高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

1、参数方程极坐标系解答题2 21 曲线C 4 +=4，直线(t为参数)考点： 专题： 分析：解答:解: ( I )对于曲线C:=1，可令 x=2cos 0y=3sin 0,故曲线C的参数方程为Cs=2cos r|y=3sin 9,(0为参数).对于直线I:r - 2t (I )写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程.(n )过曲线C上任意一点P作与I夹角为30°的直线，交I于点A，求|PA|的最大值与最小值.参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系.坐标系和参数方程.(I )联想三角函数的平方关系可取x=2cos久y=3sin B得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线I的普通方程；

2、(n)设曲线C上任意一点P (2cos 0, 3s inB).由点到直线的距离公式得到P到直线I的距离，除以|PA|的最大值与最小值.sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得由得：t=x - 2，代入 并整理得：2x+y - 6=0;(n )设曲线 C上任意一点 P (2cos0, 3sin 0).| 4cob6 +3sin 9 - 6 |P到直线I的距离为其中a为锐角.当sin (0+ a) =- 1时，|PA取得最大值，最大值为当sin ( 0+ a) =1时，|PA|取得最小值，最小值为点评:此题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，表达了数

3、学转化思想方法，是中档题.2.极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线I的极坐标方程为:广I-Psin c 6，曲线C的参数方程为：0沪(a为参数).E 2|y=2sina(I)写出直线I的直角坐标方程；(n)求曲线C上的点到直线I的距离的最大值.考点：参数方程化成普通方程.专题：坐标系和参数方程.分析：(1)首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；(2)首先，化简曲线 C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解解答：解：(1)-直线1的极坐标方程为：|6 2，胰。1小1-P (sin 0- - cos 0)=., . ：I . 2Z 1k

4、=2+2cos y=2sin<ta为参数. x- _y+1=0 .(2)根据曲线C的参数方程为:得x - 2 2+y2=4 ,它表示一个以2, 0为圆心，以2为半径的圆, 圆心到直线的距离为：d_3d=2 曲线C上的点到直线I的距离的最大值点评： 此题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题.3.曲线C1：- 4+casty=3+sintt为参数，C2：x-8cos RLy=3sin0B为参数.1化Cl, C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;2假设C1上的点P对应的参数为7T,Q为C2上的动点，求 PQ中点M到直线C3：Ly= - 2+t

5、t为参数距离的最小值.考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.专题：计算题；压轴题；转化思想.分析：1分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线 C2表示一个椭圆；2把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出 Q的坐标，利用中点坐标公式表示出 M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出 M到直线 的距离，禾U用两角差的正弦函数公式化简后，禾U用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.解答:解：1把曲线C1：t为参数化为普通方程得:2 2(x+4)+ (y- 3)=1 ,所以此曲线表示

6、的曲线为圆心-4, 3,半径1的圆;把C2：y=3sin9化为普通方程得:=1 ,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上，长半轴为7T2把t=代入到曲线8,短半轴为3的椭圆；C1的参数方程得：P -4, 4,把直线C3：t为参数化为普通方程得：x- 2y - 7=0 ,y= - t设 Q 的坐标为 Q (8cos 0, 3sin 0),故 M (- 2+4cos 0,sin 0)14cos R - 13 | | 5sin (口 - B ) - 13 |1VsVs所以M到直线的距离,(其中 sin, cos a5从而当cos 0=上，sin 9=-上时，d取得最小值 一1555灵

7、活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题,简求值，是一道综合题.4.在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为C二亦心 ° +卫，直线I的参数方程为! “二土t为参数，直线I和圆C交于A , B两点，P是圆C*4y=-1+2721上不同于A , B的任意一点.I 求圆心的极坐标；n求厶PAB面积的最大值.考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.专题：坐标系和参数方程.分析:解答:I 由圆C的极坐标方程为 g五® B+专，化为p2=2典乎-爭P sine ，把 代入即

8、可得出.y=P sin9d，再利用弦长公式II把直线的参数方程化为普通方程，禾U用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离可得|AB|=2-.利用三角形的面积计算公式即可得出.解：I 由圆 C 的极坐标方程为 p =21/205 G ，化为 P=Q亡占 8 -sin 9 ,把"" -Lz 代入可得：圆C的普通方程为x2+y2 - 2x+2y=0，即x - 1 2+ y+1 2=2 ._y=psine 圆心坐标为1,- 1,圆心极坐标为血，罟；n 由直线I的参数方程y=-B272tt为参数，把t=x代入y= - 1+2g'T|t可得直线I的普通方程:点评:5.在平面直角

