流体力学第七章

1、第7章 不可压缩粘性流体的流动流体微团的运动形式与速度分解定理粘性流体的应力状态广义牛顿内摩擦定理（本构关系）Navier-Stokes方程 主要讨论层流问题边界层理论1 1、流体微团运动的基本形式、流体微团运动的基本形式 流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动） 与变形运动（线变形和角变形运动）。 流体微团的运动形式与速度分解定理流体微团的运动形式与速度分解定理平动转动线变形角变形2 2、速度分解定理、速度分解定理 德国物理学家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给

2、出分解。 在 速度为 在 点处，速度为),(0zyxM),(),(),(tzyxutzyxutzyxuzyx),(1tzzyyxxM),(),(),(tzzyyxxutzzyyxxutzzyyxxuzyx以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有将上式分别加、减下列两项得到：zzuyyuxxutzyxutzzyyxxuxxxxx),(),(zxuyxuzy21 , 21zxuzuyyuxuzzuxuyyuxuxxutzyxutzzyyxxuzxxyxzxyxxx2121- 2121),(),(如果令：综合起来，有：xuxxxzuxuyuxuxzxzxyxy21,21xuzuyuxuzxyxyz2

3、1,21zyxyztzyxuzxuzuyyuxuzzuxuyyuxuxxutzyxutzzyyxxuxzxyxxzyxzxxyxzxyxxx)(),(2121- 2121),(),(对于y,z方向的速度分量，也可得到写成矢量形式：其中，第一项表示微团的平动速度， 第二项表示微团转动引起的， 第三项表示微团变形（线变形和角变形）引起的。 zyxxytzyxuzzuyyuxxutzyxutzzyyxxuzyxzxtzyxuzzuyyuxxutzyxutzzyyxxuzzyzxzyxzzzzzzzyyyxyxzyyyyyy)(),( ),(),()(),( ),(),( 10()()u Mu Mrr

4、 定义如下：流体微团平动速度：流体微团线变形速度：流体微团角变形速度（剪切变形速度）：流体微团旋转角速度：),(),(),(tzyxutzyxutzyxuzyxzuyuxuzzzyyyxxx,zuyuzuxuyuxuyzyzxzxzxyxy21,21,21yuxuxuzuyuxuxyzzxyxyz21,21,213 3、有旋运动与无旋运动、有旋运动与无旋运动流体质点的涡量定义为表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为零，定义无旋流动与有旋运动。4、变形率矩阵变形率矩阵（或变形率张量变形率张量，或应变率张量应变率张量） 在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的，其中 称为变形

5、率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团的粘性应力粘性应力存在直接关系。zyxuuuzyxiurotu k j 2 定义，流体微团的变形率矩阵为 该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系的选择有关，但有三个量是与坐标系选择无关的不变量。它们是： zzzyzxyzyyyxxzxyxx zzzyzxyzyyyxxzxyxxzxyzxyzzxxzzyyyyxxzzyyxxIII 322221 其中对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场的散度，或流体微团的相对体积膨胀率。uzuyuxuIzyxzzyyxx15.速度梯度分解速度梯度分解速度梯度是一个二阶张量 , , xxxyyyijzzzuuux

6、yzuuuui jx y zxyzxuuuxyz1122jjiiiijijjjijiuuuuuSxxxxxSij即为变形率张量变形率张量（应变率张量），ij称为旋转张量旋转张量。粘性流体的应力状态粘性流体的应力状态 流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上的力只有正向力，无切向力。 粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力。 1、理想流体和粘性流体作用面受

7、力差别、理想流体和粘性流体作用面受力差别2 2、粘性流体中的应力状态、粘性流体中的应力状态 在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力法向应力和切向应力切向应力。如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，其中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相切为切应力，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。 由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。

