测试技术第二章

1、1 第二章第二章 测试装置的基本特性测试装置的基本特性 测试包含测量和试验，也就是具有试验性质的测量，是从客观事物取得有关信息的过程。在这一过程中，需借助专门的设备测试装置，通过合适的试验方法和必要的数学处理方法，取得所研究对象的有关信息。 本章主要讨论测试装置及其与输入、输出的关系。2.1 2.1 概述概述 在绪论部分我们已用框图表示了典型的测试装置。但是随着测试目的和要求的不同，测试装置的组成、复杂程度都有很大差别，而我们说在测试过程中所需要借助的专门设备测试装置，有时是指众多环节组成的复杂测试装置，有时则是指测试装置中的组成环节，因此，也常将“装置”作为“系统”来看代。一、对测试装置的基

2、本要求一、对测试装置的基本要求 通常的工程测试问题总是处理输入量 ，系统的传输特性或转换特性 和输出量 之间的关系（图2-1）。而上述三者只要知道其中任意两者，则第三者可以确定。 x t h t y t2图2-1 在测试工作中，往往应该把研究对象和测试装置作为一个系统来考察。这是因为测试装置令被测对象产生反作用，从而对输出量产生影响。因此，只能首先确知测试装置的特性，才能从测试结果中正确评价所研究对象的特性。 如果研究的对象就是测试装置的本身，那么图2-1所反映的就是测试装置的传输特性（或转换特性）的问题，也就是它的定度问题（标定问题）。 理想的测试装置应该具有单值的、确定的输入输出关系。其中

3、，以输出和输入成线性关系为最佳。如果所测试的信号不随时间变化，或相对观察时间而言，其变化非常缓慢而可以忽略其变化者，则称这种测试是静态的。如果所测试的信号变化较快，这种测试则属于动态测试。 3 在静态测量中，测试装置的这种线性关系虽然是我们所希望的，但不是必须的（因为在静态测量中，用曲线校正或输出补偿技术作非线性校正尚不困难）；在动态测量中，测试装置本身应该力求是线性系统，这不仅是因为目前对线性系统才能作比较完善的数学处理处理与分析，而且也因为在动态测试中作非线性校正还相当困难。一些实际测量装置不可能在较大的工作范围内完全保持线性，因此，只能在一定的工作范围内和在一定误差允许范围内满足这项要求

4、，即作为线性处理。二、线性系统及其主要性质二、线性系统及其主要性质线性系统的输入 和输出 之间的关系可用下列微分方程来描述： x t y t 11101110nnnnmmmmaytayta yta ytbxtbxtb xtb xt（21）4式中： 1nnytytyt、分别为输出量 y t对时间的各阶导数； 1mmxtxtx t、分别为输入量 对时间的各阶导数。 x t 所以式（21）是常数微分方程，所描述的是时不变线性系统（也称定常线性系统）。 系统的参数（微分方程中的参数）不随时间而变，则此系统为时不变系统；若系统的参数随时间改变，则为时变系统。严格的说，很多的物理系统是时变的。但在工程上，

5、常可以以足够的精确度认为多数常见物理系统中的参数是时不变的常数，这样就把一些时变线性系统当做时不变线性系统来处理。我们的讨论就限于时不变线性系统。 如用 表示上述系统的输入、输出的对应关系，则时不变线性系统有以下主要性质： tytx 1.叠加性 若 ， 则： tytx21 tytx22 tytytxtx2121（22） 5 上式表明，几个输入所产生的总输出是各个输入所产生的输出叠加的结果。这意味着作用于线性系统的各个输入所产生的输出是互不影响的；因此在分析多个输入同时加在系统上所产生的总效果时，可以先分别分析单个输入（假定其它输入不存在）的效果，然后将这些效果叠加起来表示总的效果。 2.比例特

6、性若 则对于任意常数 ，有 tytx tytx（23） 3.系统对输入导数的响应等于对原输入响应的导数，即若 tytx则 ： tytx（24） 4.如系统的初始状态均为零，则系统对输入积分的响应等同于对原输入响应的积分，即若： tytx则： ttdttydttx00（25） 65.频率保持性 通常把外界对系统的作用称作系统的输入或激励，将系统对这种作用的反映称作系统的输出或响应。 若输入为某一频率的正弦（或余弦）激励（简谐信号），则其稳态输出将有、而且也只有该同一频率。证明：由于 tytx按线性时不变系统的比例特性，对于某一已知频率 ，有： tytx22又根据微积分特性，有： tytx 然后对

