2019-2020年高中数学1.1.1集合的概念5教案新人教B版必修1

1、2019-2020年高中数学1.1.1 集合的概念5教案新人教B版必修1教学目标：(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法(2) 使学生初步了解“属于”关系的意义(3) 使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念教学过程：1 引入(1) 章头导言(2) 集合论与集合论的创始者 -康托尔(有关介绍可引用附录中的内容)2 讲授新课阅读教材，并思考下列问题：(1) 有那些概念？(2) 有那些符号？(3) 集合中元素的特性是什么？(4) 如何给集合分类？(一) 有关概念：1、集合的概念(1) 对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称

2、作对象(2 )集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(3 )元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、2、元素与集合的关系(1) 属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a A(2) 不属于：如果 a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作要注意的方向，不能把 a A颠倒过来写3 、集合中元素的特性(1) 确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了(2) 互异性：集合中的元素一定是不同的(3) 无序性：集合中的元素没有固定的顺序4、集合分类根据

3、集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：(1) 把不含任何元素的集合叫做空集(2) 含有有限个元素的集合叫做有限集(3) 含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分，0等符号的含义5、常用数集及其表示方法(1) 非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合记作N(2) 正整数集：非负整数集内排除0的集.记作2或N+(3) 整数集：全体整数的集合 . 记作 Z(4) 有理数集：全体有理数的集合 . 记作 Q(5) 实数集：全体实数的集合 . 记作 R注：( 1)自然数集包括数 0.(2) 非负整数集内排除 0的集记作N或N+, Q Z、R等其它数集内排除 0的集，也 这样表示，例如，整数集内排除

4、 0 的集，表示成 Z*课堂练习：教材第5页练习A、B小结 ：本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质课后作业 ：第十页 习题 1-1B 第 3 题附录：集合论的诞生韩雪涛集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创立的 十七世纪数学中出现了一门新的分 支：微积分 在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果 其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础 十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了 一场重建数学基础的运动 正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集， 这是集合论研究的开端 到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念 他对集合所

5、下的定 义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就 称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素 人们把康托尔于 1873年 12月 7日给戴德金的 信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日 康托尔的不朽功绩 前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说： “康托尔的不朽功绩在于他向无穷的 冒险迈进” 因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真 正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来 数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱 因为这一原因，在数学 发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可

6、能回避这一概念 但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路 他把无穷集这一词汇引入数学，从而 进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界 对无穷集的研究使他打开了“无 限”这一数学上的潘多拉盒子 下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么 “我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示 ”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生 但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此 做时是在进行一项更新无穷观念的工作 在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的， 一种变化着成长着的东西来解释 无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实 在

7、这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限十八世纪数学王子高斯就持这种观点用他的话说，就是“我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的所谓无穷，只是一种说话的方式”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作 为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论这一理论使人们真正进入了

8、一个难以捉摸的奇特的无限世界最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应一一例如同学们很容易发现自然数集与正偶 数集之间存在着一一对应关系一一也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个 数.这与传统观念"全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数注集合也是可数集时

9、，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在 1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相 比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两 个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间

10、还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康 托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新

11、，由于他开创了一片全新的领域， 提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的 牺牲品在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦在1900年第二次国际数学大会

12、上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“数学已被算术化了今天，我们可以说绝对的严格已经达到了 ”然而这种自得的情绪并没能持续多久不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界这就是1902年罗素得出的罗素悖论罗素构造了一个所有不属于自身 （即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R?如果R属于R,则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即 R不属于R;另一方面，如果 R不属于R,贝U R不满足R的定义，因 此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾 这一仅涉及集合与属于两个 最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中这就是

13、数学史上的第三次数学危机危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系 统，简称ZF公理系统原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论 的出现这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论公理化集合论是对朴素集合论的严格处理它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没 有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去从康托尔提

14、出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出 进一步发展的模糊集合论的出现等等而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为 我们的总结它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就 之一 超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一注：整系数一元n次方程的根，叫代数数如一切有理数