8、如，对于x面的合应力可表示为 y面的合应力表达式为 z面的合应力表达式为kjixzxyxxxkjiyzyyyxykjizzzyzxz 如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。因此，我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵应力矩阵（或应力应力张量张量）。根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩阵如同变形率矩阵一样，是个对称矩阵。 zyyzzxxzyxxyzzzyyzyyyxxzxy zxxx（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力

9、相等，等于该点压强的负值。即（2）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即（3）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。 1 0 00 1 00 0 1 ppzzyyxx3zzyyxxp0 xyxz 7-1 微元体的表面力与本构方程微元体的表面力与本构方程如图，微元体每个面上有正应力和切应力。第一个角标指垂直于每轴的面，第二个角标指应力方向（坐标轴上的投影）共有9个量，构成二阶张量应力张量： xxxyxzijyxyyyzzxzyzz为研究粘性流体的运动，我们需要找到应力与应变率的关系本构关系本构关系 广义牛顿内摩擦

10、定理（本构关系）广义牛顿内摩擦定理（本构关系）1 1、牛顿内摩擦定理启发、牛顿内摩擦定理启发 牛顿内摩擦定理得到，粘性流体作直线层状流动时，流层之间的切应力与速度梯度成正比。即： 如果用变形率矩阵和应力矩阵表示，有：说明应力矩阵与变形率矩阵成正比应力矩阵与变形率矩阵成正比。对于一般的三维流动，Stokes（1845年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理。dydux2yxyxyxuuyx2 2、StokesStokes假设（假设（18451845年）年）（1）流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与流体的平动和转动无关。（2）流体是各向同性的，其应力与

11、变形率的关系与坐标系的选择和位置无关。（3）当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。 由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正 应力，无切应力。即： 0pzzyyxx 因此，在静止状态下，流体的应力状态为 根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵与变形率矩阵写成如下线性关系式（本构关系）。 式中，系数a、b是与坐标选择无关的标量。参照牛顿内摩擦定理，系数a只取决于流体的物理性质，可取： Ipp001 0 00 1 00 0 1 Iba2a 由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持应力与变形率成线性关系，系数b只能由应力矩阵与变形率矩阵中的那些线性不变量

12、构成。即令：式中， 为待定系数。将a、b代入，有：取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出：321321)()()(bubbbbbbbzzyyxxzzyyxxzzyyxx321b b b Ibubbzzyyxx321)(232133)(32)(bubbuzzyyxxzzyyxx 归并同类项，得到：在静止状态下，速度的散度为零，且有：于是，有： 由于b1和b3均为常数，且要求p0在静止状态的任何情况下 均成立，则 然后代入第一式中，有3213)32()(31 (bubbzzyyxx00 , ()3xxyyzzup 310)31 (bbp31b 013b322b如果令称为流体压强。则为：上式

13、即为用指标形式，上式可表示为3zzyyxxp Iup322ji 322p-ji uxuxuxuiijiijij对于不可压缩流体,有：如果用坐标系表示，有：粘性切应力：法向应力：0 uji 2p-ji iijiijijxuxuxuyuxuxyxyxy2zuyuyzyzyz2xuzuzxzxzx2xxxxxpxup22yyyyypyup22zzzzzpzup22本构方程本构方程：应力与变形速率之间的关系称为本构关系 dyduzxyyuxv2)( 对于剪切流动的简单情况，牛顿内摩擦定律：对于剪切流动的复杂情况，牛顿内摩擦定律：根据各向同性假设有x,y,z三个切向应力：)()()(xwzuzvywyu

14、xvxzzxzyyzyxxy222xxyyzzupxvpywpz 对于静止流体，1()(3xxyyzzxxyyzzpp 热力学压强）根据斯托克斯假设斯托克斯假设，在粘性不可压流体中x,y,z三个法向应力的表达式为：将上述三式相加，并根据连续性方程得到：1()3xxyyzzp BACDEFGH 7-2 N-S方程方程 如图微元体，每个面上正应力沿外法线方向，切应力沿坐标轴正向现分析z方向上表面力11)()22zzzzzzzzzzdzdzdzzzz（1 2xzxzADHEdxx面：1 ()2xzxzBCGFdxx面：正应力切应力BACDEFGH1 ()2yzyzCGHDdyy面：方向上表面力的合力

