测试技术_第一章new

1、第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱第四节第四节 随机信号随机信号第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱信号是信息的载体，是测试系统拾取、传递、处理、分析的“操作对象”，抽取各种物理信号的共有特性：幅值、频率等进行研究是本章的内容第一节 信号的分类与描述一、信号的分类 1.确定性信号与随机信号信信号号确定性信号确定性信号随机信号随机信号周期信号周期信号非周期信号非周期信号准周期信号准周期信号瞬变信号瞬变信号第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述v随机信号随机信号不能准确地预测其未来值，也无法用数学关系式

2、来描述的信号。但其值的变动服从某些统计规律。可以用统计方法预测未来值。如：幅值的均值、分散范围等。测试技术中常用的随机信号有白噪声信号、伪随机信号测试技术中常用的随机信号有白噪声信号、伪随机信号第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述随随机机信信号号非非平稳信号平稳信号：统计特征参数随时间而变化的随机信号。统计特征参数随时间而变化的随机信号。平稳信号平稳信号：概率密概率密度函数不随时间而变度函数不随时间而变化的随机信号为化的随机信号为严平严平稳信号稳信号，两阶及以下，两阶及以下阶次矩不随时间而阶次矩不随时间而变变化的随机信号为化的随机信号为宽平宽平稳信号稳信号。各态历经信号各态历经信号：

3、任一单个样任一单个样本函数的时间平均统计特征等本函数的时间平均统计特征等于该过程集合平均统计特征。于该过程集合平均统计特征。非各态历经信号非各态历经信号：某一单个某一单个样本函数的时间平均统计特征样本函数的时间平均统计特征不等于该过程集合平均统计特不等于该过程集合平均统计特征。征。第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述确定性信号确定性信号可以用明确的数学关系来描述的信号（可确定任何时刻的信号值）ttxsin)(1tetx)(2)sin()(03teXtxt 0 0 tx（t）第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述非周期信号周期信号周期信号：按一定的时间间隔周而复始重复出现，无按

4、一定的时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号，可表达为始无终的信号，可表达为)2, 1, 0()()(0 nnTtxtx ;T0为周期为周期确确定定性性信信号号准周期信号：由有限个周期信号合成，由有限个周期信号合成，但各周期分量之间无法找到公共周期。但各周期分量之间无法找到公共周期。瞬态（瞬变）信号：在一定时间区在一定时间区域内存在，或随着时间的增长而衰减至域内存在，或随着时间的增长而衰减至零。零。第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述单单自自由由度度振振动动系系统统作作无无阻阻尼尼自自由由振振动动时时 , ,其其位位移移 x x( (t t) ) 瞬瞬时时位位置置00sin)(tm

5、kxtx式式 中中 x、 0一一 一一 取取 决决 于于 初初 始始条条 件件 的的 常常 数数 ; ; m m 一一 一一 质质 量量 ; ; k k 一一 一一 弹弹 簧簧 刚刚 度度 ; ; t t 一一 一一 时时 刻刻 。mkTmkT0002/2，圆频率周期 常见的周期信号中最为典型的是常见的周期信号中最为典型的是谐波信号谐波信号，如，如:第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 谐波信号就是我们常见的正余弦信号。余弦信号谐波信号就是我们常见的正余弦信号。余弦信号由于仅是在相位上与正弦信号相差由于仅是在相位上与正弦信号相差9090，因此常将正，因此常将正余弦信号统一称为余弦信号

6、统一称为正弦信号正弦信号或或正弦波正弦波。第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 周期方波周期方波 周期三角波周期三角波 周期锯齿波周期锯齿波 正弦波整流正弦波整流x(t)t0AT0/2 T0 x(t)t0AT0/2T0 x(t)t0AT02T0 x(t)t0AT0/2 T0除了谐波信号外，常见的周期信号有：除了谐波信号外，常见的周期信号有：第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 X(t)tT2T1复杂周期信号：复杂周期信号：由有限个周期信号合成，其各周期分由有限个周期信号合成，其各周期分量之间可找到公共周期。量之间可找到公共周期。例如，由两个周期信号合成X（t）sin2tsi

