高中数学离散型随机变量的分布列

1、离散型随机变量的分布列一.根本理论(一) 根本概念(1) 随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量来表示，随机变量常用希腊字母，等表示(2) 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量例如,射击命中环数是一个离散型随机变量(3) 连续型随机变量如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫连续型随机变量(二) 离散型随机变量的分布列1.设离散型随机变量可能取的值为Xx2， xn，取每一个值xi(i 1,2,3,4 )的概率P(Xi) Pi，那么称下表X1X2XnPP1P2Pi为随机变量的概率分

2、布，简称为的分布列.分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式；(B)组等式 (C) 压缩为一个帶i的形式2. 由概率的性质知，任一离散型随机变量的分布列具有以下二个性质：(A) Pi 0，i 1,2,3 ， (B)piP213. 求分布列三种方法(1) .由统计数据得到离散型随机变量分布列;(2) .由古典概型.求出离散型随机变量分布列;(3) .由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随-机变量分.布列- 4.离散型随机变量的期望与方差X1X2XnPP1P2Pi般地，假设离散型随机变量的概率分布列为那么称EX1P1X2P2xn pn为 的数学期望或平均数.或均值.D(Xi E )2 pi (

3、X2 E )2 P2(Xn E )£为 的均方差简称方X10Ppq(2) E(a b) aE2b (3) D(a b) a D差.、D叫标准差性质：(1) D E( 2) (E )2(三) 几种常见的随机变量的分布1两点分布如果随机变量X的分布列为其中0<p<1, q= 1 -p,那么称离散型随机变量 X服从参数为p的两点分布.2.二项分布在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量假设在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P( k) Ckpkqn k,q 1 p,k 0

4、,1,2,n,得到随机变量的概率分布如下01knpc 00 nCn p qc 11 n 1CnP qk k n kCnP qn n 0Cn p q称随机变量服从二项分布，记作 B(n,p),并记Cn pkqn k =b(k;n,p)3.超几何分布般地，在含有M件次品中的N件产品中，任取n件,其中恰有X件次品数，那么事件 X k发生的概率为P(x k)cNCN,k 0,1,2,3,L ,m,其中 m mi nM,n,n N,M N,n, M ,N N称分布列X01mPC n 0CMCN McNc1 cn 1 CM CN McNEl二.题型分析题型1.由统计数据求离散型随机变量的分布列题1. (2

5、021北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组9 909891 110分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学(1) 求这两名同学的植树总棵数y的分布列；(2) 每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望.审题视点此题解题的关键是求出 Y的取值及取每一个值的概率，注意用分布 列的性质进行检验.解(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4X 4二16,这两名同学植树总棵数Y的取值分别为17,18,19,20,21,2 1414141PZ 17戶斎8P(Y= 18戶萤4 P(Y= 19戶育4 P*20)=1T12 1pz 21戶 1那么随机变量Y的分布列是：Y

6、1718P1184192021111448(2)由(1)知 E(Y)二百 +7 +広 +才 +§二 19,设这名同学获得钱数为X元，那么X= 10Y,那么 E(X)= 10E(Y)= 190.题2.【2021高考真题广东理17】(本小题总分值13分)某班50位学生期中考试数学成绩的 频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是： 40,5050,6060,7070,8080,9090,100(1) 求图中x的值；(2) 从成绩不低于80分的学生中随机选取 2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为，求得数学期望.【答案】此题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总

7、体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。【解析】 Ftl 50 x+ 10 h 0.Q I + 10 x 0X94 4 I Ox ： ICOI ft<2由西聂知遒：/ftt F曲分的学土有12 沖分以P的学主白3人 陽机变量£的可能取低何<U2C* CF占-2)-题型2由古典概型求离散型随机变量的分布列题3. 2021年韶关二模有一个3X 4X 5的长方体，它的六个面上均涂上颜色.现将这个 长方体锯成60个1X 1X1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为(1)求0的概率；(2)求的分

8、布列和数学期望(1)60 个 1X1X1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，P(0)6 13分60 10(2)由:1可知P(0)1-P( 1)10 -11 P(30 2)1P(3)157分分布列012311122p1030515(10 分)11122 47E =0X +1X+2X+3X=( 121030515 30分)题4.【2021高考真题浙江理19】箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的时机均等)3个球，记随机变量 X为取出3球所得分数之和.(I )求X的分布列；(n)求X的数学期望e(x).【答案】此题主要考察分布列