15、：zyzxzzzdz dxdydx dydzdy dxdzzxyzzfmfdxdydz12yzyzABFEdyy面：质量力：得：由zzamF1823/1845Navierstokes方（程称年）yzxzzzzdwfzxydtyyxyzyyyxxxzxxdfyxzdtdufxyzdt同理：用本构关系式（不可压）代换：222222222 , () ,()yxxxzxupuxxxyx yyuwzzx z x方向dtduzwyxuxzuyuxuxPfx)()(222222不可压缩流体，由连续性方程得：0Vzwyxu故dtduzuyuxuxPfx)(222222又, 2222222uzuyuxuuVtu

16、dtdu)(21()xuPVufutx 于是：2221()1()()yzPVftywPVwfwtVPVVfVzt 同理：或写成：时间项 位变惯性力 质量力 压差 粘性力NavierStokes即为不可压缩流体方程。 ()VVVft一般形式：基本方程组： : 0 V连续方程（一个标量方程）2 : () (NSVPVVfVt 方程三个标量方程） 定解条件定解条件未知数：u,v,w,P四个，故方程组封闭，给定定解条件，理论上可求得唯一解。可是，由于是非线性、强耦合偏微分方程组，求解非常困难，通常根据实际问题进行简化后，可求一些简单问题的解。注：理想流体欧拉运动方程就是N-S方程的一种简化。 上述N-

17、S方程和连续方程适用于不可压流动，对于可压缩流动，还需要加上状态方程和能量守恒方程才能封闭，再加上定解条件，数学上可以求解，但仅对层流层流有效有效；对于湍流，通常还需要建立湍流模型进行求解。 N-S方程方程的边界条件和初始条件的边界条件和初始条件 数学上，N-S方程是三个椭圆型二阶偏微分方程联立的方程组，其边界条件应是在一个封闭边界上的狄利克雷或诺伊曼条件。 从物理学方面讲，对于连续介质流体与固体的交界面，实验得到的粘性流动的边界条件是：流体与固体间无穿透且无相对滑动，即un = Un，ut = Utn和t分别表示法向和切向。 在流场无穷远处，流速为零或常数。需考虑流场中热效应时，热边界条件为

18、：在边界处，温度T为常数或温度梯度T/n为常数。 在两种不同流体的分界面，若它们均为液体，则分界面两侧流体的速度、压强和温度都相等：u1 = u2，p1 = p2，T1 = T2摩擦力和通过分界面的热传导量也相等： 若分界面两侧分别是液体和气体，例如液体自由表面，则其运动学条件为：在自由表面上的流体质点永远都处于自由表面上；动力学条件则为：交界面处的法向应力、切向应力连续。 22212100合称来流条件无穷远条件：或进（出）口条件：，连续：自由面条件无滑移：固壁条件边界条件：时刻物理量的值：初始条件：给定outinininwfxxtt似解；数值解求解方法：精确解；近7-3 精确解精确解 一、库

19、塔流动（Couette Flow） 如图，平板在水面上运动，假设：二维，定常不可压，层流，不计重力。对基本方程组根据问题性质做适当简化后，直接求出的解称精确解。至今大约有二十多个，它们是其他解法的重要基础。0 , 0 , 0nnnnxy22221:()uuPuuxequxyxxy 22221:()Pyequxyyxy 0 ,0PydxdPxPxP有关：只与可见:0uceqxy0uxdyduyuyu有关：只与可见022xu又：dxdPdyudeqx1:22故 y左边只与 有关，右边只与x有关， 可直接积分，其通解：21221CyCydxdPu求其确定解。现给出四种边界条件，(1) 简单库塔流动无