7、上面的两式应用叠加原理，就有： tytytxtx22 7现在令输入为某一单频率的简谐信号，记作 ，那么其二阶导数应为： tjeXtx0 txeXjeXtxjwttj20220 即： 20 xtx t相应的输出应为 20yty t于是输出 唯一的可能解只能是： y t 00jty tY e（26） 线性系统的这些特性，特别是频率保持性，在动态测试中具有重要的作用。假如已知系统是线性的，其输入的激励频率也已知，那么依据频率保持性，测得信号中就只有与激励频率相同的成份才可能是由该激励引起的，而其它频率一概为噪声干扰。8三、有关测试和测试装置的若干术语一测量、计量和测试 测量、计量和测试三者关系密切。

8、一般认为，测量是指以确定被测对象量值为目的的全部操作；计量是指实现单位统一和量值准确可靠的测量；测试包含测量和试验两个过程，它是实施实验全过程所需技术的总称，包括实验装置、测量装置和数据处理装置，因此也可以说是具有试验性质的测量 准确度、精密度和精确度 精密度：亦称精密性，表示在多次测量中测量值的分散程度或重复性。随机误差小，重复测量所得的数据就密集，即精密度高。 准确度：亦称准确性，表示测量值与测量值真值的偏离程度。系统误差小，准确度就高。 精确度：测量结果的精密和准确的综合反映。精密度高，表示系统误差和随机误差都小。有人把精确度简称为精度。 由此可见，精密度高的不一定准确，而准确度高的又不

9、一定精密，只有精确度高才既准确又精密。 9可以以打靶记录来形象的说明三者的概念。见图22。图22说明精密度和准确度都很高，即精确度高；说明精密度高，但准确度不高；说明准确度高，但精密度不高；说明准确度和精密度都不高，即精确度差。10重复性 多次重复测量时，同是正行程或同是反行程，对应于同一输入量，其输出量亦不相同，这种差值称为重复性误差。 图23为某一传感器两次测量所得的静态特性。用全量程中最大的重复差值与满量程量程输出值之比的百分数来表示，作为重复性指标：max100%RmRy（27） 图23 重复性 11 在多次重复测量中，常常先算出多次测试的输出值之平均值来代表该输入量下的输出值，各次测

10、试在同一输入量作用下的输出值与平均值之差为重复误差，在全过程中取最大重复误差，按上式来计算重复性误差。 量程和测量范围 测量系统测量上限和测量下限的代数差称为量程。 测量范围是指测量系统所能测量最小输入量（下限）至最大输入量（上限）之间的范围。 测量范围可能是单向的，例如 01000m；可能是双向对称的，例如 ；也可能是双向不对称的，例如 。 10 信噪比 信号功率 与噪声（干扰）功率 之比称为信噪比，记为 ，并用分贝来表示（ ）sNrNSNRBd10lgsrNSNRN（28） 4010012有时用信号电压 和噪声电压 之比来表示信噪比，此时sVnV20lgsnVSNRV（29） 例如： 用某

11、仪器测量某信号的信噪比为65分贝，即：6520lgsnVV3.2510snVV此时表示信号的电压与干扰电压之比为 ，噪声电压还不到信号电压的千分之一。3.2510 动态范围 动态范围是指装置不受噪声影响而能获得不失真输出的测量上限值 和下限值 之比值。这样的动态范围DR（以 为单位）为： maxyminyBdmaxmin20lgyDRy（210） 13四、测试装置的特性 在测试当中，我们总是希望获得准确的测试结果，这就对测试装置提出了多方面的性能要求。这些性能大致上可分为两种：静态特性和动态特性。对于用于静态测量的测量装置，一般只需要利用静态特性指标来考察其质量。在动态测量中，不仅需要用静态特

12、性指标而且需要用动态特性指标来描述测试仪器的质量，因为两方面的特性都将影响测量结果。 尽管两方面的特性都影响测试结果，并且两者彼此也有某些联系，但是它们的分析和测试方法都有明显差异，因此为了简明、方便，在目前阶段上，通常仍然把它们分开处理。142.2 2.2 测试装置的静态特性测试装置的静态特性 在静态测量中，如果输入输出和输出都是基本不随时间变化的常量（或变化极慢，在所观察的时间间隔内可忽略其变化而视作常量），则式（21）中各微分项均为0，因而式（21）变为：00byxSxa（211） 也就是说，理想的定常线性系统，其输出将是输入的单调、线性比例函数，即斜率S应是常数。 然而，实际的测量装置