9、，数学期望等知识点。(I ) X的可能取值有：3, 4, 5, 6.20C55P(X 3)亏P(X4)3C942C942c/v 、c5c：15C42P(X 5)3P(X6)3C942C942故，所求X的分布列为X3456201015521P542214214422142(n)所求X的数学期望E(X)为:51051i) 3 4 -5 6 422114216巳 X =i P(Xi 49121题型3.由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列 题5.【2021高考真题重庆理 17】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人1 1都已投球3次时投篮结束.设甲每次

10、投篮投中的概率为 -，乙每次投篮投中的概率为 一，且3 2各次投篮互不影响.(I) 求甲获胜的概率；(n)求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望【答案】(冷记“PAfffT为事件亿曲互斥楓件附t»*l«* 1'11* i, r< n, Wi i；小 ft(n垮的的舟叫mm勺i. ?, '出皐钉徉式划艸£) -' Pi 4() +P( I点!+ P(0 t'i i. > *rn, >J j r( +;门+ r( 1, h,)；*P(f - 2 < PU.ipX,* + ?(K£3) 呃瓦几瓦)

11、1;(X)*(l.>坤上初点有什畅列1f匚31211 _ 199Urd* Af 1 x y + 2 >t *3斗右题6.【2021高考真题全国卷理 19】乒乓球比赛规那么规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球 2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发 球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.(I)求开始第 4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(n) R表示开始第4次发球时乙的得分，求眉的期望.【答案】id x A 件；第1 ；文和第2凉适曲茨览蛛.甲北伺i好，=

12、叽1.去 川崔示家件；第3；忙幽妹、甲待i ihR我不vtt: ft fe w 4 畑坪用甲 > 乙的t C分为I m< 1 ) 囲=A, ,<+dL-.l ,円恥氐札 科血(l.kp, P(A, ) - 20.6 0.4 HJft.円恥 PiAr - J + -I, A二円片 H j厂 Fl 1JH 4)=DJ604 + D.aHl 0 -0.352、11 l P(： (1.6;0 1b_0的町他取帶为叽叫 GJ-代；、"" ； 0-MM * OJ44 r- 2-J>- *尸M =3) = P<J -J)?(A )A feOJ6xfl,frs

13、O.(W .鬥g TW丨尸心=2)-珂£三勺-10.144 - 0352-0.16=070*一10 分£= = oxr； q)t u 尸怎-1)+ 2«?(;2)+= 3)Z 0 408 + 2 K ft 352 * lx 0 06=1.400*12分题型4.两点分布题7.某公司有5万元资金用于投资开发工程，如果成功，一年后可获利12% 一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似工程开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次那么该公司一年后估计可获收益的期望是 .解析 设该公司一年后估计可获得的钱数为X元，那么随机变量 X的取值分别为50 0

14、00X 12%=6 000(元)，一50 000 X 50%= 25 000(元).由条件随机变量 X的概率分布列是X6 00025 000P2412525241因此 EX = 6 000 X 25+ 25 000 X 25= 4 760答案 4 760题型4.二项分布题8.广东省惠州市2021届高三第三次调研理科在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区， 圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的， 且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。1

15、求蜜蜂落入第二实验区的概率；2假设其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；3记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX。解：1记“蜜蜂落入第一实验区为事件 A, “蜜蜂落入第二实验区为事件 B.1分 依题意，3分7。 4 分85分V小椎体Ma椎体1 11s圆锥底面h圆锥3 423尙锥底面h圆锥A 78蜜蜂落入第二实验区的概率为2记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区为事件C，那么1P(C) C1097 170708 8丽 2°恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率702308分3 因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间

16、是不受影1响的，所以变量 X满足二项分布，即 X40,1 10分81随机变量X的数学期望 EX =40 X =5 12分8题9. 2021年茂名二模在我市“城乡清洁工程建设活动中，社会各界掀起净化美化环A,B境的热潮某单位方案在小区内种植 A, B,C, D四棵风景树，受本地地理环境的影响,1两棵树的成活的概率均为，另外两棵树C, D为进口树种，其成活概率都为a0 a 1，2设表示最终成活的树的数量1假设出现A,B有且只有一颗成活的概率与 C, D都成活的概率相等，求 a的值；2 求的分布列用a表示；3假设出现恰好两棵树成活的的概率最大，试求a的取值范围.解: 1由题意，得 2 1 1 a2，

