高中数学极值点偏移问题

1、一：极值点偏移俗称峰谷偏问题的定义对于可导函数y二fx在区间a,b 上只有一个极大小值点？?0,方程f x=Ofx二m的解分别为?1,?2且a < ?1 < ?0v?2<b.假设?i+?2工?0,那么称函数fx在区间a,b 上极值点？?o偏移；1 ?12?2 > ?0,那么称函数fx在区间a,b 上极值点？?0左偏移;2 ?1+?2< ?o,那么称函数fx在区间a,b 上极值点？?o右偏移;二：极值点偏移的判定定理对于可导函数y二fx在区间a,b 上只有一个极大小值点？?0,方程f x=0 (f(x)二 m的解分别为?1,?2且a < ?1<?2<

2、;b.(1)假设f(?1) <?1+ ?2?(2?0- ?2)那么 七三<?0即函数f(x)在区间a,b 上极大值点？?0右偏;即峰偏右(2)假设f(?1) <?1+ ?2?(2?0- ?2)那么二v>?0即函数f(x)在区间上a,b极小值点？?0左偏；即谷偏左(3)假设 f (?1) >?1+ ?2?(2?0- ?2)那么 >?0即函数f(x)在区间上a,b极大值点？?0左偏;即峰偏左(4)假设f(?1) >?(2?0- ?2)那么?1+?2<?0即函数f(x)在区间上a,b极小值点？?0右偏；即谷偏右x=?0y=f(x)A：拓展:1) 假设f

3、(a x) f(b x),那么f(x)的图象关于直线x a b对称；特别地，假设2f (a x) f (a x)(或f(x)=f(2a-x),贝U f (x)的图象关于直线x a对称2) 假设函数f(x)满足？x (0,a)有以下之一成立： f(x)在(0,a)递增，在(a,2a)递减，且 f(a-x)<( >) f(a+x)(f(x)v(>)f(2a-x) f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且 f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)贝V函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)

4、其中 极大值左偏(或右偏)也称峰偏左(或右)极小值偏左(或偏右)也称谷偏左(或右)；性质：1) f(x)的图象关于直线 x a 对称假设？1,?2 (0,2?)?1 工?2 那么？?1+?2 二?1+ ?22?<=>f(?i) = ?(?2),( ? (?1) + ? (?2)=0,?= 0)；2) 函数是满足条件的极大值左偏(峰偏左)假设？?1,?2 (0,2?)?1工?2那么/?1 + ?2f (?1) = ?(?2)那么？?1 + ?2 > 2a,及？< 0极值点偏移解题步骤： 求函数f(x)的极值点？?0 ； 构造函数F(x)=f(x+?0)-f(?0-?)(F

5、(x)=f(?0- ? )-f(?0+?),F(x)=f(x+ 2?0)-f( - ?) , F(x)=f(x)-f(2?0- ?)确定 F(x)单调性 结合 F(0)=0 (F(-?o)=O,F( ?o) = 0)判断 F(x)符号从而确定 f(x+ ?o),f( ?o-?)( f(x+ 2?o)与 f( - ?); f(x)与 f( 2?o - ?)的大小关系；答题模式：函数y=f(x)满足f (?1) = ?(?2),?0为函数y=f(x)的极值点，求证：？ + ?2 < 2?0 求函数f(x)的极值点？?0 ； 构造函数F(x)=f(x+ ?0)-f( ?0 - ?)确定F(x)

6、单调性 判断F(x)符号从而确定f(x+ ?0),f( ?0 - ?)的大小关系；假设F(x)在(0,+ %)上单调递增那么F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+ ?°)>f( ?0- ?)1. (2021年全国I高考)函数'-'-有两个零点.设xi, X2是的两个零点，证明：+X2<2.2. (2021年高考天津卷理科21)(本小题总分值14分)函数 f(x)=xe -x (x R).(I)求函数f(x)的单调区间和极值；(n)函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线 x=1对称，证明当x>1时，f(x)>

7、g(x)(川)如果 x| x2,且 f(xjf (x2),证明 x1 x2 2证明：由题意可知 g(x)=f(2-x), 得 g(x)=(2-x)ex 2令 F(x)=f(x)-g(x), 即 F(x) xe x (x 2)ex 2于是 F'(x) (x 1)(e2x 2 1)e当 x>1 时，2x-2>0,从而 e2x-2 10,又 ex 0,所以 F' (x)>0,从而函数 F( x)在1,+s)是增函数。又 F(1)= e-1 e1 0,所以 x>1 时，有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).m)证明：(1)假设(x1 1

8、)(x2 1) 0,由()及 f(x 1) f(x 2),那么为x2 1与x1x2矛盾。(2)假设(x1 1)(x2 1) 0,由()及 f(x 1) f(x 2),得x1 x2与x1x2矛盾。根据(1) (2)得(x1 1)(x2 1) 0,不妨设 x1 1,x2 1.由(U)可知，f(x 2)>g(X2),那么 g(x 2) = f(2-x 2)，所以 f(x 2)>f(2-x 2),从而 f(x 1)> f(2-x 2) 因为X2 1，所以2 X2 1，又由(I)可知函数 f(x)在区间(-s, 1)内 事增函数，所以 洛>2 X2,即人X2>2.3.函数f