13、并非理想的定常线性系统，也就是其微分方程式的系数并非常数。在静态测量中，式（21）可写成： 2012nnySS xS xS x（212） 当 , 时，则式（212）表示的为理想的定常线性系统。00S 2330nSSSS15本节我们讨论一些重要的静态特性一、线性度线性度是测量装置输出、输入之间保持常值比例关系的程度。1.理论线性度 当参考直线选理论直线时，测量系统实际静态特性曲线与理论直线接近程度称为理论线性度。 对于线性静态特性的测量系统，要求输入量与输出量的关系是线性特性。但实际上，由于各种原因，其输入量与输出量的关系并不是线性特性的。因此，测量系统的实际静态特性曲线（或称校准曲线、标定曲线

14、）与某一参考直线的接近或偏离的程度称为线性度。 根据所参考直线的不同，有各种线性度： 理论直线不是测试得到的，而是根据要求规定的。通常是通过零点和满量程输出点的直线或者是通过两个指定端点的直线作为理论直线。16测量系统实际静态特性曲线与理论直线之间的最大偏差 与满量程输出量 （理论的）之比的百分数表示理论线性度，即：maxLmymax100%LmLy （213） 图24为理论线性度的表示方法。图2-4 理论线性度172.端基线性度 端基线性度又叫端点线性度。 以测量系统多次实测数据零点的平均值点和满量程输出的平均值点连成一条直线，当作参考直线，并用各测量列的平均值与该参考直线偏差的最大值 来计

15、算线性指标，这就是端基线性度。maxL端基直线方程为：000maxmyyyykxyxx（214） 式中： 零点平均值； 满量程输出平均值； k 直线斜率。 0ymy端基线性度指标为： max0100%LmLyy （215） 18端基直线的表示方法如图25所示。 图25 端基线性度3.独立线性度 由对回归直线求出的线性度称为独立线性度，这种方法考虑到测量数据的分布，并使实际静态特性曲线上各测试点相对回归直线两侧具有最小的、均匀分布的偏差。19 上面的端基线性度是以两个实际测出来的规定点的连线作为参考直线，而独立线性度则兼顾到其余测试点，用全部测试点的数据求得一参考直线（回归直线）。二、灵敏度、鉴

16、别力阈、分辨力灵敏度、鉴别力阈，都是用来描述测量装置对被测量变化的反应能力的。 灵敏度 是指测量系统在静态测量时，输出量的增量 与输入量的增量 之比，即：Syx0limxydySxdx （2-16） 显然，对于理想的定常线性系统，灵敏度 为：yxmySktgxm 常数S 亦即线性测量系统的灵敏度是常数。可由静态特性曲线（直线）的斜率来求得，如图26（a）所示。 20上式中 为 、 轴的比例尺。 为相应点切线与 轴之间的夹角。非线性测量系统其灵敏度是变化的。见图26（b）。yxmm、yxx图（26） 灵敏度 静态特性曲线的斜率越大，其灵敏度就越高（ 斜率K提高，S提高），就容易受外界干扰，测量范

17、围就越窄，稳定性往往愈差。21 对非线性测量系统来说，其灵敏度是变化的，由静态特性曲线上各点的斜率来决定。 灵敏度的量纲是输出量和输入量的量纲之比 例如，位移传感器在位移变化1mm时，输出电压变化有300mV，其灵敏度 ，量纲为 。300mVSmmmVmm 如果输入输出信号是同量纲量，则灵敏度常称为“放大倍数”或“放大比”。 鉴别力阈也称为灵敏阈、灵敏限、失灵区、死区、钝感区、阈值等。它是测量系统在量程零点（或起始点），能引起输出量发生变化的最小输入量，是衡量起始点不灵敏的程度。如图2-7所示的值。22图2-7 分辨力与鉴别力阈能引起输出量发生变化时 ，输入量的最小变化量称为测量系统的分辨力。

18、 例如：线绕电位器，电刷在一匝导线上滑动时，其输出电压不变，所以能引起输出电压发生变化的电刷最小位移就等于电位器导线的直径，电位器所用的导线直径越细，其分辨力就越高。23 通常测量系统在全量程范围内，各点的分辨力并不相同。常用全量程中最大的 （如图2-7），除以满量程值 的百分数表示分辨力，即：maxxmaxxmaxmax100%xx（2-17） 三、回程误差 回程误差也称为迟滞误差或滞后、变差。它是描述测试装置的输出同输入变化方向有关的特性。理想装置的输出、输入有完全单调的一一对应关系，不管输入是由小增大（正行程），还是由大减小（反行程）。对于一个给定的输入，输出总是相同的。但实际情况却并非