9、坐标系xoy中，椭圆的参数方程为 x/Scos 8|y=sin 6歸为参数以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极圆心到直线I的距离|AB|=2-.,；-2，点P直线AB距离的最大值为厂V W2_W5S 匸 T、 X 7 mas 2339此题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三 角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.坐标系，直线的极坐标方程为TTH+ :,.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用.专题：计算题；压轴题.分析：由题意椭圆的参数方程为f K=V3C0S e为参数，直线的极坐标方程为

10、2Pcos 6+二珈.将椭1 y=sin93圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.解答：解：将2P 89 E+二二矩化为普通方程为 V3Y- Ve-0 4分 点V3COE0 ? sin 9 到直线的距离1侵託-岳费-3娠| 1佑曲日+号-丽6分所以椭圆上点到直线距离的最大值为,最小值为VE. io分点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不冋的方程 进行求解，这也是每年咼考必考的热点冋题.4E+Rt为参数，假设以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极56.在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为y= -1 - 7

11、I5坐标系，曲线C的极坐标方程为 P=二cos 肝.41求直线I被曲线C所截得的弦长；2假设M x，y是曲线C上的动点，求x+y的最大值.考点：参数方程化成普通方程.专题：分析：解答:计算题；直线与圆；坐标系和参数方程.1将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即 可求弦长.2运用圆的参数方程，设出 M,再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值.4e+r5电y= -1 -351解：1直线I的参数方程为t为参数，消去t,可得，3x+4y+1=0 ;二，由于尸叫罟迅裁聲“企，2 2 2即有p = pcos 0- pin 0,那么有x

12、 +y - x+y=0，其圆心为I弓-对1丨圆心到直线的距离 d= =二,V9+1&10故弦长为右-护2电-血冷；2可设圆的参数方程为:0为参数那么设M 丄卫,2 2一三【：，那么 x+y=),V2 fixV2 * -cos 已 +sin由于BR,那么x+y的最大值为1.点评： 此题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题.P点的极坐标为7 .选修4 - 4:参数方程选讲平面直角坐标系 xOy，以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,线C的极坐标方程为：| . I- - .I 写出点P的直角坐标及曲线 C的普通

13、方程;n假设Q为C上的动点，求 PQ中点M到直线I:13+21(产- 2+tt为参数距离的最小值.考 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.占：八、专坐标系和参数方程.题：分 1利用x= pcos 0, y= pin 0即可得出；析：2利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出, 解解1 / P点的极坐标为厂：.,答：xp=2V3cos-=2V3 x=3,yp=2V3sitry=2V3点P的直角坐标 d 5把 P2=x2+y2, y= ein0 代入 p 24-2V3P sin =1 可得耳 f+2逅尸1，即耳莓y+J§2=4 曲线C的直角坐标方程为s &#

14、39;十y+範2=4,.2曲线C的参数方程为0为参数，直线I的普通方程为x- 2y - 7=0设 J 1 - 1那么线段PQ的中点11 Vs10占八、评:1爭*9 - 2sin9 - 71 | cos 9 '-2sin0 -| 乜sin ( 6 - tp ) +耳Vl2+22Vs10亠那么点M到直线I的距离点M至煩线I的最小距离为此题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的 单调性等根底知识与根本技能方法，考查了计算能力，属于中档题.8在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程(0为参数).以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(

15、I)求圆C的极坐标方程;P (sin册) =31,射线OM ：匸与圆C的交点为O, P,与直线I的交点为(n)直线I的极坐标方程是Q,求线段PQ的长.考点： 专题： 分析：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系. 直线与圆.(I)圆C的参数方程! x l+c罟“ (o为参数)消去参数可得：(x - 1) 2+y2=1 .把x= pcosB, y= psin B代入 y=sin(f.可得普通方程：直线I.丨一.：；，化简即可得到此圆的极坐标方程.(II)由直线I的极坐标方程是 p( sin9 )=3(空，射线OM ：射线OM厂-，分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出.解答

