（2,0）到直线y= kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、由 |2k01 = .3，解得 k2= 3, k2+ 1kmax= 3 , kmin =习 3（也可由平面几何知识，得OC = 2, CP = 73, / POC = 60°直线 OP最小值.的倾斜角为60 °直线OP '的倾斜角为120 °当堂训练1 .若方程x?+ y2 + ax+ 2ay

17、+ ；a2+ a 1 = 0表示圆，则 a的取值范围是B -vav23C. a > 1D. av 1答案 D解析由题意知 a2+ 4a2 4(4a2 + a 1) > 0,解得av 1.2 .以点(3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()22A . (x 3) + (y+ 4) = 1622B . (x+ 3) + (y 4) = 16C . (x 3)2 + (y+ 4)2= 9D . (x+ 3)2 + (y 4)2 = 9答案 B3. 过点P( .3, 1)的直线I与圆x2 + y2= 1有公共点，则直线I的倾斜角a的取值范围是()A . 0°v a 30 &#

18、176;B . 0°v a 60 °C . 0 ° a< 30 °D . 0°< a 60 °答案 D解析 设 I: y+ 1 = k(x+ 3)，即 kx y+ 3k 1 = 0,lV3k1|圆心(0,0)到直线I的距离为d=w 1,彳 k2+ 1解得 0w kw j3,即 0Wtan aw 3, / 0°< aw60°4. 两圆 x2 + y2 6x+ 16y 48 = 0 与 x2 + y2+ 4x 8y 44= 0 的公切线的条数为()A . 4 B . 3 C . 2 D . 1答案 C

19、解析 两圆的标准方程分别为(x 3)2+ (y+ 8)2= 121 ;(x + 2)2+ (y 4)2= 64,则两圆的圆心与半径分别为C1(3, 8), r1= 11 ; C2( 2,4), r2= 8.圆心距为 |C1C2=“ 3+ 2 2+ 8 4 2= 13.-r 1 C1C2|vr 1 +2,两圆相交，则公切线共2条.2 25 .已知直线 x my + 3= 0 和圆 x + y 6x+ 5= 0.(1)当直线与圆相切时，求实数 m的值；当直线与圆相交，且所得弦长为豊0时，求实数 m的值.解 因为圆x2+ y2 6x+ 5= 0可化为(x 3)2+ y2= 4,所以圆心坐标为(3,0

20、).因为直线x my+ 3 = 0与圆相切，所以|3+ 3|解得m= 2 2.圆心(3,0)到直线x my+ 3= 0的距离为|3+ 3|1 + m2得 2 + 2m2= 20m2 160,即即 m2= 9.故 m= ±3.规律与方法圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决 圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几 何性质.那么，经常使用的几何性质有 (1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形

21、的三个顶直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直 平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾 股定理.(3) 与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆 周角是直角.课时作业、选择题1.已知圆C与直线x y= 0和x y 4 = 0都相切，圆心在直线x+ y= 0上，则圆C的方程为()2 2A . (x+ 1) + (y 1) = 2B . (x 1)2+ (y+ 1)2= 2C. (x I)2+(y1)2= 22 2D . (x+ 1) + (y+ 1) = 2答案 B解析由圆心

22、在x+ y= 0上，可排除C, D.再结合图象，或者验证选项A , B中，圆心到两A. 4B. 4直线的距离是否等于半径2即可.2 .若直线ax + by= 1与圆x2 + y2= 1有公共点，贝V ()A . a2+ b2w 1B. a2 + b2 > 1J1,11,C. 2+1D. 2+ 2 > 1abab答案 B解析若直线ax+ by = 1与圆x2+ y2= 1有公共点，则即 a2+ b2> 1.3. 已知圆01的方程为x2+ y2= 4,圆。2的方程为(x a)2+ y2= 1,如果这两个圆有且只有 个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A. 1 , 1B .

23、3 , 3C. 1，一 1,3，一 3D. 5 , 5,3, 3答案 C解析/两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切, 当两圆内切时，|a|= 1，当两圆外切时，|a|= 3, 实数a的取值集合是1 , 1,3, 3，故选C.4. 在空间直角坐标系中，以A(m,1,9), B(10, 1,6), C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形,其中m Z,则m的值为()C 6 或 4答案 A 解析 如果由顶点 A(m,1,9), B(10, 1,6), C(2,4,3)构成的 ABC是以AB为底边的等腰三角 形, 则 |AC|=|BC|,' m 2 2+ 1 4 2+ 9 3 2=-

24、10 2 2+ 1 4 2+ 6 3 2, 53= (m 2)2, / m Z , 方程无解.如果由顶点 A(m,1,9), B(10, 1,6), C(2,4,3)构成的 ABC是以AC为底边的等腰三角形, 则 |AB|=|BC|,寸(m 10 2+ (1 + 1 2+ (9- 6$=寸(10-2 (+(- 1 4) + (6 3 ),2- (m 10) = 85, / m Z , 方程无解.如果由顶点 A(m,1,9), B(10, 1,6), C(2,4,3)构成的 ABC是以BC为底边的等腰三角形, 贝U |AB|= |AC|,- ' m 10 2+ 1 + 1 2+ 9 6