19、如此。测量系统的输入量当从最小值增加到某一值或最大值（正行程）再减小到最小值（反行程）时，对于同一输入量，输出量往往有差别，这种现象称为迟滞误差（回程误差、滞后、变差）。回程误差常用全量程中最大迟滞差值与满量程输出值之比的百分数表示，即%100maxmaxyHH%1002maxmaxyHHy或（2-18） 24 在多次重复测量时，应以正、反行程输出量平均值间的最大迟滞差值来计算。迟滞误差是由于弹性元件、磁性元件以及摩擦、间隙等原因所产生的。 图28 迟滞误差（回程误差）25四、稳定度和漂移 稳定度是指测量装置在规定条件下保持其测量特性恒定不变的能力。通常在不指明影响量时，稳定度是指装置不受时间

20、变化影响的能力。如果是对其它影响量来考察稳定度时，则需要特别说明。 当测量系统输入不变或环境温度不变时，输出量随时间的变化，称为漂移，或叫时漂。它主要是测量系统内测量环节的不稳定或内部温度变化所引起的。 在规定条件下，对一个恒定的输入在规定时间内的输出变化，称为点漂；标称范围最低值处的点漂，称为零点漂移，简称零漂。 外界环境温度变化引起输出量发生变化，称为温漂。温漂又分为零点温漂与灵敏度温漂。引起静态特性平移而斜率不变的温漂，称为零点温漂；而引起静态特性斜率变化的温漂称为灵敏度温漂。262.3 2.3 测试系统的动态特性及在典型输入下的响应测试系统的动态特性及在典型输入下的响应 当被测量（输入

21、量、激励）随时间变化时，测量系统的输出量（相应）亦随时间变化。但当被测量改变时，输出量却不能立即随之无失真地改变。因此测量系统总是存在着机械的、电器的和磁的等等惯性，所以输出量是不可能无失真地反映被测量的。这一测量过程亦为动态测量。 对动态测量用的测试装置必须对其动态特性有着清楚的了解。在输入变化时，人们所观察到的输入量不仅受研究对象动态特性的影响，也受到测试装置动态特性的影响。也就是说，受研究对象和测试装置综合系统的动态特性的影响。 测试系统的动态特性是指在动态测量中，输出量和随时间变化的输入量之间的关系。由上可见，动态特性是与系统结构物理参数有关。所以研究动态特性时，必须建立测量系统的数学

22、模型。 概述概述 对于线性时不变系统，其数学模型可用式（2-1）常系数线性微分方程来表示。即： 27 解式（2-1）就可以求出在某一输入量作用下，测试系统的动态特性。但是对于复杂的测量系统和复杂的被测量的被测信号，解式（2-1）就会比较困难，所以通常采用一些能反映测量系统动态特性的函数，把测量系统的输出和输入联系起来。这些函数就是传递函数H(s)、频率响应函数H()和脉冲响应函数h(t)。 一、传递函数一、传递函数 0( )( )stF sf t edt 11101110nnnnmmmmaytayta ytaytbxtbxtb xtb xt（21） 补充拉氏变换内容： 定义：设函数 f(t)

23、当 t 0时有意义，而且积分：dttftest)(0在S的某一域内收敛，则此积分所确定的函数可写为：（S是一个复变量）28记为：我们称上式为函数 f (t) 的拉普拉斯变换式（或简称拉氏变换式）( ) ( )F sL f t 设X(s)和Y(s)分别为输入x(t)、输出y(t)的拉氏变换，则对式（2-1）取拉氏变换得： 若F(s)是 f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为F(s)的拉氏逆变换（或称为象原函数），记为： 1( ) ( )f tLF s hY sH s X sGs asasasabsbsbsbnnnnmmmmsH01110111（219）其中s为复变量，saj；G(s)是与输

24、入和系统初始条件有关的；而H(s)却与系统初始条件及输入无关，只反映系统本身的特性。将H(s)称为系统的传递函数。 29 若系统的初始条件为零，即在考察时刻以前（t0），其输入量、输出量及其各阶导数均为零，则G(s) 0。因此便有： 需要注意的是，不能简单地将传递函数说成输出、输入两者拉普拉斯变换之比。因为，只有在系统初始条件为0时，上式才成立。以后若不加说明，我们就假设系统初始条件为0。 1. H(s)和输入及系统的初始状态无关，它只反映系统的特性。2. H(s)是通过把实际物理系统抽象成数学模型（式（2-1）后经拉氏变换后得到的。它只是反映系统的响应特性而和具体的物理结构无关。同一个传递函