15、是代数数大量无理数也是代数数如 2根号2.因为它是方程x -2=0的根实数中不是代数数的数称为超越数相比之下，超越数很难得到第一个超越数是刘维尔于 1844年给出的关于n是超越数的证明在康托尔的研究后十年 才问世2019-2020年高中数学1.1.1 集合的概念5教案 新人教B版必修1【学习目标】1. 理解集合的基本概念和集合中元素的特性，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法;2. 会用符号和表示对象与集合之间的关系.【课前导学】(一) 生活中1. 介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级2问题：像“家庭”、“学校”、“班级”等，有什么共同特征？【特征】同一类对象的汇集(二) 数1. 【形

16、】圆、线段垂直平分线可以看着满足什么条件的点的集合；2. 【数】自然数集、整数集、 .【课堂活动】一、建构数学：(一)集合的有关概念：set).1. 集合：一定范围内某些确定的 、 不同的对象的全体构成一个集合(2 .元素：集合中的 每一个对象 叫做该集合的元素(element)(简称元)探讨以下问题：(1) 122,3是含1个1,2个2, 1个3的四个元素的集合吗？(2) 著名科学家能构成一个集合吗？(3) a,b,c,d 和b,c,d,a 是不是表示同一个集合？(4) “中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素(5) “ you ng中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素“ book

17、中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素由“问题探究”可以归纳：3. 集合中元素的特性(1) 确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可(2) 互异性：集合中的元素没有重复.(3) 无序性集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)4. 集合的表示：集合常用大写拉丁字母来表示，如集合A、集合B .5. 元素与集合的关系：如果对象a是集合A的元素，就记作a A,读作a属于A;如果对象a不是集合A的元素，就记作aA,读作a不属于A .又如：2 Z, 2.5Z二、应用数学：例1下列的各组对象能否构成集合：(1)所有的好人；小于xx的数；和xx非常接近的数；小

18、于5的自然数；(5) 不等式2x+1>7的整数解；方程x2+1=0的实数解.【思路分析】解这类题目要从集合元素的特征即确定性、互异性出发解：(1) ( 3)不符合集合元素的确定性，(2) (4) ( 5) (6)能够构成集合.例2如果，求实数x的值.【思路分析】由元素属于集合知，元素必等于集合中的某一元素；故需要分类讨论。 解：当=0时，有x=0,这时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去； 当=1时，有x=1或-1，经检验，x=1时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；X= -1时，经检验，符合题意！ 当=x时，有x=0或1,同上，经检验，均不合，舍去； 综上所述，=1 .【解后反思

19、】1 .思路的确定：2 .解题的规范性：3 .含参要讨论：4.结论要检验：元素的互异性、条件是否满足.【变式】1. 如果，y可能的取值组成的集合为.2. a、b、c为三角形ABC的三边，S=a,b,c,则三角形一定不是等腰三角形 例 3 设Ax| x2 4x B.x| x2 2(a 1)x a2 -1 =0，若 A=B,求 a 的值2 2解：A=0, -4 , B=x|x +2(a+1)x+a -1=0=0,-4,220,-4 为方程 x +2(a+1)x+a -仁0 的两根，二 a=1 .例4集合A=x|ax -2x+仁0,B=x| x -2x+a=0中，已知 A只有一个元素，求集合 A与B

20、 . 解：当 a=0 时，A= , B=0,2;当0时，对于集合 A有=4-4a=0a=1 ,此时 A=B=1.【解后反思】注意对方程，特别是一元二次型方程的最高次项系数是否为零的讨论(二) 常用数集及记法(1) 自然数集(非负整数集)：全体非负整数的集合，记作N;(2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N*或N+;(3) 整数集：全体整数的集合，记作Z;(4) 有理数集：全体有理数的集合，记作Q;(5) 实数集：全体实数的集合，记作R .(三) 有限集与无限集1、 有限集(finite set):含有有限个元素的集合；2、 无限集(infinite set ):含有无限个元素的集合；3、 空集(empty set):不含任何元素的集合，记作.三、理解数学：1. 用符号“”或填空：1 N , 1 Z , -3 N , -3 Q0 N , 0 Z , N , R2. “难解的题目；方程；平面直角坐标系内第四象限的一些点；很多多项式