25、2= m 2 2+ 1 4 2+ 9 3 2,(m 10)2= 32 + (m 2)2，解得 m= 4，故选 A.5 .已知圆心为(2,0)的圆C与直线y = x相切，则切点到原点的距离为()A. 1 B. ,2 C. 2 D. 3答案 B解析如图，设圆心为C,切点为A,圆的半径为切点到原点的距离为 222 2= .2故选B.6 .直线，3x+ y 2 .3 = 0截圆x2 + y2= 4得的劣弧所对的圆心角为()A. 30 ° B. 45 ° C. 60 ° D. 90 °答案 C解析过0作0C丄AB，垂足为点C, 由圆的方程x2 + y2= 4，得圆

26、心0的坐标为(0,0)，半径为r = 2. 圆心到直线 3x+ y 2 3 = 0的距离为d = |OC|= 乎3，直线被圆截得的弦长为|AB|= 2 ：r2 d2= 2, AOB为等边三角形，即 / AOB = 60°直线被圆截的劣弧 AB所对的圆心角为60°故选C.9= 0的对称轴，过点I: kx+ y 2 =A(0, k)作圆C的一条切线，切点为 B,则线段AB的长为()A . 2B. 2 2C. 3D. 2 3答案 D 解析 由圆 C: x2+ y2 6x+ 2y+ 9 = 0，得(x 3)2 + (y + 1)2= 1, 表示以C(3, 1)为圆心，1为半径的圆.

27、由题意可得直线l : kx+ y 2= 0经过圆C的圆心(3, 1),故有 3k 1 2= 0，得 k= 1，则点 A(0,1),即 |AC|=- 0 3 2+ 1 + 1 2= 13,则 |AB|= '|AC|2 r2 = .13 2 1 = 2 . 3,故选 D.二、填空题8 .以正方体 ABCD A1B1C1D1的棱AB, AD , AAj所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC1的中点的坐标为 .1答案(1,1, 1一 1解析 画出图形(图略)即知CC1的中点的坐标为(1,1 , ).9. 若两圆x2 + (y+ 1)2= 1和(x+ 1)2

28、+ y2= r2相交，则正数r的取值范围是 .答案(_2 1,2 + 1)解析两圆 x2 + (y+ 1)2= 1 和(x+ 1)2 + y2= r2相交，圆x2 + (y+ 1)2= 1的半径和圆心分别是1, (0, 1),圆(x+ 1)2+ y2= r2的半径和圆心分别是 r, (1,0),两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和，即 |r 1|v-：0+ 1 2+ 1 0 2< r + 1, r 1< 2 < r + 1, r ( 2 1,2 + 1),即正数r的取值范围是(.2 1,2+ 1).10. 已知在平面直角坐标系xOy中，过点(1

29、,0)的直线I与直线x y+ 1 = 0垂直，且I与圆C：x2+ y2= 2y+ 3交于A, B两点，则 OAB的面积为 .答案 1解析直线I的方程为y=(x 1),即 x+ y 1= 0.又由圆 C: x2+ y2= 2y+ 3，得 x2 + (y+ 1)2 = 4,| 2|厂圆心C(0, 1)到I的距离为d= 2, |AB|= 2 'r2 d2= 2 4 2= 2 2, 又原点o到I的距离为=平SOAB11设圆C同时满足三个条件：过原点；圆心在直线y= x上；截y轴所得的弦长为4, 则圆C的方程是.答案 (x+ 2)2 + (y+ 2)2= 8 或(x 2)2+ (y 2)2= 8

30、解析 由题意可设圆心 C(a, a)，如图，得 22+ 22= 2a2,解得 a= ±2, r2 = 8.所以圆 C 的方程是(x+ 2)2+ (y+ 2)2= 8 或(x 2)2+ (y 2)2= 8.三、解答题12 .已知圆心坐标为(3,4)的圆N被直线x= 1截得的弦长为2 .5.(1) 求圆N的方程；若过点D(3,6)的直线I被圆N截得的弦长为4 .2求直线I的斜率.解(1)由题意知，圆心到直线的距离为 3 1 = 2,T圆N被直线x= 1截得的弦长为2 5,圆的半径为r = 5+ 4= 3,圆 N 的方程为(x 3)2 + (y 4)2= 9.设直线I的方程为y 6= k(

31、x 3),即 kx y 3k+ 6= 0,圆心(3,4)到直线I的距离为d=/, r = 3，弦长为 W2, 4 2= 29 d2,化简得 1 + k2= 4 ,解得k= 士 3.13 .已知圆 C1： x2 + y2 + 2x+ 2y 8= 0 与圆 C2： x2 + y2 2x+ 10y 24= 0 相交于 A、B 两点.(1) 求公共弦AB所在的直线方程；(2) 求圆心在直线 y= x上，且经过 A、B两点的圆的方程；(3) 求经过A、B两点且面积最小的圆的方程.x2 + y2+ 2x+ 2y 8 = 0 ,解(1)由 $? x 2y+ 4= 0.2 2x + y 2x+ 10y 24= 0圆 C1： x2+ y2+ 2x+ 2y 8= 0 与圆 C2: x2 + y2 2x+ 10y 24= 0 的公共弦 AB 所在