25、数可以表征具有相同传输特性的不同物理系统，它们具有相似的传递特性。 sXsYsH 传递函数以代数式的形式表征了系统的传输、转换特性。其分母中 s 的幕次n代表了系统微分方程的阶数。如 n 为1或为2，就分别称为一阶系统或二阶系统的传递函数等等。传递函数有以下几个特点： （220）303. 对于实际的物理系统，输入 x(t)和输出 y(t)都具有各自的量纲。因而用传递函数描述系统传输、转换特性也应该真实地反映量纲的这种变换关系。这关系是通过系数an，an-1，a1 ，a0和bn，bn-1， b1 ， 一般测量装置总是稳定系统，其分母中的s的幂次总是高于分子中s的幂次，即nm。 二、二、频率响应函

26、数频率响应函数 传递函数是在复数域中来描述和考察系统的特性的，比在时域中用微分方程来描述考察系统特性有许多优点。但是工程中的许多系统极难建立微分方程和传递函数，且传递函数的物理概念也很难理解。 频率响应函数是在频率域中描述和考察系统特性的。与传递函数相比较，频率响应的物理概念明确，也易通过实验来建立；利用它和传递函数的关系，由它极易求出传递函数。因此，频率响应函数是实验研究系统的主要工具。 b0 来反映的。这些系数的量纲将因具体物理系统和输入、输出的量纲而有不同。 4. H(s)中的分母取决于系统的结构。而分子则和输入点的位置、所测的变量以及测点的布置情况有关。31 根据线性时不变系统的频率保

27、持性，系统在简谐信号 x(t)=X0sint 的激励下，所产生的稳态输出也是与输入同频率的简谐信号。但是输出的幅值和相位角通常不等于输入信号的幅值和相位角，y(t)=Y0sin(t )。其幅值比A=Y0/X0随而变化，是的函数。相位差 也是频率的函数。 （一）（一） 幅频特性、相频特性和频率响应函数幅频特性、相频特性和频率响应函数()( )( )jHAe 因此，线性时不变系统在简谐信号的激励下，其稳定输出信号和输入信号的幅值比被定义为该系统的幅频特性，记为A() ；稳态输出对输入的相位差被定义为该系统地相频特性，记为 ()。两者统称为系统的频率特性。因此系统的频率特性是指系统在简谐信号激励下其

28、稳态输出对输入的幅值比、相位差随激励频率变化的特性。 对于任何一个复数Zaj b，也可表示为 ，其中模 ，相角 。它表示可以将某个比值（模）和相位角两个量组合成一个复数，现在用A() 、 构成一个复数，则： jZZ e22Zab( / )arctg b a( ) 32 即H()是以为A()模， ()以为幅角的复数。显然， H()表示了系统的频率特性，通常也将H()称为系统的频率响应函数，它是激励频率的函数。 ( )( )( )YHX 1、对于传递函数H(s)已知的情况下，只要令H(s)中 sj，便可以求得频率响应函数H() 。例如，对于式（2-19），可令 sj，便可求得该系统的频率响应函数H

29、() ，即：（二）（二） 频率响应函数的求法频率响应函数的求法 有时频率响应函数记为H( j)，就是以此强调它来源于H(s)|s j 。另一方面，若研究在 t0时刻，将激励信号接入稳定线性不变系统时，令 sj，代人拉普拉斯变换中，实际上就是将拉普拉斯变换变成傅立叶变换。同时考虑系统在初始条件均为零时，有 H(s)为 Y(s)和 X(s)之比的关系，因而系统的频率响应函数H()就成为输出y(t)的傅氏变换Y()和输入x(t)的傅氏变换X()之比,即： 11101110()()()()()()mmmmnnnnjHjjjbbbbjjaaaa（221）33 2、用频率响应函数来描述系统的最大优点是可以

30、通过实验来求得的频率响应函数的原理，比较简单明了。可依次用不同频率i的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值X0i 、 Y0i和相位差 。这样对于某个i ，便有一组 和 ，全部的 和 ， 便可表达系统的频率响应函数H。0i00iiiYAXiiiAii1 2 3i ， 3、也可在初始条件全为0的情况下，同时测得输入 x(t)和输出 y(t)，由其傅立叶变换X()和Y() 求得频率响应函数H() Y() /X() 。 需特别指出，频率响应函数是描述系统的简谐输入和其稳定输出的关系。因此在测量系统频率响应函数时，应当在系统响应达到稳态阶段时才测量。 尽管频率响应函数是对简谐信号而