7、n3t两分量的特征参数Hz)(1211fHz)(23222f频率频率：)(2/ 1T111sf)(322/ 1T222sf周期：周期：)/(21srad)/( 32srad角频率：角频率：第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述结论：结论：两个或多个频率成简单两个或多个频率成简单整数比整数比的简谐信号，能够合成的简谐信号，能够合成一个一个周期信号周期信号其周期其周期T0T0为诸分量周期为诸分量周期T Ti i 的最小公倍数。的最小公倍数。t x（t）T2T1T0)(232T210sTT合成后的周期：合成后的信号：复杂周期信号合成后的信号：复杂周期信号第一节第一节 信号的分类与描述信号的分

8、类与描述周期单位正弦序列周期单位正弦序列周期锯齿序列周期锯齿序列周期单位脉冲序列（梳状函数）周期单位脉冲序列（梳状函数）周期序列：周期序列：第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述准周期信号：由两种以上的周期信号合成的，但其组成分量的频率比不是有理数，故无法找到公共周期，因而无法按一定的时间间隔重复出现。例如 tttx7sin2sin)(准周期信号的形成准周期信号的形成：当几个无关联的周：当几个无关联的周期信号混合作用时，常形成准周期信号期信号混合作用时，常形成准周期信号 tx(t)T1T2第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述与周期信号比较 T2T1T0tx（t）knnntnA

9、tx10)sin()(共同特点：分量是简谐信号tttx7sin2sin)( tx(t)T1T2准周期信号的处理：准周期信号的处理：一般按周期信号处理一般按周期信号处理第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述q（非周期）瞬变信号：是一些短时间作用，或随时间增长而衰减至零的信号。AAt1 t2v典型的瞬变信号典型的瞬变信号阶跃信号（开关量）阶跃信号（开关量）矩形脉冲信号矩形脉冲信号000)(ttAtx2121,0)(tttttttAtxt0单位脉冲信号单位脉冲信号0000)(tttttt1)(0dttt第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述单边指数衰减信号单边指数衰减信号指数衰减振荡

10、信号指数衰减振荡信号 0 000)(ttAetxt000sin)(tttAetxt tx（t）第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 矩形窗函数矩形窗函数 余弦波截断函数余弦波截断函数W(t)t0A-T0/2T0/2x(t)t01-TT-1 三角窗函数三角窗函数x(t)t0A-T0/2T0/2第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述从其它的视角信号还可分为：连续信号和离散信号能量信号和功率信号第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述2.连续信号和离散信号连续信号和离散信号以独立变量（时间变量t）的取值是否连续来划分连续连续信号信号幅值连续模拟信号幅值连续模拟信号 幅值不连续

11、阶跃信号、脉冲信号等幅值不连续阶跃信号、脉冲信号等 离散离散信号信号幅值连续采样信号幅值连续采样信号 幅值不连续数字信号幅值不连续数字信号 第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述3.能量信号和功率信号能量信号和功率信号（1 1）若信号总能量为有）若信号总能量为有限值限值 dttxE2称为能量有限信号，简称称为能量有限信号，简称能量信号能量信号当时间间隔趋于无穷大当时间间隔趋于无穷大 0 瞬变非周期信号一般为能量信号瞬变非周期信号一般为能量信号 dttxttttPtt21)(1),(21221瞬时功率瞬时功率信号能量信号能量平均功率平均功率第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述（

12、2）信号总能量为无穷大，而信号平均功率为大于零的有限值，称为功率有限信号，简称功率信号简谐信号的功率与其幅值平方成正比。瞬变非周期信号为能量信号周期信号为常见的功率信号。在测试中，需要针对不同类型的信号采用不同的采集、分析、处理方式。 0 dttxE2dttxTPTTT2/2/2| )(|1lim2| )sin(|1202AdttATPT第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述二、信号的描述二、信号的描述 信号的信号的时域描述时域描述：以时间以时间 t 为独立变量，反映为独立变量，反映信号幅值随时间变化的关系。信号幅值随时间变化的关系。l优点：优点：形象、直观形象、直观 l缺点：缺点：不

