高中数学基本不等式知识点归纳及练习题

1、高中数学根本不等式的巧用1根本不等式：ab< a_b(1) 根本不等式成立的条件：a>0, b> 0.(2) 等号成立的条件：当且仅当时取等号.2. 几个重要的不等式b aa k b(1)a2+ b2>2ab(a, b R)； (2) +->2(a, b 同号)；(3)ab<2(a, b R)；a b22 2a + b a b 2 2 ?(a，b R).3. 算术平均数与几何平均数a+ b设a>0, b>0,那么a, b的算术平均数为一厂，几何平均数为 ab,根本不等式可表达为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数.4. 利用根本不等式求

2、最值问题x>0, y>0,贝U(1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当xy时，x+ y有最小值是2 . p.(简记：积定和最小)2(2) 如果和x+y是定值p,那么当且仅当时，xy有最大值是牙.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，侧如a2+b2> 2ab逆用就是2 匕?ab<一吁飞专三低®b>Q)逆用就是ab< 号 _2(a,b> 0)等.还要注意一“添、拆项 技巧.和公式等号成立的条件等.两个变形a2 + b2 a + b一> 育 2>ab(a,b匕R，当且仅当一 a = b时取.

3、等号.)_；a + 朮 a + b 22_?2?''ab> 1亠*a>0, b>0,当且仅当a= b时取等号).a 土 b这两个不等式链用处很大，注意掌握它们.三个注意使用根本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等 的忽视要利用根本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2) 在运用根本不等式时，要特别注意“拆“拼“凑等技巧，使其满足根本不等式中.“正“定.“等的.条件(3) 连续使用公式时取等号的条件很严格一，要求同时满足任何一次的字母取值存在貝一致一.应用一：求最值1(2)尸x+ x例1 ：求以下函数的值域2 1(1) y= 3x + 百

4、解题技巧： 技巧一：凑项5例1 ：x，求函数4技巧二：凑系数例1当I 1二时，技巧三：别离x2 7x例3.求y x4xx(821 的最大值。4x 52x)的最大值。10x Lx1)的值域。技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的情况,应结合函数f (x) x 的单调性。x例：求函数y -x_L的值域。Jx2 4练习求以下函数的最小值，并求取得最小值时,x的值(1) yx 3x 1,(x 0)(2)y2x1二,X3 (3) y12si nx ,x (0,)sin x2.0x 1,求函数y _x(1 x)的最大值2x 3，求函数y . x(2 3x)的最大值.条件求最值

5、1.假设实数满足ab 2，那么3a 3b的最小值是1 1变式：假设log4x log4y 2，求的最小值.并求x, y的值x y技巧六：整体代换：屡次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否那么就会出错。192：x 0, y 0 ,且1,求x y的最小值。x y变式：(1)假设x, y R且2x y 1，求1丄的最小值x ya,b, x, y R且a b ，求x y的最小值x y2技巧七、x, y为正实数，且x 2 += 1,求x '1 + y2的最大值.1技巧八： a, b为正实数，2b+ ab+ a= 30,求函数y=的最小值.ab技巧九、取平方5、x，y为正实数，3x

6、+ 2y = 10,求函数 W 3x + 2y的最值.应用二：利用根本不等式证明不等式1.a,b,c为两两不相等的实数，求证:a2b2c2abbcca1)正数a, b, c满足a+ b+ c = 1，求证：(1 a)(1b)(1c)> 8abc例 6 : a、b、c R，且 a b c 1。求证：1 111 118abc应用三：根本不等式与恒成立问题19例：x 0, y 0且1，求使不等式xy m恒成立的实数m的取值范围。应用四：均值定理在比拟大小中的应用:例:b 1,P. lg a Ig b,Q解:(1) y= 3x 2 + 21-(lg a lg b), R 2o 2 13x &qu