20、压差流动，上板以u0运动000;0;dPdxyuyh uu其解为：;, 0012huCCyhuu.0为常数hudydu00;0; 0, 0, 00uhyuydxdPu压差流动(顺压梯度)其解为：1()22dPuy yhdxhy是对称于的抛物线）为线性分布（hydxdP221(2) 平面泊肃叶流动平面泊肃叶流动平面泊肃叶流动00;0; 0, 0, 0uuhyuydxdPu(3)其解为：),(210hyydxdPyhuu为上述两种情形相加。）（hydxdPhu2210亦为线性分布(4)（逆压梯度），000dxdPu作业7 7-2 -2 7-5 7-5 7-4 7-4 边界层的概念边界层的概念工程中

21、绝大多数流动都处于高Re区域，即惯性力粘性力，粘性力可忽略理想流体。 但固壁附近要满足无滑移条件，速度低，通常Re较小， 粘性力不能忽略。 普朗特（1904）提出边界层概念，边界层内为粘性流动，速度梯度较大，边界层外为理想流体势流运动。2 2ReVlV lVl惯性力粘性力n 边界层近似及其特征边界层近似及其特征1 1、边界层概念的提出、边界层概念的提出 理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体阻力绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的达朗贝尔佯谬达朗贝尔佯谬就是

22、一个典型的例子。如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，在当时是一个阻碍流体力学发展的难题，1904年，普朗特（Prandtl）通过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（边界层（Boundary layerBoundary layer）。 Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是:（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区势流区

23、）和粘性流体的流动区域（粘流区粘流区）。（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论处理。 （3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。边界层内，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。例：空气绕某一翼型的流动，整个流场可分为边界层、边界层脱离翼型物面以后形成的尾流、以及边界层和尾流以外的势流。图7-1 翼型绕流翼型绕流 实际流体绕意何形状物体的大雷诺数流动都会在物面附近形成边界层。 边界层流动可以是层流或湍流。实际中更一般地是混合边界层，即边界层前缘为层流，经过一过渡区(称为转捩区转捩区)后转变为湍流；在湍流区，紧挨物面附近还有一层流底层。图7

24、-2所示为一均匀来流绕过平板一侧所形成的边界层流动。图7-2 平板边界层流动平板边界层流动2 2、边界层的流态、边界层的流态 在湍流区，若平板表面粗糙度D大于层流底层的厚度dl，则称之为粗糙粗糙(表面表面)平板平板；否则称为光滑光滑(表面表面)平板平板。当层流区的范围很小时，可近似地把整个边界层看成为湍流边界层。 为了便于判断边界层的流态，通常假定由层流到湍流的转捩是在某一截面突变完成的，并称此截面为临界截面临界截面，它离边界层前缘的距离称为临界长度临界长度x*，临界截面边界层的厚度称为临界厚度临界厚度d*。 以平板边界层为例 边界层流态用临界雷诺数Re*来判断。 Re*有两种形式： Rex*

25、 = Ux*/v Red* = Ud*/v对于平板绕流， Rex* = 5105 3106， Red* 2800。 速度为V的来流进入前缘后，由于物体的粘附作用，低层流体的速度变为0。随着x的增加受阻滞的流体在y方向上逐渐扩大，以致行成一个有明显速度变化的区域，通常称为速度边界层速度边界层。3 3、边界层的定义与特征、边界层的定义与特征（1 1）边界层定义）边界层定义 严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度名义厚度，用 表示。边界层的外边界不是流线；流线可以穿越边界层外边界进入边界层内。（2

26、 2）边界层的有涡性）边界层的有涡性 粘性流体运动总伴随涡旋的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源涡源。以二维流动为例说明。此时，物面上的涡源强度为： 对于不可压缩流体，二维流动的涡量输运方程为： 上式表明，由于粘性的影响，物面上的涡量一方面沿垂直流线方向扩散，另一方面，涡量沿主流方向迁移，并随之而逐渐衰减。涡量的扩散速度与粘性有关，涡量的迁移速度取决于流动速度。oxxyzyuyuxu2222yxdtdzzzz（3 3）边界层厚度的量级估计）边界层厚度的量级估计 根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度