13、能明显揭示信号的内在结构（频率组成及不能明显揭示信号的内在结构（频率组成及各种频率成分的幅值大小和相位大小）各种频率成分的幅值大小和相位大小）l 描述方法描述方法：时间为横坐标的幅值变化图时间为横坐标的幅值变化图, ,即波形图即波形图 0220)()()(000tTATtAtxnTtxtx0tx(t)20T20T 0T 0TA-A第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 信号的频域描述信号的频域描述：以频率以频率f 为独立变量，反映信号为独立变量，反映信号频率结构和各频率成分的幅值、相位关系。频率结构和各频率成分的幅值、相位关系。l 频域描述的理由：频域描述的理由： 频率频率f 是一个善

14、于表征物质特性的特征参数；是一个善于表征物质特性的特征参数； 波在物质中的传播特性同其频率密切相关；波在物质中的传播特性同其频率密切相关； 采用频域描述的表达式更为简洁；采用频域描述的表达式更为简洁； Fourier变换是求解微分变换是求解微分/偏微分方程强大的工具。偏微分方程强大的工具。第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述l 描述方法：描述方法：以频谱（把各频率成分按频率大小进以频谱（把各频率成分按频率大小进行行 的排列）进行描述，表示为频谱图，即以频率的排列）进行描述，表示为频谱图，即以频率为横坐标的幅值、相位变化图。分为为横坐标的幅值、相位变化图。分为 幅值谱：幅值幅值谱：幅值

15、频率图，简称为幅频图；频率图，简称为幅频图； 相位谱：相位相位谱：相位频率图频率图 ，简称为相频图。，简称为相频图。频谱分析：频谱分析：把信号的时间描述通过适当的方法变成把信号的时间描述通过适当的方法变成信号的频域描述。信号的频域描述。第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述l优点：优点：频域描述揭示了信号内在的频率组成及其幅值频域描述揭示了信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。相位谱相位谱0 03 05 0 ( ) /24A 4A 3 4A 5 0 A( ) 03 05 0幅值谱幅值谱 nAAn4 0n 可表示为：0010

16、102sin14sin4)(TtnnAtnnAtxnn，（n=1,3,5,)如：将周期方波的时域数学表达式应用傅里叶级数展开，可得信号时域与频域描述的关系信号时域与频域描述的关系 l 时域描述与频域描述是等价的，可以相互转时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换，两者蕴涵的信息完全相同；换，两者蕴涵的信息完全相同； l 时域描述与频域描述各有用武之地，不能单时域描述与频域描述各有用武之地，不能单纯地说哪一个更好；纯地说哪一个更好；l 将信号从时域转换到频域称为频谱分析，属将信号从时域转换到频域称为频谱分析，属于信号的变换域分析；于信号的变换域分析； l 采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱和

17、采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱和相位谱。相位谱。第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 周期信号展开为傅里叶级数的条件，即周期信号展开为傅里叶级数的条件，即狄里赫利狄里赫利（Dirichlet）条件：）条件： 在一个周期内，间断点数目有限；在一个周期内，间断点数目有限； 在一个周期内，极大值和极小值数目有限；在一个周期内，极大值和极小值数目有限； 在一个周期内，绝对可积在一个周期内，绝对可积, , 即即 。 00( )tTtx t dt周期信号的分解周期信号的分解第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的在有限的区间上，凡满足狄里赫

