高中数学竞赛解题方法篇不等式

1、高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给岀了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广阔喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用1.排序不等式定理1设a1a?.玄门,b|b?.bn,那么有abna2bn 1.anb1倒序积和a1 br1a2bs.

2、anbrn 乱序积和a?b2. anbn 顺序积和其中ha,.,rn是实数组b-|b2,., bn 一个排列，等式当且仅当a1a2. an 或 bd . bn时成立.说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和二乱序积和二顺序积和.证明：考察右边不等式，并记S a1bra2br2.anbrn °不等式S aaa2br2.anbrr'的意义：当r,1,r22,., rnn时，S到达最大值a1b a2b2 . anbn.因此，首先证明an必须和bn搭配，才能使S到达最大值.也即，设rn n且bn和某个akk n搭配时有akbn an brnakbrn anbn. 1-1事实上，不等式

3、1-1告诉我们当rn n时，调换bn和brn的位置其余n-2项不变，会使和S增加.同理，调整好an和bn后，再调整an 1和bn 1会使和增加.经过n次调整后，和s到达最大值 a-ib-ia2b2.anbn，这就证明了a1br1a2 br2.anbrnaQa2b2. anbn .再证不等式左端，由 a1a2.an,bnbn 1.D及已证明的不等式右端，得例1 美国第3届中学生数学竞赛题设 a,b,c是正数，求证:abcabc(abc)abc3思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明证明：不妨设a b c，那么有lg a Ig b Ig c根据排序不等式有:以上两式相加，两边再分别加上

4、alga blg b clg c3(alg a blg b clg c) (a b c)(lg clga lg b)ab clg a b cabcabc3abc(abc) 3lg abc例2设a,b,c R，求证：a b2 ,2a bc2cb2b32a2bbccaab思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开,再用排序不等式证明证明：不妨设a b c，那么a2b2根据排序不等式，有两式相加除以2，得再考虑a3 b3c3，并且bccaab利用排序不等式, 两式相加并除以2，即得 综上所述，原不等式得证例3设oa1a2an,0b1b2bn，而 i1,i 2 ,., i n 与 j1, j2

5、,jn是1,2,., n的两个排列.n n a bjr s求证：r 1 s 1 r sn arbs(1-2)思路分析：条件中有两组有序实数，而式1-2 具有“积和形式，考虑使用排序不等式证明：令drn bj Js(r=1,2,，n )s 1 r显然d1 d2dnb2bn ,且由排序不等式nbsdr又因为所以nardrr 1故原式得证.2.均值不等式(n 1)a2anai dr且rr 1nai bjr sarbsnair1定理2设a1, a2,., an是n个正数,其中,nardr(注意到ar0)bjJsair dr那么 H (n)G(n)A(n)Q(n)称为均值不等式.1H(n)anG(n)

6、n a1a2.a1，A(n)aa?an分别称为a1,a2,.,an的调和平均数，几何平均数,算术平均数，均方根平均数证明：先证 G(n) A(n).c na1a2.an，令 biai原不等式b1 b2bnn其中b|b2.bn1卫2.耳)1Cn取 X1,X2,., Xn 使Xn 1,那么bnXn由排序不等式，易证XnX1下证 A( n) Q(n)因为2 2aia2-(ai na22 2 2 2a.)(aia2)(ai a3). (aian)所以(a2 a?)22(an i an)aia2anI 22aia22annYn2 2(a2a4).(a2an)an时，不等式取等号从上述证明知道，当且仅当a

7、ia2下面证明 Hn Gni i对n个正数Ja a 2i，应用 G(n) H (n)，得 an即 H (n)G(n)等号成立的条件是显然的例40i,x2 y20，求证：log a(axay) log a 2证明：由于a i，ax 0,ay 0，从而loga(axay叽(2 OVlOga2下证又因为x2(x4I)丄，等号在x=l这时y=时取得4所以loga(ax ay)lOg a 2iii证明：a i)(b i-)(c i ) ibca证明：令ay b工,c-，其中x,y,z是正实数，将原不等式变形为xzx(xyz)(y z x)(z x y) xyz记u x y乙V yzx, w z x y，