27、。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的长度为L，边界层厚度为。 惯性力： 粘性力： 由惯性力与粘性力同量级得到由此可见，在高在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度的特征长度。 22ULtULdtdVmFJ2LUAdydVF221R L U eJUFFLL （4）边界层各种厚度定义 a.边界层排移厚度 在边界层内，理想流体的质量流量为： 其中，U为边界层外缘速度。由于粘性的存在，实际流体通过的质量流量为： 上述两项之差表示粘性存在而损失的流量，这部分流量被排挤到主流场中，相当于主流区增加了一层流体。主流区所增加的厚度称为排移厚度：0Ud

28、ymei0udyme图图7-3 7-3 边界层位移厚度边界层位移厚度0dyuUUeve01dyUuev v代表整个边界层内亏损质量流量与无粘性流动时单位厚度的质量流量之比， v越大表明边界层引起的质量流量亏损越大。 为了保持有粘性与无粘性流动的质量相等，在用无粘性理论设计管道时应将管壁向外扩大 v 根据边界层速度分布渐近的概念可以导出： dyUuv0)1 (b.边界层动量损失厚度边界层动量损失厚度 在边界层内，在质量流量不变的条件下，理想流体通过的动量为： 由于粘性的存在，实际流体通过的动量为： 上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失用外流流速U（理想流体）折算的动量损失厚度为：

29、0udyUKi02dyuKe022dyuUuUde01dyUuUued c. c.边界层能量损失厚度边界层能量损失厚度 在边界层内，在质量流量不变的条件下，以外流速度（理想流体）通过的动能为： 由于粘性的存在，实际流体通过的动能为： 上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失用主流流速U（理想流体）折算的动能损失厚度为:0221udyUEi0221udyuEe03222121dyuuUUUne0221dyUuUuen 上述各种厚度的计算公式，对于不可压缩流体而言，变为: 一般有：01dyUuv01dyUuUud0221dyUuUunvnd 浓度边界层：当某种流体流经一可溶（或含有可溶

30、物）的固体表面，或两种不太相混流体相互流过时，在它们界面附近往往会出现对流传质或扩散现象，即在界面处存在一很薄和浓度很大的区域，通常称为浓度边界层，浓度厚度为： 焓厚度： dyhhhhUuWeI0)(hw：壁温下的流体焓值。焓厚度表示边界层内实际焓流量与当边界层内焓值处于来流焓值时的焓流量之差。 dyCCCCUuAAWAAm)()(0其它边界层厚度其它边界层厚度一般有：vndm 7-5 边界层微分方程边界层微分方程)(1 : 2222yuxuxPyuxuutueqSN假设：不可压平面流动，不计质量力，边界层内，0 :yxueqc)(1 2222yxyPyxut选取长度特征L，速度尺度ue，时间

31、尺度t=L/ue，边界层近似假定：（1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。（2）法向速度远远小于纵向速度。（3）边界层内的压强与外流速度的平方成正比。 将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到yxyLxLL,1,1,Re1uvutLuuvuLuLtveeee,Re1,/2eup 无量纲化与数量级分析 , 1Lxx22 2 222222 2 2222 1 1 1 .Re1.Re11 1 1 1 11 1 .Re1.Re10yxyPyxutyuxuxPyuxuutuyxu , Lyy , 1/eULtt , 1eUuu , eU , 12eUPP , L 1)(Re22L 比较各项后的

32、量级后得：0.Re1022yPyuxPyuxuutuyxu可见，P与y无关，即沿y均匀，可取：),(txPPe对于边界层问题，) (x, t Pe是已知函数,可由外部势流解得到：xPxUUtUe1对定常流动，由伯努利方程得到：dxdPdxdUUe1还原方程后得边界层方程组：22 0 yudxdUUyuxuutuyxu定解条件：eUuyuyyxUut : )( 0 , 0 :0),( :00边界条件：初始条件： 仍然是非线性方程，只有一些特别情况可以得到解析解 。 平板层流边界层的相似解平板层流边界层的相似解 1908年，Prandtl学生Blasius利用边界层速度分布的相似性求解了平板层流边