18、利条件的周期函数（信号）可以展开成傅立叶级数。周期函数（信号）可以展开成傅立叶级数。 一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式0001( )(cossin)nnnx taantbnt周期周期 0TtdtntxTaTTn02/2/0cos)(200 余弦分量的幅值余弦分量的幅值tdtntxTbTTn02/2/0sin)(200 正弦分量的幅值正弦分量的幅值00/20/201( )TTax t dtT式中：式中：常值分量常值分量3 , 2 , 1 n 为n次谐波00,cosnnnnA Sin ntAnt22,nnnnnnaAabarctgb0圆频率，为基频圆频率，为基频 000

19、1( )(cossin)nnnx taantbnt000010()cosnnnnnaA Sin ntaAntnnnbarctga或或 为n次谐波00,cosnnnnA Sin ntAnt 为n次谐波00,cosnnnnA Sin ntAnttdtntxTaTTn02/2/0cos)(200 00/20/201( )TTax t dtTtdtntxTbTTn02/2/0sin)(200 tdtntxTaTTn02/2/0cos)(200 00/20/201( )TTax t dtT 上述推导过程中主要利用了三角基的正交性，即上述推导过程中主要利用了三角基的正交性，即002002()()0, )T

20、TCos nt Sin mt dtm n（任意000()22000()2()()TTmnTmnCos nt Cos mt dt000()22000()2()()TTmnTmnSin nt Sin mt dt 之间的关系为幅频谱,以 为横坐标，0nAnnA0n为纵坐标的图示，称为幅频图 之间的关系为相频谱,以 为横坐标，为纵坐标的图示，称为相频图0nn0nn单击此处添加标题单击此处编辑母版文本样式例：求右图周期性三角波的傅立叶级数解：在x(t)的一个周期中可表示为X(t)t常值分量常值分量 00002,022,02TAAttTx tTAAttT 00022000002122( )2TTTAax

21、t dtAt dtTTTA余弦分量的幅值余弦分量的幅值正弦分量的幅值正弦分量的幅值 0022000000222222242coscos4,1,3,5.4sin20,2,4,6.TTTnAax tntdtAtntdtTTTAnAnnnn 0020022sin0TTnbx tntdtT第第n次谐波的幅值次谐波的幅值和初相角和初相角22224,1,3,5.,00,2,4,6.nnnnnnAnbAabarctgnan 5 , 3 , 1cos1425cos513cos31cos420122020202ntnnAAtttAAtxn结果：结果：02Aa 224,1,3,5.0,2,4,6.nAnann0n

22、b 224,1,3,5.,00,2,4,6.nnAnAnn0001( )(cossin)nnnx taantbnt001()nnnaA Sin nt周期性三角波频谱图周期性三角波频谱图 周期性三角波频谱，其周期性三角波频谱，其幅频谱只包含常值分量、幅频谱只包含常值分量、基波、和奇次谐波的频率基波、和奇次谐波的频率 分量，谐波的幅值以的规分量，谐波的幅值以的规律收敛。在其相频谱中基律收敛。在其相频谱中基波和各次谐波的初相位为波和各次谐波的初相位为均为零。均为零。二、傅里叶级数的复指数函数展开式二、傅里叶级数的复指数函数展开式利用欧拉公式利用欧拉公式)(2sin)(21cos000000tjntj

23、ntjntjneejtneetn tnjtnetjn00sincos0 可推导出如下两式：可推导出如下两式：0001( )(cossin)nnnx taantbnt代入代入，可得，可得000111( )()()22jntjntnnnnnx taajb eajb e00Ca)(21nnnjbaC )(21nnnjbaC 00000011001( )()jntjntnnnjtjntjntnnnnx tCC eC eC eC eC e设，和，有进一步可得：tjnnneCtx0)( 利用复指数基的正交性，即00000()20()2TTmnjnjmTmndtee)(21nnnjbaC )(21nnnjb