7、ot;22xa b、lg( )，那么P,Q,R的大小关系是=.''6值域为.：6 ,(2)当 x> 0 时，y= x + 1 > 21x -= 2;x1当 xv 0 时， y= x+- =(x值域为( g,2U 2 ,解：因4x5 0,所以首先要“调整Q x5, 5 4x 0,y4x 24当且仅当：15 4x即x1时,符号，又(4x15 4x 51 、x )W x+ m)1 = 2x2)J 不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项,4x 132 3 15 4x5 4x口号上式等号成立，故当x 1时，ymax 1 °评注：此题需要调整项的符号，又要配凑项的系数

8、，使其积为定值。解析：由I 二知，利用根本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8为定值，故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。 当"，即x= 2时取等号 当x= 2时，y x(8 2x)的最大值为8。评注：此题无法直接运用根本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用根本不等式求最大值。解析一：此题看似无法运用根本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x + 1)的项，再将其别离。当 I ,即：I I时，y59 (当且仅当x = 1时取“=号)解析二：此题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=x+ 1，化简原

9、式在别离求最值。当 xnT,即 t=H“n ° 时，y 2(t 459 (当 t=2 即 x = 1 时取“=号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y mg(x)g(x)B(A 0,B0) ,g(x)恒正或恒负的形式，然后运用根本不等式来求最值。解：令 x 4 t(t2)，那么 yx2 5x24x 4厂1因 t 0,t -1，但 tt1因为y t -在区间1,t1不在区间2,单调递增，所以在其子区间，故等号不成立，考虑单调性。2,为单调递增函数，故y 。2所以，所求函数的值域为52,分析:“和到“积个缩小的过程，而

10、且 3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解:3a和3b都是正数，33b > 2 3a 3b 2,3a b 6当3a3b时等号成立，由a2及3aba3得a b 1即当a b 1时，33的最小值是6.错解：Q9xy12故x y min 12。错因：解法中两次连用根本不等式，在2 xy等号成立条件是x y，在丄x9等号成立y19条件是即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用根本不等式处理问题时，列出x y等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。9 - 10 6 10 16 y x y当且仅当- 9x时，上式等号成立,x y分析：因条件和结论分别是

11、二次和一次,可得x 4, y 12时，xy min16 。故采用公式2 . 2 abw a + b即 x1 + y 2 =2 x2粤22 + y2221 y-+ 2 2一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调二是直接用根本 不等式，对此题来说，因条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用根本不等式放缩后，再通过解不等式=2 (t + ¥ )+ 34V t + ¥法二:点评:二 ab< 18由得：令u= ：Jab那么 ab w3 2 ,1 y A1830 ab= a+2bvu2+ 2 2 u 30 w 0, 5 .,2 w u< 3 21ab

12、w 18,. y > 18此题考查不等式当且仅当t = 4,a + 2b> 2 2 ab即b= 3, a= 6时，等号成立。 30 ab> 2 2 abab (a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力;如何由不等的途径进行。、丄30 2b30 2b 2 b 2+ 30bb+ 1法一:a=,ab= b= b+1b+ 1由 a> 0 得，0v b< 152令 t = b+1, 1< t < 16, ab= 2t + 34t 31式aba 2b 30(a,b R )出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等b - Jab (a,

13、b R ),这样将条件转换为含ab的不等式，进而解得 ab的范围.2变式：1.a>0, b>0, ab (a+ b) = 1，求a+ b的最小值。2.假设直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。解法一：假设利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a+ b2w生乎，此题很简单,3x + -2yw 2 ,3x_) 2+2/) 2=23x + 2y = 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和 为定值条件靠拢。W 0,W= 3x+ 2y + 23x-2y = 10+ 23x-2yw 10+ (3x )2 - (2y )2 = 10+

14、 (3x+ 2y) = 20 Ww 20 =2.5变式：求函数解析：注意到又y °,当且仅当2xy 、2x1,2x(1 x 5)的最大值。2 22x 1与5 2x的和为定值。所以0 y 2匹31=5 2x，即x时取等号。2评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值，为利用根本不等式创造了条件。总之，我们利用根本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用根本不等式。分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用根本不等式可得三个“-bc，可由此变形入手。a2 连乘，又解:Q a、b、1。2 be。a同理-1b2 acb上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得11 b 111麵呼齊a b ca b c8。当且仅当-时取等号。3解：令x y k, x0,y