17、二 a2 22的所有可能取值为0,1,2,3,4.0 1 2 0 2 1 2p( 0) C；(1)2c0(1 a)2(1 a)24 分241 1 1 0 2 0 1 2 1 1p( 1) C2-(1-)C2(1a) C2(1-) C2a(1a) -(1a)5 分222 22 1 2 0 2 1 1 1 1 0 1 2 2 2 1 2p( 2) C2 ( ) C2 (1 a)C2 (1)C2a(1 a) C2(1) C2a(1 2a 2a )222246 分2211 112 2ap( 3)C；()2C；a(1a)C； (1_)C；a22 2227 分P(得的分布列为:P 1(1 a)21(1 a

18、)4 21 2 1(3 )由 0 a 1,显然一(1 a) (1421 2-P( 2) p( 1) -(1 2a 2a2)412p( 2) p( 3)-(1 2a 2a )42341 “2、a2 a-(12a2a )4242aaa),-10分421(1a)-(2a244a1) 011分a1- 2 (2a1) 012分249 分由上述不等式解得a的取值范围是题型5.超几何分布题10.某校组织一次冬令营活动，有 8名同学参加，其中有 5名男同学，3名女同学，为了 活动的需要，要从这8名同学中随机抽取 3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学1求X的概率分布；2 求去执行任务的同学中有男有女的

19、概率.解1X的可能取值为0，1，2，3.CmCn m根据公式PX=m =cmcn M算出其相应的概率，Cm即X的概率分布为P X=1+P X=2=1£ + 1£=4£562856X0123P115155565628282去执行任务的同学中有男有女的概率为题型6.离散型随机变量的均值和方差题11. 2021 北京以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有 一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.Zffi牛g0XKy1 1101如果X= 8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； 如果X= 9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y

20、的分布列和数学期望.A 2 I222注：方差 s = n【X1 X +X2 X + Xn x ，其中 X 为 X1, X2,，Xn 的平均数解1当X= 8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10 ,所以平均数为：8+ 8+ 9 + 1035= = .X44 ；方差为:2 135 235 235 235 211s =盯(8 -) + (8 -) + (9 牙)+ (10 -)=花 当X= 9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11 ;乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4X 4= 16种可能的结果，这两名同学植树总棵数

21、Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“ Y= 17等价于“甲组选出的同 学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y= 17)2 1 1111=.同理可得 P(Y= 18) =-; P(Y= 19) =-; RY= 20) =-; P(Y= 21)=.所以随机变量1684448Y的分布列为:Y1718192021P1111184448EY= 17X P( Y= 17) + 18X P(Y= 18) + 19X P(Y= 19) + 20X P(Y= 20) + 21 X P(Y= 21) = 17X 181111+ 18X ：+ 19X 二 + 20X

22、 匚+ 21X ；= 19.4448题12. (2021 福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数 X依次为1,2，8,其中X>5为标准A, X>3为标准B甲厂执行标准 A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准 B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(1)甲厂产品的等级系数 X的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X的数学期望 日X1)= 6,求a, b的值;(2)为分析乙厂产品的等级系数%,从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3533855634634753485383

23、43447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望. 在(1)、(2)的条件下，假设以“性价比为判断标准，那么哪个工厂的产品更具可购置性? 说明理由.注：(1)产品的“性价比产品的等级系数的数学期望产品的零售价(2) “性价比大的产品更具可购置性.审题视点(1)利用分布列的性质 P+ F2+ F3+ F4= 1及E(X) = 6求a, b直 先求X2的分布列，再求E(X2), 利用提示信息判断.解 因为 日 X1)= 6,所以 5X 0.4 + 6a+ 7b + 8X 0.1 = 6,即 6a+ 7b= 3.2.又由Xi的概率分布列得 0.4 + a +

24、 b+ 0.1 = 1，即a+ b= 0.5.6a+ 7b= 3.2 ,a= 0.3 ,由解得a+ b= 0.5 ,b= 0.2.(2)由得，样本的频率分布表如下：X345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)= 3X 0.3 + 4X 0.2 + 5X 0.2 + 6X 0.1 + 7X 0.1 + 8X 0.1 =4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. 乙厂的产品更具可购置性理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，