24、aC 00Ca)(21nnnjbaC )(21nnnjbaC 求得：0002021( )TjntTnCx tdtTenRnICjCnjnC e22nnRnICCCnInnRCarctgC12nnCA式中、，并有。tdtntxTbTTn02/2/0sin)(200 tdtntxTaTTn02/2/0cos)(200 00/20/201( )TTax t dtT00Ca)(21nnnjbaC )(21nnnjbaC 利用欧拉公式0(,)nRCnn 之间的关系实频谱0(,)nICnn 之间的关系虚频谱0(,)nCnn 之间的关系双边幅频谱0(,)nnn 之间的关系双边相频谱00,)nAnn 之间的关

25、系单边幅频谱00,)nnn 之间的关系单边相频谱因此，存在以下各种关系：总结总结：0(,)n 0(0,)n001,2nnCACa 主要原因角速度按其旋转方向可以为正或负，一个向量的实部可以看成为两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影之和，而虚部则为虚轴上投影之差。第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱关于负频率的说明关于负频率的说明图图1-81-8例：画出余弦、正弦函数频谱图。例：画出余弦、正弦函数频谱图。 解：由欧拉公式将正弦函数写为解：由欧拉公式将正弦函数写为)(2sin000tjtjeejt 211jcn 211jcn 外的其它值外的其它值10 ncn)0011tjtjecec

26、 2121 21211)(21cos000tjtjeet 2111 cn2111 cn外的其它值外的其它值10 ncn由欧拉公式将余弦函数写为由欧拉公式将余弦函数写为 0 0 21210 0 0 1 0 2121 周期信号的频谱是离散谱（离散性）；周期信号的频谱是离散谱（离散性）； 每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波波频率是诸分量频率的公约数（谐波性）。频率是诸分量频率的公约数（谐波性）。 各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。工程中常见的周期信号，其谐波幅值的相位角。工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总

27、趋势是随谐波次数的增高而减少的。因此，在总趋势是随谐波次数的增高而减少的。因此，在频谱分析中没必要取次数过高的谐波分量。频谱分析中没必要取次数过高的谐波分量。周期信号频谱的特点如下：周期信号频谱的特点如下：三、三、周期信号的强度表述周期信号的强度表述max( )pxx t最大瞬时值：( )( )ppxx tx t最大值最小值峰峰值：0001( )Txux t dtT平均值：0001( )Txux t dtT绝对均值：02001( )Trmsxx t dtT有效值：02001( )Tavpx t dtT平均功率：周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和平均功率来表述。第二节第二节 周期信号与离散

28、频谱周期信号与离散频谱三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述44非周期信号 准周期信号 信号中各简谐成分 的频率比为无理数 具有离散频谱 瞬变信号 在一定时间区间内 存在或随时间的增 长衰减至零x(t)0t准周期信号x(t)=Asin9t+ Asinsqrt(31)tx(t)0t瞬变信号Ix(t)=exp(-t)*sin t0tx(t)瞬变信号II第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱准周期信号的准周期信号的处理：处理：一般按一般按周期信号处理周期信号处理第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号如图1-1

29、1所示。图1-11a为矩形脉冲信号，图1-11b为指数衰减信号，图1-11c为衰减振荡，图1-11d为单一脉冲。图图1-111-11一、傅里叶变换一、傅里叶变换46非周期非周期【准周期、瞬变准周期、瞬变】信号可以看成是周期的周期信号。信号可以看成是周期的周期信号。0TdedtetxedtetxdedtetxTeCtxtjtjtjtjtjnntjnTTTtjnnnTT)(21)(2)(1limlim)(lim000000002/2/0 02000TT【对于对于】傅里叶变换傅里叶变换当：当：0( )(0 ,1 ,2 ,)j ntnnx tc en 0002021TjntTnCxted tT做代换做

30、代换02T累加变成积分累加变成积分函数傅里叶级数的复指数展开式0T0d0n第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱47dedtetxtxtjtj)(21)(tdetxXtj)()(傅里叶变换（傅里叶变换（FT）deXtxtj)(21)(傅里叶逆变换傅里叶逆变换 （IFT）得到：得到：傅立叶积分式傅立叶积分式)(X)()()()(1txFXXFtx记为：记为：)(X)(txTFTFI48dtetxXtj)()(dtetxfXftj2)()(dfefXtxftj2)()(f2)()()(Im)(Re)(fjefXfXjfXfX22)(Im)(Re)(fXfXfX)(Re)(I