33、界层方程。对于零压梯度 、定常、不可压缩流体平板层流绕流，边界层方程为:相应的边界条件为: Blasius假设，在平板上边界层内的速度分布具有相似性特征。即: 0yvxu22yuyuvxuuUyu y ; 0 v0u 0)(yfUu, 0 xPe根据量级比较，边界层厚度的量级为: 称为相似性变量相似性变量。引入流函数，可消掉一个连续方程: UxxUxxxRexUyy)()(FxUdUxfUudy)(FUyyuxUxFxFxUFxUxxv)()(由此得到:代入方程中，得到:FFxUxuu 22xx2FFFxUyuv 221FxUFFFxUFFxU 2222121化简后变为:边界条件为:Blasi

34、us用无穷级数进行了求解。假设： 其中， 为待定系数。02 FFF1.0, ; 0, 0, 0FFFnnnAAAAAF! 3! 2)(332210nAAAA,210321/31/3220( )1(32)!nnnnCFAAn 012321,1,11375.0CCCCFA 由边界条件，可得:（1）边界层厚度 （ ）（2）边界层排移厚度 （3）边界层动量损失厚度 0.3321(0) 1)( FFlim0 . 5,9916. 0/UuxxRe5xvxdyUuRe7208. 110 xdxdyUuUuRe664. 010dv83（4）壁面切应力:（5）壁面摩擦阻力系数 （6）平均壁面摩擦总阻力系数 郭永

35、怀（1953年）对平板前缘点的修正，得到 适用范围： 65103103ReLxyUyuRe1332. 0200 xfUCRe1664. 05 . 020LfLfDfLCdxCLCRe1328. 1)(210LLDfCRe10. 4Re328. 1 平板边界层方程为三阶非线性常微分方程，无解析解，布拉修斯最早给出了级数解，后来霍华斯等人用龙格库塔法得到了数值积分解。 平板层流边界层精确解数值表平板层流边界层精确解数值表图7-4 平板边界层速度剖面n 边界层问题评述边界层问题评述 边界层问题求解十分麻烦，上面只是最简单的一种情形。此问题因存在相似性解（指无量纲的速度分布相同），故可采用相似变量置换

36、，将方程组化为常微分方程。类似问题还有轴对称层流边界层轴对称层流边界层。 更多问题不存在相似性解（如 ）此时可采用: 1）级数近似解法； 2）动量积分近似解法动量积分近似解法； 3）纯数值解法。0 xPe湍流边界层更为复杂，只能采用: 1）半经验理论； 2）数值解。 流体绕物体的流动可分为成势流区和边界层区域，而流体绕物体的流动可分为成势流区和边界层区域，而势流区可以使用位势理论求解，而求解边界层则较困难。势流区可以使用位势理论求解，而求解边界层则较困难。 描述边界层粘性流动的是纳维描述边界层粘性流动的是纳维- -斯托克斯方程（斯托克斯方程（N-SN-S方方程）程） )(1)(12222222

37、2yvxvvypyvvxvuyuxuvxpyuvxuu连续性方程：连续性方程： 0yvxu7.6 7.6 边界层动量积分方程边界层动量积分方程 对于任意初始条件和边界条件，求层流边界层方程的分对于任意初始条件和边界条件，求层流边界层方程的分析解是相当困难的，许多问题可以通过计算机获得满意的结析解是相当困难的，许多问题可以通过计算机获得满意的结果。果。 在工程中许多近似解法有很大的实用价值，其中在工程中许多近似解法有很大的实用价值，其中动量积动量积分方程分方程是最简单而又最实用的一种方法是最简单而又最实用的一种方法( (冯冯. .卡门，卡门，1921)1921)。 CDCD流出的动量：流出的动量