8、例5 (IMO设a,b,c是正实数，且满足 abc=i.注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数(2-i)如果恰有一个负数，那么 uvw 0 xyz， 2-i式成立.如果这三个数都大于 0,由算术一几何平均不等式同理可证，、vw y，:. wu z于是uv.,vwwu xyz即 uvw xyz，( 2-1)式得证.例 6 a-i, a2,., an0，且 印 a2 . an1.求证:a1 a2 a3a21a-a3an1 a1a2n2n 1思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为i 12 aj1).左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系,利用算术平均大于几何平均难

9、以求证，而左边各项-可看为倒a数形式，尝试用调和平均 证明：不等式左边化为2(厂71)，所以a1a2aiaiai，利用A(n) anH(n)有ai1)2n1n _22n22n2n22n2n 13 柯西不等式定理3设ai，b(i=1,2,n),恒有不等式i 1n2 .2a . bi 1aibi)2，当且仅当b1a1b2a2bn时,an等式成立.构造二次函数证明当a1a2an0或b2bn0时，不等式显然成立令 Aai2i 1aibi Ci 12b ，当 a1, a2,i 1,an中至少有一个不为零时，可知A>0构造二次函数fAx22Bx2C ,展开得:ai2x2a)xbi 20 故f x的判

10、别式4B24AC移项得ACB2，得证。向量法证明ai> a2>b,b2,bnCOSb|a? b?9nbn，b2n2aibii 1n2aii 1.2bi.当且仅i 1当cos ,1，即 , 平行时等号成立。数学归纳法证明2 2 2i当时，有a1b1a1 b2，不等式成立。2 2 2 2 2当 n=2时， a1b1 a2b2a1 b1a2 b22a1b1a2b2因为 a12b22 a22D2 2a1b1a2b2，故有 aQ a?b2 2 aj a?2 t2 g2当且仅当a1b2 a2b，即-1 2时等号成立。b1b2ii假设n=k时不等式成立，即当且仅当a1%时等号成立。b1b2bk那

11、么当n=k+1时，当且仅当 a1bk 1 b1ak1,a2bk1 bzak 1, akbk 1 bkak 1 时等号成立,即a1%b b2aK丄时等号成立。bkbk 1于是n=k+1时不等式成立。由i ii可得对于任意的自然数 n，柯西不等式成立。利用恒等式证明引卫2， ,an；gb2， ,bn有柯西一拉先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数格朗日恒等式由实数性质2 0R可得柯西不等式成立。以上给岀了柯西不等式的几种证法。不难看岀柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明 快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，假设将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形

12、，将会有更多收获。 柯西不等式的推广命题1假设级数nna：与bi2i 1i 1收敛,那么有不等式nah2ai证明:nn2ai ,i 1i 1bi2收敛,aib12aib2aibi收敛，且limna bilimn i 12ailimnbi2从而有不等式naibii 1aibi2成立。假设级数ai2与i 1i 12bi收敛，且对aibi2ainb：，那么对定义在a, b上的任意连续函数i 1f x , g x有不等式ba f xgxdxx dxag2 x dx证明：因为函数f x ,g x在区间a,b上连续，所以函数f2 x、g2 x在a, b上可积，将a, b区间n等分，取每个小区间的左端点为i

13、，由定积分的定义得:令a12f2 1 ,b122g1，那么nna；与b；i 1i 1收敛，由柯西不等式得n2nn22fi g i xfi xgi x7i 12i 1i 1从而有不等式nnnlimf i g ixlimf 2 i xlim2g ixni 1ni 1ni1b2b2 .b 2fax g x dxfax dxg x dx。a赫尔德不等式4设 a10, bi0,(i1 11,2, n), p 0, q 0,满足-p q1,那么:naibii 1nai1成立的充分必要条件是aipbqi 1,2, , n； 0.bqq，等号证明：首先证明 1p111时，对任何正数A及B,有ApP1 Bq q