16、:x=L+cos Qy=sin0把x= pcos 0, y= psinB代入化简得：p=2cos 0,即为此圆的极坐标方程.(II )如下图，由直线I的极坐标方程是 p (sin 0+左ms B ) =3衙，射线解：(I)圆C的参数方程(0为参数).消去参数可得：(x- 1)2+y2=1.OM :可得普通方程：直线I * :"射线OM:.联立y=V3x，解得联立y=V3x(k - 1 )，即Q :.点评:识与根本方法，属于中档题.P -两点间的距离公式等根底知(CL9.在直角坐标系xoy中，曲线Ci的参数方程为(a为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建(y=sinCl立极坐标

17、系，曲线 C2的极坐标方程为 pin(册卫)=4寸卫.4(1) 求曲线Ci的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；考点： 专题： 分析：(2) 设P为曲线Ci上的动点，求点 P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标.简单曲线的极坐标方程.坐标系和参数方程.(1)由条件利用同角三角函数的根本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x= pcos 0> y= psin 0,把极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求得椭圆上的点 P (t/SccsCI ,)到直线x+y - 8=0的距离为I rr 丄 n o I口+- 8 |a的值，从而求得点可得d的最小值，以及此时的V

18、2V2的坐标.解答:解：(1)由曲线Ci：z-/3cos 厲，可得7Fcosay=sinCl，两式两边平方相加得:即曲线Ci的普通方程为:/二 1 .11 ： ' '-广，1,TT由曲线C2： Q虽口(B十亍二顼得:即 psin 0+ pcos 0=8，所以 x+y - 8=0,即曲线C2的直角坐标方程为：x+y - 8=0 .(2)由(1)知椭圆Ci与直线C2无公共点，椭圆上的点 P (后口耳或口任)到直线x+y - 8=0的距离为 恳品盼血8|加就(口碍)-81d= 忑 = V2 ，当si口)二1时，d的最小值为|顼，此时点P的坐标为(春 吉).Z-i£点评:此题

19、主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于根底题.10.直线I的参数方程是r V2+pt尸专t+辺(t为参数)，圆C的极坐标方程为兀f=2cos ( 0 -).求圆心由直线C的直角坐标；I上的点向圆C弓I切线，求切线长的最小值.考点：简单曲线的极坐标方程.专题：计算题.分析：(I) 先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用pcos 0=x , pin 0=y , p=x2+y2，进行代换即得圆 C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标.(II) 欲求切线长的最小值，转化为求直线I上的点

20、到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.解答:解：(I) -V2sin *，心二伍Rg/ -逅p sin 9，即-+厂八：(II) 直线I的普通方程为嘗呼+S I -7=5圆心C到直线I距离是)-=,圆心直角坐标为5分点评:直线I上的点向圆C引的切线长的最小值是一 -二 (10 分)此题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.体会在极坐标系和平面直角11. 在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线

21、I的参数方程为盖土 , (t为参数)，曲lyal线C1的方程为P ( p- 4sinB) =12，定点A (6, 0),点P是曲线Ci上的动点，Q为AP的中点.(1) 求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2) 直线I与直线C2交于A , B两点，假设|AB|支.；，求实数a的取值范围.考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.专题：坐标系和参数方程.分析：(1)首先，将曲线 C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点直角坐标方程；(2)首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围.解答：解：(1)根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2

22、- 4y=12，设点 P (X, y')，Q (x，y)，根据中点坐标公式，得Q的轨迹C2的J =2y代入 x2+y2- 4y=12，圆C的直角坐标方程为 / + y '-寸整+飞迈尸0，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：(x - 3) 2+ (y - 1) 2=4，(2)直线I的普通方程为：y=ax，根据题意，得1丨/厂解得实数a的取值范围为：0,-.4点评： 此题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识， 考查比拟综合，属于中档题,解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解.12. 在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆Ci,

23、直线C2的极坐标方程分别为p=4sin 0, pcos(II) =2 .：.4(I )求Ci与C2交点的极坐标；(n)设p为Ci的圆心，q为ci与C2交点连线的中点,直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a,b的值.考点： 专题： 分析：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程. 压轴题；直线与圆.(I)先将圆Ci,直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；(II )由(I)得，P与Q点的坐标分别为(0, 2), (i , 3),从而直线PQ的直角坐标方程为 x - y+2=0 ,由参22数方程可得y=解答:解：(I)圆Ci,