31、marctan)(fXfXf【以频率以频率 表达表达】f用实频谱、虚频谱形式和幅值谱、相位谱形式表示用实频谱、虚频谱形式和幅值谱、相位谱形式表示49)( fXnCnC)( fXnC)(fX周期信号的幅值谱周期信号的幅值谱 与与瞬变信号的幅值谱瞬变信号的幅值谱 的的区别区别nC)( fX502/2/2/20()( )cos(2)sin(2)2cos(2)sin()sinc()jf tRRTTTWfwt edtftjftdtft dtfTTfTTfT例求矩形窗函数的频谱例求矩形窗函数的频谱【森克函数森克函数】2021)(TtTttw傅里叶变换（傅里叶变换（FT）【后一项积分等于零后一项积分等于零】

32、【试凑试凑】51xxxsincsin2xxcsin),2, 1( nn定义森克函数：定义森克函数：52|nC| )(|X非周期信号频谱的特点非周期信号频谱的特点频谱连续，幅值衰减频谱连续，幅值衰减 与量纲不同与量纲不同| )(|X|nC矩形窗函数及其频谱53dtetxfXftj2)()()(j)()2sin()(j)2cos()(fXfXtdtftxtdtftxIR奇偶虚实性奇偶虚实性根据根据时域函数的奇偶性时域函数的奇偶性，容易容易判断其实频谱和虚频谱的奇偶性判断其实频谱和虚频谱的奇偶性。x(tx(t) )实偶函数实偶函数 X X（f f）实偶函数，）实偶函数，x(tx(t) )实奇函数实奇

33、函数 X X（f f）虚奇函数）虚奇函数x(tx(t) )虚偶函数虚偶函数 X X（f f）虚偶函数）虚偶函数 ，x(tx(t) )虚奇函数虚奇函数 X X（f f）实奇函数）实奇函数余弦函数是偶函数，余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。正弦函数是奇函数。54若若则当为常数时，有：则当为常数时，有：)()()()(fYtyfXtx)()()()(fbYfaXtbytax利用此性质可把复杂信号分解为一系列简单利用此性质可把复杂信号分解为一系列简单信号进行频谱分析处理。信号进行频谱分析处理。线性叠加性质线性叠加性质ba,据傅里叶变换的定义据傅里叶变换的定义 容易证明：容易证明：各时间函数线性组合的

34、傅变等于各时间函数线性组合的傅变等于各函数傅变的线性组合。各函数傅变的线性组合。55)()(fXtx)()(fxtX上式表明：上式表明： 傅里叶正变换与逆变换之间存在着对称关系，傅里叶正变换与逆变换之间存在着对称关系， 即：信号的波形与信号频谱函数的波形即：信号的波形与信号频谱函数的波形 有着互相置换的关系。有着互相置换的关系。对称性质对称性质若：小若：小 的时域函数的傅里叶变换是大的时域函数的傅里叶变换是大 函数；函数；则：大则：大 的时域函数的傅里叶变换一定对应小的时域函数的傅里叶变换一定对应小 函数函数 【自变量为自变量为 】。xfxXX则有：则有：若若 ：对称性若则 证明 fXtx f

35、xtX dfefXtxftj2以-t代替t得 dfefXtxftj2将t与f互换，即得X（t）的傅立叶变换为 dtetXfxftj2所以 X txf57【如果如果 ， 则时域里函数则时域里函数 对应频域的函数关系一定是对应频域的函数关系一定是 】()xf( )X t)()(fXtx【森克函数森克函数】58)()(fXtx)0()(1)(kkfXkktx)(1)()(1)()(22kfXktkdetkxktdektxtkkfjtfj时间尺度改变性质时间尺度改变性质)(tx)(txtk即：时域时间变量增大倍，即：时域时间变量增大倍， 则频域的频率和幅值均缩小倍。则频域的频率和幅值均缩小倍。kk在信