31、言，但前面我们已经说明了任何信号都可分解成简谐信号的叠加。因而在任何复杂信号输入下，系统频率特性也是适用的。 （三）（三） 幅、相频率特性及其图像描述幅、相频率特性及其图像描述 将 和 分别作图，即得幅频率特性曲线和相频率特性曲线。 ( )A( ) 34 实际作图时，常对自变量或 f/2 取对数标尺,幅值比A()的坐标取分贝（dB）数标尺，相角取实数标尺，由此所作的曲线分别称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线，总称为伯德图（Bode图） 如果将H()的实部和虚部分开，记作 则P() 和Q()都是的实函数。显然， 。 据此画出的P()曲线和Q()曲线分别为该系统的实频特性曲线和虚频特性曲线。

32、如果将H()的实部P()和虚部Q()分别作为横、纵坐标，画出Q()P()曲线并在曲线上注明相应的频率，则所得的图像称为奈魁斯特（Nyquist）图。 jQPH 22APQ1( )( )( )QtgP 三、三、脉冲响应函数脉冲响应函数 若输入为单位脉冲，即 ，则其拉氏变换X(s) ( )( )x tt 10otststeedtttLssX（利用采样性质）35根据h(t) 常称为系统的脉冲响应函数或权函数。脉冲响应函数可作为系统特性的时域描述。 至此，系统特性在时域可用脉冲响应函数h(t)来描述，在频域可用频域响应函数H()来描述，在复数域可用传递函数H(s)来描述。三者的关系是一一对应的。 h(

33、t)和传递函数H(s)是一对拉氏变换对； h(t)和频率响应函数H()又是一对傅里叶变换对。 11( )ytL Y sLH sh t四、四、环节的串联和并联环节的串联和并联 两个传递函数各为H1(s)和H2(s)的环节，其串联后图2-9（它们之间没有能量交换）所组成的系统的传递函数H(s)为（初始条件为零）： ( )( )Y sH sX s有 ( )( )Y sH s X sH s其时域描述可通过对 Y(s)的拉氏逆变换得到： 12Y sZ sY sH sssX sX sZ sHH（222）36 类似地，对n个环节串联组成的系统，有： 若两个环节并联（图2-10），则因Y(s)Y1(s) Y2

34、(s) 121212ssY sH sssX sssYYHHXX图29 两个环节的串联（224）图210 两个环节的并联 1niiH sHs（223）故： 由n个环节并联组成的系统，类似地有： 1niiH ssH（225）37 令 sj，代入式（2-23）和式（2-25），便得到n个环节串联和并联系统频率响应函数为： 1niiHH（226）串联其幅频、相频特性分别为： 11niiniiAA （227） 1niiHH（228）并联 式（2-19）式中的分母分解为s的一次和二次实系数因子式，即： 11101110mmmmnnnnH sb sb sbs ba sa sas a是代数式，可以将/2212

35、011112rn rnnninnniiiissnipaa sa sasas 38因此，式（2-19）H(s)=可改写为： ()/222112n rriiiiiniiisH sssniqps（229） 上式表明：任何一个系统总可以看成若干个一阶、二阶系统的并联。所以研究一阶和二阶系统的动态传输特性具有重要意义。 五、一阶、二阶系统的特性五、一阶、二阶系统的特性（一）一阶系统（一）一阶系统 一阶系统的输入、输出关系可用一阶微分方程来描述。 100y ty tx taab令 ， 。 为时间常数，S为系统灵敏度。则上式改写为：10/aa00/sba x ty ty tS39对于具体系统而言，S 是一个

36、常数，在考察系统动态特性时，为分析方便起见，可令S1，并以这种归一化系统作为研究对象，即： y ty tx t（230） 根据（2-1）式和（2-19）式，可得起传递函数： 11H ss 其频率响应函数为： 其幅频、相频特性为：（231） 2211111Hjj（232） 2111Atg 负号表示输出信号滞后于输入信号。40一阶系统的伯德图和奈魁斯特图见图2-11。以无量纲系数为横坐标绘制的幅、相频特性曲线见图2-12。图2-11 一阶系统的伯德图a)对数幅频曲线 b)对数相频曲线图2-12 一阶系统的奈魁斯特图 一阶装置的脉冲响应函数为： /1th te41 1）当激励频率远小于时 （约 ），

