高中数学不等式知识点总结

1、占八、1不等式的根本性质对称性传递性b,b可加性同向可加性a b, c异向可减性a b, c可积性b, cacbca b, c 0同向正数可乘性ac bca0, c dacbd异向正数可除性0,0 c d平方法那么nna b (nN,且n1)开方法那么Ta Vb(n1)倒数法那么1 1a b；a2、几个重要不等式2 2 a b 2aba，,当且仅当b时取""号.ab变形公式：a2 b22根本不等式,当且仅当ab时取到等号变形公式：a用根本不等式求最值时 三相等 2 ab积定和最小，和定积最大，要注意满足三个条件“一正三个正数的算术一几何平均不等式3abc(a、b、cR当且仅

2、当a b c时取到等号a b C ab bc ca a, b R ，(当且仅当a b c时取到等号).333 a3 b3 c3 3abc(a 0,b0,c0)平均不等式:号.即调和平均变形公式：几何平均ab算术平均b2a2 b22平方平均.(a b)2,a，b R ,当且仅当ab时取""(当且仅当a b c时取到等号).假设abb0,那么_aab2当仅当a=b时取等号ba假设ab0,那么一2ab当仅当a=b时取等号bbm1anaaam1bnb ,(其中 a b 0, m 0, n 0)规律：小于1同加那么变大，大于 1冋加那么变小.当a 0时，x a x22 aXa或 x

3、a;2 2Xa x aaXa.绝对值三角不等式aba balb3、几个著名不等式幕平均不等式:22aia22 an-ai n二维形式的三角不等式：a2an)2.22、X-y-2 2X2y2,(Xi X2)2 (y y2)2 (Xi,yi,X2,y2 R).二维形式的柯西不等式:R.当且仅当ad bc时，等号成立(a2 b2)(c2 d2) (ac bd )2 (a,b, c, d 三维形式的柯西不等式：厲2 a22 as2®2 b2 b3 aQ azd asd2. 一般形式的柯西不等式：2 2(aiE2 2.an )gb22 .bn2)(aibia2b2. anbn ).向量形式的柯

4、西不等式:ur uU LTLTurururur设,是两个向量，那么当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时,等号成立.排序不等式排序原理:设 aia2.an , b1b2bn为两组实数Ci , C2 ,., Cn 是 bl,b2,., bn 的任-排列，那么albna2bn 1.an b|aicia?C2anCnaib1a2b2.anbn (反序和乱序和顺序和，当且仅当aia24an或bib2.bn时，反序和等于顺序和.琴生不等式：特例：凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数fX,对于定义域中任意两点Xl，X2Xl x2,有忤f(xQ f(X2)或2或f(4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有

5、：比拟法作差，作商法fxj 恨2.那么称fx为凸或凹函数、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等常见不等式的放缩方法:1 23a ；7 舍去或加上一些项，如24 将分子或分母放大缩小，iiii如k2k(k i)'2k2k(ki)'i.k2.k k(k N*,kii)等i 2(a2);22i22,k . k . k 一匸,iTl5、一元二次不等式的解法2求一元二次不等式ax bx c 0或0)(a 0,2b 4ac 0解集的步骤:一化：化二次项前的系数为正数 二判：判断对应方程的根 三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象 .

6、五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法 .，结合原式不等号的方向,分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切) 写出不等式的解集7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么f(x) g(x)f(x) g(x)f(x) g(x)f(x) g(x)g(x) 0“或规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解时同理)、f(x)a(a0)f(x)f(x)f(x)a(a0)f(x)f(x).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)2g(x)或 f(x) 0或 g(x) 0g(x)

7、f(x)g(x)f(x)g(x)2.f(x),g(x)f(x) g(x) f(x)g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小的一边分析求解9、指数不等式的解法：当a 1时，af (x)ag(x)f(x) g(x)当 0 a 1 时，af(x) ag(x) f (x) g(x)规律：根据指数函数的性质转化10、对数不等式的解法f(x) 0log a f(x) loga g(x) g(x) 0当 a 1 时，f(x) g(x)f(x) 0loga f (x) logag(x) g(x) 0.当 0 a 1 时，f(x) g(x)规律：根据对数函数的性质转化11、含绝对值不等式的

8、解法：a (a 0)a.定义法：a(a °)平方法：f(x) g(x) f2(x) g2(x).同解变形法，其同解定理有： x a a x a(a 0); x a x a或 xa(a 0); If(x)| g(x) g(x) f(x) g(x) (g(x) 0) f (x) g(x) f(x) g(x)或f (x)g(x) (g (x) 0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法2解形如ax bx c 0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有:讨论a与0的大小；讨论与0的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题不等式ax2 bxc 0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时b0,c0；a0当a0时0.不等式ax2 bxc 0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是a0当a 0时0.f(x) a恒成立f (x)maxa;f(x) a恒成立f ( x)maxa：1f(x) a恒成立f (x)mina;f(x) a恒成立f ( x)mina15、线性规划问题 常见的目标函数的类型：“