36、号幅值不变的条件下在信号幅值不变的条件下如：如：则：则：ttk证明：当信号证明：当信号 的时间尺度变为的时间尺度变为 时，有时，有2( )( )jftX fx t edt59记记磁带机磁带机磁带慢放磁带慢放磁带快放磁带快放现象举例k k=1=1时间尺度时间尺度压缩压缩（k1k1）k k=2=2时间尺度时间尺度扩展扩展（k1k1）k k=1/2=1/2600t00)02j02j(2j02j0)()(d)(d)(t fftttfftefXtteettxtettx02j0)()(tfefXttx其频域相移为其频域相移为02ft时移特性时移特性时移和频移性质时移和频移性质 此性质表明：在时域中信号沿时

37、间轴平移一个常数值时，此性质表明：在时域中信号沿时间轴平移一个常数值时， 频谱函数将乘因子频谱函数将乘因子 ， 即即只改变相频谱，不会改变幅频谱只改变相频谱，不会改变幅频谱。02tfje0t2( )( )jftX fx t edt61时移性质举例时移性质举例 ：a) 时域矩形窗时域矩形窗 b) 图图a）对应的幅频和相频特性曲线对应的幅频和相频特性曲线 c) 时移的时域矩形窗时移的时域矩形窗 d) 图图c）对应的幅频和相频特性曲线对应的幅频和相频特性曲线 1、已证幅频谱；2、推广绝对幅值谱3、图示相频谱62频移特性频移特性若频谱沿频率轴若频谱沿频率轴向右向右平移一个常值平移一个常值 ，对应的时域

38、函数将乘因子对应的时域函数将乘因子 。反之亦。反之亦然。然。0ftfje02)(0ffX02( )jf tx t e63微分特性微分特性微分和积分特性微分和积分特性 ()(2)()nnndxtjfXfd t( )2( )dx tjfX fdt)()(fXtx则有微分特性则有微分特性 同理同理1( )()2j tx tXed证明：证明：两边对时间微分：两边对时间微分：dtdeXjtdxtj)(21)()()()2(/ )(2fdefXfjdttdxtfj移项、变量代换：移项、变量代换：注意变换等式注意变换等式与变换关系的与变换关系的不同表达方式不同表达方式即这两个式子即这两个式子 是等价的是等价

39、的* * * *相相等等d( )( j2 )( )dnnnX ftx tf 同理可得同理可得64 tttdtxFfjtdtdtxdFtxF)(2)( )(2121)(fXfjtxFfjtdtxFt在振动测试中，位移、速度或加速度的综合应用。在振动测试中，位移、速度或加速度的综合应用。 如何如何应用？应用？积分特性积分特性 =tdx t dtx tdt Fx tXf【据微分特性据微分特性】【微分与变上限微分与变上限 积分相抵积分相抵】【整理整理】1( )()2tx td tXfjf或：或：预备式预备式65dtxx )()(21)(1tx)(2tx)()(21txtx)()()()(2121fXf

40、XtxtxtdedtxxtxtxFtfj 22121)()( )(*)(22()12( )()-jfjf txedxted t（）)()(21fXfX)()()()(2121fXfXtxtx卷积性质卷积性质 【卷积定义卷积定义】【傅变定义傅变定义】【配方、自变量分离配方、自变量分离】)(22)(22tfjfjtfjftjeeee时域的时域的卷积卷积对应于频域的对应于频域的乘积乘积；时域的时域的乘积乘积对应于频域的对应于频域的卷积卷积。1.矩形窗函数的频谱第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱矩形窗函数的频谱如右图所示。67在时