25、价格为6元/件，所以其性价比为6= 1.64.8因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为 =1.2.据此，乙厂的产品更具可购置性.?离散型随机变量的分布列?作业1. 一袋中装有编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码.1求X的概率分布；2求X> 4的概率.解 1 X的可能取值为3, 4, 5, 6,从而有：P( X=3)=CHo,P (X=4)=c1 C2 = 3=肓=习P (X=5)1 2P( X=6)故X的概率分布为X34562) P (X>4) =P (

26、X=5) +P (X=6) =2 2=(.101052. 2021 浙江某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假 定该毕业生得到甲公司面试的概率为彳，得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司1是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试的公司个数假设px= o= 12,那么随机变量X的数学期望 曰X =.审题视点分别求出随机变量 X取每一个值的概率，然后求其期望.1解析由条件FX= 0 = 121 1 1即1 f2x3 = 12 解得 p= 2随机变量X的取值分别为0,1,2,3.2 1 2 11 2 1RX= 1) = -X 1+ 2XX 二 =一，32323&

27、#39;2 112125P(X= 2) = 2X-X-X 1 + 1 X -=3 223212'P(X= 3) = | X因此随机变量X的分布列为1 1日为=0X12 +1X 3+ 2XX0123P115112372613X 6=533. (广东省江门市2021届高三数学理科3月质量检测试题)12甲、乙两人各进行 3次射击，甲每次击中目标的概率为一，乙每次击中目标的概率 一，23(I )记甲击中目标的次数为 E,求E的概率分布及数学期望EE;(II )求甲恰 好比乙多击中目标 2次的概率.(1门 解；(I) P(t= CfC-'f = -. P(£=l)=I nF导岭

28、8-的概率分布如"F表;4分""6分F5=0 i+1 -+2 -+3-l = 1.5.(或 El-15),vwn-gggg-vvXi-2("设思烘赵击中目标学为事件舟到辭目标漳賂韓忠目标侃为雷件打史協出 目标3次劇砂目标1汶为雪件野那么上=旳+比，E：，坯为互斥事件.* 二？分31121)=to+m)鳥 ii 分所必甲恰好瞬蘇抚目标U欠的概率为寺.-12244. 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出 4人参加数学竞赛考试，用 X表示其中的男生人数，求 X的概率分布 解 依题意随机变量 X服从超几何分布，所以 p( X=k)=

29、-c6ccLCfo(k=0, 1 , 2, 3, 4).P (X=0)L, P(X=1)=21035P(X=2)=C6C4 =3, P(X=3)=C10 7cgc4 =_8"CT =21P( X=4)=0 4 c4 6c4A13AA 2因此，R X= 1) = A = 7，Rx= = a7 = 7，AA 6AAi 3RX= = A = 35，RX= = A4 = 35，AA 1RX=有=35.那么随机变量X的分布列为a3 a4a3 a4a3 33甲取到白球的概率为P= A1 讥+7T=76 1 22 += 353535'X12345P3263177353535X的概率分布为X

30、01234P14381210357211414分15. 袋中装有黑球和白球共 7个，从中任取2个球都是白球的概率为 7-现有甲、乙两人从袋中 轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的时机是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数.1求袋中原有白球的个数；2求随机变量X的分布列；3求甲取到白球的概率.审题视点对变量的取值要做到不重不漏，计算概率要准确.CX 1解1设袋中白球共有x个，根据条件C2=于6. (2021 江西)某饮料公司招聘了一名员工， 现对其进行一项测试， 以便确定工资级别. 公 司准备了两种不同的饮料共 8

31、杯，其颜色完全相同，并且其中 4杯为A饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后， 从8杯饮料中选出4杯A饮料.假设4杯都选对，那么月工资定为3 500元；假设4杯选对3杯，那么月工资定为 2 800元；否那么月工资定为 2 100元.令 X表示此人选对 A饮料的杯数假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1) 求X的分布列；(2) 求此员工月工资的期望.解(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4,C4C4"RX= i) = c( i = 0,1,2,3,4),X01P1870352341881353570 令Y表示此员工的月工资，那么Y的所有可能取值为 2 100, 2 800,3 500,那么P(Y= 3 500) =p( x= 4)= 70,P(Y= 2 800) = P(X= 3) = 35,53RY= 2 100) = RXW 2) = 70，11653EY) = 3 500 X 70 + 2 800 X 方 + 2 100 X 亓=2 280 ,所以此员工月工资的期望为2 280元.7. (2021 湖北理，17)袋中有20个大小相同的球，其中记上 0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4 ).现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1) 求 的概率分布、期望和方差；(2) 假设 =a +b,曰)=1, D(