37、其A()值接近于1,（误差不超过2%），输出、输入幅值几乎相等。当 时，即 时， , 在一阶系统特性中，有几点特别有用。 115(2 3)1 1Hj 输出和输入的积分成正比，系统相当于一个积分器，其中几乎与激励频率成反比，相位滞后近90。一阶测量装置适用于测量缓变或低频的被测量。 01ty tx t dt 2）时间常数 是反映一阶系统特性的重要参数。在 处， A()为0.707（3dB），相位滞后45。时间常数 实际上决定了该装置适用的频率范围。1 3）一阶系统的伯德图可以用一条折线来近似描述。这条折线在 段为A()=1的水平线，在 段内为一（20dB/10倍频）或（6dB/倍频）斜率的直与之

38、相应的微分方程式为：11线。 点称转折频率，在该点折线偏离实际曲线的误差最大（-3dB）。1其中， “20dB/10倍频”是指频率每增加10倍， A()下降20dB。如图2-11中，在 之间，斜直线通过纵坐标相差20dB的两点。(1/ ) (10/ )42（二）二阶系统（二）二阶系统 在笔式记录仪和光线示波器的动圈式振子中，固定的永久磁铁所形成的磁场和通电线圈所形成的磁场相互作用所产生的电磁转矩使线圈产生偏转运动，这个系统的运动可用二阶微分方程式来描述。下面我们就以此系统（参考图2-13 c)）来讨论二阶系统的基本特性。 图2-13 二阶系统实例（a）机械系统；（b）LRC电路；（c）动圈式电

39、表 该系统的运动方程为： JttGtki t43 其中，对于具体系统而言，S 是一个常数。令S1，便可得到归一化的二阶微分方程式，可作为研究二阶系统特性的标准式。 其根据式（2-1）和（2-19），并令S1， 可求得二阶系统传递函数为： 22222222nnnnnnSH sssss（233）相应的频率响应函数、幅频特性和相频特性分别为： 22221()2()1/2/nnnnnHjjj 2 222211 (/) 4(/)2 (/)1 (/)nnnnAarctg （234）（235）44/n /n 二阶系统的幅频特性曲线二阶系统的相频特性曲线45相应的伯德图和奈魁斯特图见图2-14和图2-15所示

40、。 图2-15 二阶系统的奈魁斯特图图2-14 二阶系统的伯德图46二阶系统的特点大致如下:1)当 时, ；当 时, 。nn( )1H( )0H 2)影响二阶系统动态特性的参数是固有频率和阻尼比。然而在通常使用的频率范围内，又以固有频率的影响最为重要。所以二阶系统固有频率 的选择应以其工作频率范围为依据，在 附近，系统幅频特性受阻尼比影响极大。且当 时，系统将发生共振。故此，作为实用装置，极少选用这种频率关系，应避开这种情况。但这种关系在测定系统本身的参数时，却是很重要的。此时， ， ，且不因阻尼比的不同而改变。 nnn 12A 90 3)二阶系统的伯德图可用折线来近似。在 段， 可用0dB水

41、平线近似。在 段， 可用斜率为-40dB/10倍频或12dB/倍频的直线来近似。在 区间，因共振现象，近似折线偏离实际曲线较大。0.5n( )A2n( )A(0.5 2)n47 5)二阶系统是一个振荡环节。从测试工作的角度来看，总是希望测试装置在宽广的频率范围内由频率特性不理想所引起的误差尽可能小。为此，要选择恰当的固有频率和阻尼比的组合，以便获得较小的误差和较宽的工作频率范围。一般取 , 4)在 段， 甚小，且和频率近似成正比增加。在 段， 趋近于180，即输出和输入几乎反相。在 靠近 区间， 随频率的变化而剧烈变化，而且 越小，这种变化越剧烈。 n( ) n( ) n( ) (0.6 0.