24、直线C2的直角坐标方程分别为2 2x + (y - 2)=4, x+y - 4=0 ,，从而构造关于a, b的方程组，解得a, b的值.x+y- 4=0y).(楠,(II )由(I)得，P与Q点的坐标分别为(0, 故直线PQ的直角坐标方程为 x - y+2=0 , 由参数方程可得y=x -+1,2 2 Ci与C2交点的极坐标为(4,7TT2), (1 , 3),).2丄ab,厂 _VL=2解得 a=- 1, b=2.点评：此题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于根底题.13 .在直角坐标系xOy中，I是过定点P (4, 2)且倾斜角为a的直线

25、；在极坐标系(以坐标原点0为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为 p=4cos B(I )写出直线I的参数方程，并将曲线 C的方程化为直角坐标方程；(n )假设曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围.解答:解：(I)直线I的参数方程为 卜(t为参数).ly=2+tsin<L曲线C的极坐标方程p=4cos 0可化为p2=4 pcos 0. 把x= pcos0, y= psin0代入曲线C的极坐标方程可得 x2+y2=4x，即(x- 2) 2+y2=4.(II )把直线I的参数方程为| 1 4+tCOS ( t为参数)代入圆的方程可

26、得：t2+4 ( sin a+cos a) t+4=0 . y=2+tsirLC曲线C与直线相交于不同的两点M、N ,2 =16 ( sin a+cos a) - 16 > 0,二 sin acos a> 0，又 a0 , n),又 t1 +t2= - 4 ( sin a+cos a) , t1t2=4.IT |PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sin a+cos a=gin ( +- ),- L .+点评:|PM|+|PN|的取值范围是此题考查了直线的参数方程、.圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题.14 .在直角坐标系xOy中，直线I的参数方

27、程为系，O C的极坐标方程为 0= :;sin 0.(t为参数)，以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标(I )写出O C的直角坐标方程；(n ) p为直线I上一动点，当p到圆心C的距离最小时，求 p的直角坐标.考点：点的极坐标和直角坐标的互化.分析:专题：坐标系和参数方程.(I)由O C的极坐标方程为0=3sin 0.化为p2=2-£P吕门日，把P二畫亠丫代入即可得出; I y= P sin9(II )设P(3+gt,爭t),又C (Q，齿).利用两点之间的距离公式可得|PC|=/t，+12，再利用二次函数的性质即可得出.解答： 解：(I)由OC的极坐标方程为 0=2.：；sin

28、 0. p2=2侶P 就口 0，化为 x2+y2=2亦y.配方为 + :=3-(II)设 P 1 +.1 ,又7 I|PC|=丝；因此当t=0时，|PC取得最小值2二.此时P (3, 0).点评：此题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理兀0=一 ( pR),曲线Ci, C2相交于A, B两点.能力与计算能力，属于中档题.15 .曲线C1的极坐标方程为 p=6cosB,曲线C2的极坐标方程为(I )把曲线Ci, C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(n)求弦ab的长度.考点：简单曲线的极坐标方程.专题：计算题.分析： (I )禾9用直角坐标

29、与极坐标间的关系，即利用Ci的直角坐标方程.(n)利用直角坐标方程的形式，先求出圆心(pcos 0=x, psin 0=y, p2=x2+y2，进行代换即得曲线C2及曲线3, 0)到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的解答:长度.解: ( I )曲线 C2： p ( pR)4表示直线y=x,2曲线 Ci: p=6cos 0,即 p =6 pcos 0 所以 x2+y2=6x 即(x - 3) 2+y2=9(n ) /圆心(3, 0)到直线的距离l的极坐标方程为圆C的参数方程为-Arsin(0为参数,r> 0)r=3所以弦长AB=二一 -?.弦AB的长度点评：本小题主要考查圆和直

30、线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等根本方法，属于根底题.16 .在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线(I )求圆心C的极坐标;(n)当r为何值时，圆C上的点到直线I的最大距离为3.考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系.专题：计算题.分析：(1)利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线1的普通方程；利用冋角一角函数的基本关系，消去0可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可.(2)由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点 最后列出关于r的方程即可求出r值.)里，得2解答：解：由跡一P到直