38、： dxdyudxddyu)(0202AB AB 流入的动量：流入的动量： dyu02AC 流入的动量：流入的动量： xddyudxdv)(0控制控制ABCD内流体的动量变化率（物质导数）为内流体的动量变化率（物质导数）为 :dxdyudxdvdyudxd002经经AC流入控制体的质量流入控制体的质量=CD-AB（质量流量）（质量流量）x x方向控制体的受力情况：方向控制体的受力情况： AB面上受力：面上受力： PCD面上受力：面上受力： )(ddxdxdPPPd 壁面壁面BDBD上的剪切应力：上的剪切应力： dx0 x x方向上的总的受力：（略去高阶小量）方向上的总的受力：（略去高阶小量）

39、dxdxdP)(0应用动量定理，得动量积分关系式：应用动量定理，得动量积分关系式： 0002dxdPdyudxdvdyudxd上式中压力梯度一项可以按主流为势流，利用欧拉方程来上式中压力梯度一项可以按主流为势流，利用欧拉方程来计算，不考虑质量力时（计算，不考虑质量力时（x x方向）：方向）： 0dvvdP即即 dxdvvdxdP AC AC面上的分量：面上的分量：（粘性切应力可忽略）dyudxdvdyvudxddyudxdv000又因为:000()dvdvdu uv dyvudydxdxdx得动量积分关系式：得动量积分关系式： 变形后得另一种形式的动量积分关系式：变形后得另一种形式的动量积分关

40、系式： dyvuvudxdvvdyvuvudxdvdyvuvuvdxddyvudxdvvdyvuvuvdxd002020002)1 (2)1 ( )1 ( )1 ()1 (而：利用排挤厚度和动量损失厚度的定义，得动量积分方程的利用排挤厚度和动量损失厚度的定义，得动量积分方程的一般形式：一般形式： 021(2)mmdddvvdxvdxn上式适用于稳定流动，不可压缩流体层流或湍流时的上式适用于稳定流动，不可压缩流体层流或湍流时的动量方程，根据它可以计算附面边界层的厚度和流动阻力。动量方程，根据它可以计算附面边界层的厚度和流动阻力。 n方程式中有方程式中有dm和,0, ,为此还需要两个补充条件：为此

41、还需要两个补充条件： 边界层内的速度分布：边界层内的速度分布： )(1yfux与速度分布有关的与与速度分布有关的与的关系的关系: : ),(20 xufn动量积分关系不仅实用于层流，对湍流也实用。动量积分关系不仅实用于层流，对湍流也实用。 例题：例题：密度为的均质不可压缩流体以速度V流向板面与速度方向平行的平板，设流动定常，壁面附近速度为线性分布，不计质量力，板宽为D，求流体作用在板上的切向力。 解：解：前缘流进控制体的动量： DvvDv2后缘流出的动量： DvvyDdyyv2031由y=流出控制体的动量流量是： DvvDv22121上缘流出质量流量为： DvdyyvDv210流体作用平板的总

42、切应力为： DvDvDvDvF222261)2131(7.77.7平板边界层的近似解平板边界层的近似解 对于平板问题，主流为均匀流，即： 常量v0dxdv故动量积分方程式简化为： 20vdxdm要求解上式可以先假设u和0的表达式，再求出(x)的表达式， u和0的近似表达式越接近于实际， (x)越精确。一一. .层流边界层层流边界层 平板边界层上的速度分布可以近似地用高次抛物线表示：平板边界层上的速度分布可以近似地用高次抛物线表示： 44332210yCyCyCyCCu壁面切应力为：壁面切应力为： 100Cyuy多项式系数应满足一定的条件：多项式系数应满足一定的条件： 在壁面上：在壁面上： 0,