42、8)n(0.65 0.7)482.4 2.4 测试装置对任意输入的响应测试装置对任意输入的响应 对于任意输入激励函数 x(t) 可看作是无限多个脉冲函数之和组成。x(t)与的乘积可看作是可输入脉冲信号强度，在 t 时刻观察到该脉冲对系统输出的影响量（贡献量）为 。则系统的输出为： 上式表明，从时域看，系统的输出就是输入与系统的脉冲响应函数的卷积。它也是系统输入输出关系的最基本表达时，其形式简明、含义明确。但卷积计算比较麻烦，可利用 h(t) 同H(s) 、 H()的关系，以及拉氏变换、傅氏变换的卷积定理，将卷积运算变换成复数域、频域的乘法运算，从而大大简化计算工作。 一、系统对任意输入的响应一

43、、系统对任意输入的响应 ( ) ( ) ()xh t 0ty tx th t对取极限，则 0 *ty txh tdtx th t（236）49 一阶、二阶系统在单位阶跃输入 的作用下，其响应分别为： 二、系统对单位阶跃输入的响应二、系统对单位阶跃输入的响应 /1ty te （237） 0 t01 t0 x t单位阶跃输入一阶系统先求1( )X sS然后11( )( )( )1Y sH s X ssS最后1/( ) ( )1ty tL Y se 222221sin 1111 ntddney ttarctg ，（238）二阶系统50一阶系统的单位阶跃输入二阶系统的单位阶跃输入51根据阻尼比 取值范

44、围的不同，有如下三种情况：（239a） 1 (1)ntny tt e 当 时，为欠阻尼情况 122( )1sin( 1)1ntney tt 当 时，为临界阻尼情况 12222(1)(1)2211( )12121nntty tee 当 时，为过阻尼情况 1（239b）（239c）特殊情况，当 时，为无阻尼情况 0（239d）( )1 cosny tt 由于单位阶跃函数可以看作是单位脉冲函数的积分。因此单位阶跃输入下的输出就是系统脉冲响应的积分。对系统的突然加载或突然卸载即属于阶跃输入。这种输入方式因为简单易行，又能充分测试装置的动态特性，故常被采用。 52 理论上看，一阶系统在单位阶跃激励下的稳

45、态输出误差为0。系统的初始上升斜率为1/。在 t时，y(t)0.632；t4时，y(t)0.982（误差小于2%）； t5时，y(t)0.993。理论上系统的响应当 t 趋于时达到稳态。所以，一阶装置的时间常数越小越好。入稳态值相差（25）的范围内。这也是很多测试装置的阻尼比取在此区间的理由之一。 二阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差也为0。但是系统的影响在很大程度上决定于阻尼比 和固有频率 。系统固有频率由系统的主要结构参数所决定。 越高，系统的响应越快。阻尼比 直接影响超调量（指响应超出稳态值的最大偏离量与稳态值之比）和振荡次数。 0 时超调量最大，为100%，且持续不息地振荡着，达不到

46、稳态。 1，则系统转化到等同于两个一阶环节的串联。此时虽然不发生振荡（即不发生超调），但也需经过很长的时间才能达到稳态。如果阻尼比 选在0.60.8之间，则系统以较短时间（大约（57）/ ），进nnn532.5 2.5 实现不失真测试的条件实现不失真测试的条件 设有一个测试装置，其输入 x(t) 和输出 y(t) 满足下列关系： 若考虑初始条件为零，则有： 00()y tA x tt式中 、 均为常数。（240）0A0t 上式表明此装置输出的波形和输入的波形精确地一致，只是幅值放大了 倍和在时间上延迟了 而已，这种情况，被认为测试装置实现了不失真测试。 0A0t 现在根据式（2-40）来考察能

47、实现测试不失真的测试装置的频率特性。对该式作傅氏变换,则结果为： 00( )jtYA eX（利用了傅氏变换的位移性质）0( )0( )( )( )( )jtjYHA eAeX （241）54 由上式（2-41）可见，若要输入波形精确地与输入波形一致而没有失真，则其幅频特性和相频特性应分别满足： 需要指出的是，即使满足了上面两式的条件，装置的输出仍滞后于输入一定的时间。如果只是希望精确的测出输入波形，则上述条件可以完全满足；但如果用输出信号作为反馈控制的信号，则上述条件不充分，因为输出对输入的时间滞后有可能破坏系统的稳定性。此时， 是最理想的。 由 不等于常数所引起的失真称为幅值失真； 与 之间的非线性关系所引起的失真称为相位失真。 0( )0( )( )( )( )jtjYHA eAeX （241） 0AA常数（242） 0t （243）（线性）( )A( ) ( )0 55 实际测量装置不可能在非常宽广的频率范围内都满足式（2-42）和式（2-43）的要求，所以一般既有幅值失真，也有相位失真。信号中不同频率成分通过测试装置后的输出 右图表示4个不同频率的信号通过一个具有图中 和 特性的装置后的输出信号。4个输入信号都是正弦信号（包括