14、AB.对凹函数f x In x,有:一,Bn p万aii 10r,代入以上不等式并对于biqqk 1,2,个不等式相Paiakbk1ppakahbiq1npaipi 11bkqnq bqi 111,即qpaibq1q成立。等号成立的充分必要条件是:pain p aii 1bq-J即nbqi 1例 7 设 X1,X2,., Xn，求证:2X12X22Xn 12Xn思路分析：注意到式子中的倒数关系,证明：因为 x1, x2,., xn所以X2X3例8实数a, b, c, d，思路分析:解：因为X2X3XnX1X1X2Xn.考虑运用柯西不等式来证明0，故由柯西不等式，得2 2Xn 1Xn 一为 X2

15、XnX1e满足a4(a2 b24(165e2 16eXn.d2c2e2)2b c d e 8,a2e联想到应用柯西不等式b2c2d22e216，求e的取值范围.d2) (1 1 1 1)(a2b2(8 e)2 ，0，所以 e(5e 16)0，c2 d2)评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值，十分典型，它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目2例 9 X1, X2, X3R 满足 X12X22X31，求X11 X；X3解：容易猜到X1X2X3X12X1X22X2X32X3为了证明这一点，利用柯西不等式,3X3(1X2)2Xi1只需要证明3X3(1i 1X2)233等价于23.35Xi1

16、33Xi1(3-1)由几何一算术平均不等式，得同理可证,2xi3、35X13?33X152x；3.35X23323X2，2 22X33.333(3X33)(3X33)X5以上三式相加，3-1 式得证，进而证得% _1X121冬%的最小值是S3，X2 1 X32当且仅当X1X3评述：柯西不等式中的qb的项如何拆成两个因式ai和bi的积,可以说是应用此不等式的主要技巧上例332、Xi (1 Xi )i 1X-2和Jx'1 x的积，正因为aibj可以按照我1 X2222，我们将X2中的Xi表示为3J3i 1们的需要加以分解，柯西不等式的应用更为广泛 例10试问：当且仅当实数x0,x5,.,

17、xnn 2满足什么条件是，存在实数y0, y5,., yn使得2 2 2 2Zoz1z2. z成立，其中zxk iyk, i为虚数单位，k=0,i,n.证明你的结论.高中联赛,2 2 2 2思路分析：将ZoZiZ2. Zn成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找1997)X(i 1,2,., n)的范围.2 2 2 2解：将ZoZiZ2.Zn转化到实数范围内，即nn2 2 2 2Xkxoyk yo,k 1k 1nXk ykXoyok 1(3-2)n假设存在实数 y°,yi,., yn使3-2成立，那么XkyJ2.k 1nn由柯西不等式可得xy： x：y2k 1k

18、 1(3-3)如果Xo29xk，由3-2可知 yoyk，从而k 1k 12 2Xoyonnyk与3-3矛盾(xik1k 1于是得2Xon2Xknnk 1(3-4)ax. 1/2 2.xn 1 xn反之假设3-4 成立，有两种情况:nxOxk，那么取ykXk，k=O,1,2, -,n，显然3-2 成立k 1nnxO2、口2Xk，记 a2XkxO o，那么x1,., xn不全为o.k 1k 1不妨设XnO，取 ykO, k O,1,2,., n 2，并且取 yn 12 , ynGx 1Xn易知3-2 成立.2综上，所求的条件为 xOn2Xk .4 切比雪夫不等式定理4设Xi,X2，Xn , yi,y2,，yn为任意两组实数，假设xiX2. Xn且yiyX,X2. Xn 且 yiy2. yn，那么1nnxyii 11 n 1 n(-X)(>nn i i/J(4-1 )右 X,X2.Xn且 y,y2 .yn 或 X,X2.Xn且 y,y2.yn，那么1n1 n 1 nxyi(-x)(/J(4-2 )ni 1niinii当且仅当x-ix2.Xn或y y2.yn时，4-i和4-2