43、 0uy00C，在外边界：在外边界： vuy,2341234vCCCC在外边界：在外边界： 0,yuy2312340234CCCC上，上， ， ，边界层的微分方程为：边界层的微分方程为： 22yuvyvvxuu0y时时 0 vu2020yuvy得：得： 022C在外边界在外边界 y0vUu0XUxu022yyuv即：即：0243CC解得的解得的5 5个系数是：个系数是： 13402342, 2, , 0vvvCCCCC 于是层流边界层的速度表达式：于是层流边界层的速度表达式： 43)()(2)(2yyyvu根据动量厚度定义：根据动量厚度定义： 31537)1 (0dyUuUum代入：代入： 2

44、0Udxdm得：得： 1231537Uvdxd利用利用x=0=0，=0=0的边界条件，积分得的边界条件，积分得Rexx2/184. 5排移厚度：排移厚度： 210Re752. 1103)1 (xdxdyUu动量损失厚度：动量损失厚度： 21Re686. 031537xmx壁面的切应力：壁面的切应力： 2120Re343. 02xUU长度长度L，单位宽度平板的摩擦力：单位宽度平板的摩擦力： 21200Re686. 0lLDUdxF二、湍流边界层（自学）二、湍流边界层（自学）采用速度分布RelvFCvllvdxFvxvlDflDm5/12251002510074. 021,)(037. 0)(02

45、96. 0,727, )(71yUue代入动量积分方程后求得：51Re381. 0)(xxx要比层流时发展得快实验拟合式：71Re0307. 0lfC 三三. .层流与湍流混和边界层层流与湍流混和边界层 在前面的讨论中总是假定形成单一的层流或湍流边界层，实际上绕物体的流动是个组合边界层。差异分析：名义厚度：层流 1/2vx,湍流 速度：层流对y缓慢增加，湍流急剧增加. 剪切应力：层流 2/3wv,湍流 4/5vx9/5wv 转捩临界雷诺数： 根据不同Re范围，混合边界层阻力系数： 5103cexxVRc)10 Re10(5 Re)Re(lg455. 0)10 Re 10(5 ReRe074.

46、09558. 2752 . 0LLLLLLLLACAC 在这些差别中最重要的是壁面剪切应力，因为它是物体壁面所受的摩擦力，两种常用的方法是普朗特普朗特和朱考斯朱考斯卡斯法卡斯法，前者认为组合边界层的摩擦力等于全程湍流边界层的摩擦力减前端湍流边界层摩擦力再加上层流边界层的摩擦力。 后者认为假设边界层中的湍流部分存在一虚构的原点，并以此为分界点，前后分别是层流和湍流边界层，湍流边界层阻力表达式从该虚构原点起计算。 7-8 7-8 曲面边界层曲面边界层 平板边界层是无压强梯度的边界层，而曲面边界层平板边界层是无压强梯度的边界层，而曲面边界层内外缘的速度和压力均有变化，这种压强梯度的存在会内外缘的速度

47、和压力均有变化，这种压强梯度的存在会影响边界层内的流动，最重要的就是在一定条件上会造影响边界层内的流动，最重要的就是在一定条件上会造成成边界层的分离边界层的分离。 n 边界层的分离现象边界层的分离现象 边界层中的流体质点受惯性力、粘性力和压力惯性力、粘性力和压力的作用。粘性力的作用始终是阻滞流体质点运动，使流体质点减速，失去动能；压力的作用取决于绕流物体的形状和流道形状，顺压梯度有助于流体加速前进，而逆压梯度阻碍流体运动。以圆柱绕流为例说明边界层的分离现象。 对于理想流体，流体微团绕过圆柱时，在前驻点O点压强最大，在M点压强最小，压降有利于流动，使流动逐渐加速，OM区称为顺流区顺流区，压能转化为动能；从M到F压强增加，速度逐渐减小，不利于流动，MF称逆流区逆流区。 对于粘性流体，在上述能量的转化过程中，由于粘性的作用，边界层内的流体质点将要克服粘性力作