41、间内激发一个宽度为在时间内激发一个宽度为 ，高度为高度为 的矩形脉冲的矩形脉冲 ，则则定义单位脉冲函数为定义单位脉冲函数为 )(lim)(0tSt)(tS1三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱2. 单位脉冲函数及其频谱单位脉冲函数及其频谱 单位脉冲函数单位脉冲函数函数函数（1）定义）定义0ttt2200)(0tt )(t)(tS0t168延时到时刻，则延时到时刻，则或或0( )00ttt000()0tttttt0t0ttt2200)(0tt )(t)(tS0t1690( )lim( )1t dtSt dt0ttt2200)(0tt )(t)(tS0t1 函数下的面积函数下的面积 t)(

42、lim)(0tSt70 函数与一个连续函数函数与一个连续函数 乘积的积分结果乘积的积分结果相当于在相当于在 函数发生的坐标位置函数发生的坐标位置 对对 的的采样采样【取值取值】。)(tx( ) t)(tx)()0(tx)0()()0()0()()()(xtdtxtdxttdtxt 函数的性质函数的性质（2）采样性质）采样性质)()()()()(0000txtdtxtttdtxtt)(tx0t【推广推广】1)(tdt71（3）卷积性质）卷积性质 函数函数 与与 卷积的结果卷积的结果相当于把函数相当于把函数 平移到脉冲函数发生的坐标位置平移到脉冲函数发生的坐标位置。 x t x t t同理有：同理

43、有：平移效果平移效果函数是偶函数，即函数是偶函数，即* )()(tt)()()()()()()(txdtxdtxttx)( )()()( )()()(0000ttxdttxdttxtttx据据函数采样性质函数采样性质 00() ( )()ttx tdtx t72函数函数 和和 函数卷积的结果，就是函数卷积的结果，就是 图形搬迁图形搬迁（以发生（以发生函数的位置作为新坐标原点的重新构图。）函数的位置作为新坐标原点的重新构图。） )(tx)(tx图例图例）（ t73 函数函数和函数和函数卷积的结果卷积的结果，就，就是是图形搬迁图形搬迁。)( fX)( fX卷积性的应用卷积性的应用)()()(fXf

44、fX)()()(00ffXfffX相当于把函数平移到相当于把函数平移到脉冲函数发生的坐标位置。脉冲函数发生的坐标位置。74（4） 函数的频谱函数的频谱20()( )1jf tft edte2( )1jf tted f白噪声白噪声【利用利用 函数采样性质函数采样性质 只在只在 时时 取值取值】0t 2jfte ( )Ft）（ t75函数是偶函数，即函数是偶函数，即 )()()()(fftt、函数具有等强度、无限宽广的频谱，函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为这种频谱常称为“均匀谱均匀谱” 白噪声白噪声利用对称、时移、频移性质，可以得到以下傅里叶变换对利用对称、时移、频移性质，可以得到以

45、下傅里叶变换对 ：020)(ftjett020()jf teff1)(t1()( )ff时域时域时域时域频域频域频域频域76据不定积分据不定积分 ：axaxeedxCa0,0( )00atetax tt22(2)0022()( )122(2 )jf tatjf tajftXfx tedteedtedtajfajfaf傅立叶变换为傅立叶变换为001axaxe dxea单边单边积分限积分限与符号与符号3.单边指数函数信号的频谱单边指数函数信号的频谱77时域波形时域波形幅值谱图幅值谱图相位谱图相位谱图000,0)(tatetxat=2222( )Re( )Im( )1(2)XfXfXfafIm( )2( )arctanarctan()Re( )X fffX fa 22( 2)aaf222( 2)fjaffjatdetxfXtfj21)()(278)(21j)2(sin002j2j0tftfeetf)(21)2(cos002j2j0tftfeetf)()(21j)2(sin000fffftf)()(21)2(cos000fffftf可得正、余弦函数的傅里叶变换可得正、余弦函数的傅里叶变换 由前面的变换对可知：由前面的变换对可知：)(020ffetfj时域时域频域频域4.正、余弦函数信号的频谱正、余弦函数信号的频谱)()(212cos)