9、 (x) ln x ax2(2 a)x . (I )讨论f (x)的单调性；(II )设a 0，证明：当0 x丄时，f (丄x) f (丄x);aaa(III )假设函数y f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为X。， 证明：f (X0)V 0.解：(I ) f (X)的定义域为(0,), f (X)丄 2ax (2 a) (2x 1)(aX 1).XX(i)假设a 0,那么f (x) 0,所以f(x )在(0,)单调增加.1(ii )假设a 0,那么由f (x)0得x -,且当a所以f (x)在(0, )单调增加，在(-,)单调减少.aa(II )设函数g(x) fx)

10、fx),那么aa当0 x1时,g (x)0,而g(0)a0,所以g(x)0.故当011x时，f(x)aa1f(x).-a8分(III )由(1 )可得，当a0时，函数yf(x)的图像与x轴至多有一个交点,11故a 0，从而f(x)的最大值为f(_),且f(_)0.aa、i不妨设 A(xi,0), B(x2,0),0XiX2,那么0 XiX2.af (x1)0.从而 x2-Xi,于是X0-a2 a由(II )得 f (2 x-i)f (丄 1 X-| )aa a由(I )知，f (x。)0.1有两个极值点？?1 , ?2且 ?1 <4. 函数f (x) = xlnx -刁？?2- ?(m

11、R)假设 f(x)?2求证:?1?2 > ?25. 函数f (x) =?- ?(a R)假设f(x)有两个不同零点？1,?2且?1 < ?2其极值点为？°求证:？1 + ?2 > 2？?1 + ?2 < 2?° ?1?2 < 1(函数f (x) = ? - ?+ ? (a R)，其图象与轴交于 A(?1,0)B( ?2,0)两点且？ < ?2，求证：？? (V?1?2) < 0)6. 函数f (x) =ln ?(x+ a) - ?(a > 1)假设 f(x)有两个不同零点?1,?2且?1 <?2求证：？ + ?2 <

12、; 0_17. 函数f (x) =a- ?- ?(a R)假设f(x)有两个不同零点 ？?1,?2且？?1 <?2求证：2 < ?1 + ?2 < 3?-1-128. 函数 f (x)二 xlnx f( ?1) = f (?2)且0 < ?合 < ?2 < 1 求证:-< ?1 +?2< 11 <2v?1 + v?2 < 而9. 函数f (x) =l n ?x- ?(a R假设f(x)有两个不同零点?1,?2且？ ?1 < ?2求证：？?？?2 > ?210. 函数 f(X)二 X- ? (?> 0) f( ?1)=

13、 f (?2)= 0 且?1 < ?2 求?1?2< ?11. 函数f (x) = ?- ?- ?(a , b F)假设 f(x)有两个不同零点？1,?2 且1?1 < ?2求证：?1?2< ?12. 函数f (x)二？2 - (?- 2)?- ?(a R 假设 f(x)=c 有两个不同根?1,?2求证：？?(?？+) > 013. 函数f (x) = alnx - ?2(a R) 令g (x) = f (x) + ax,g(x)在(0,3)单调递增求a范围; 当a=2时,函数h(x)=f(x)-mx 的图象与轴交于 A(?1, 0)B(?2,0)且0 <

14、?合< ?2又 ?' (?)是 h(x)导函数，a > 0, B > 0 且 a < 3 满足 a + (3 = 1 证明:? (? + ?2) < 014. 函数f (x) = (Inx - k - 1)? (k R) 假设x > 1时讨论f (x)的单调性，并确定其极值 假设对?x ?,?2都有f(x) < 4lnx，求k范围; 假设?1 丰?2且 f( ?1) = f (?2)证明：?1?2 < ?产；15. 函数f (x) = a?2 + ?- ? (a > 0) 讨论f (x)的单调性； f(x)的极值点为？°假

15、设存在？?1,?2 (0, + X)且？?1工?2求证:?1+?2>2?° ;16. 函数f (x)二？2 - 1 + ?1 - ?), (a R); 讨论f (x)的单调性； 假设f(x)存在两个极值点孑？,？?，?1 < ?2证明：警12 >趕甞；?2?1?17. 函数f (x) = x + alnx与g(x)=3-帀在(1,1)处有相同切线； 假设y=2(x+n)与y=f(x)图象有两个交点，求n范围；? ? 假设F (x) = 3(x- ?) + ?(?) - 2?(?)有两个极值点？?2, ?1 < ?2证明：F(?2)< ?2- 1；18.

16、函数g (x) = - a?2 + (2 - ?) ? + ?, (a R) 讨论f (x)的单调性； 假设 f(x)=g(x)+(a+1)?2 - 2?有两个不同零点？1,?2,证明：？ (?；?©) < 0;19. 函数g (x) = x?(2 ?)? , (a R ;讨论g(x)的单调性；假设f(x)=lng(x)-a?2与y=m,(m R)图象有两个交点 A、B,线段A B中点为？?°证明：？ (?° ) < 0；3 220. 函数f (x)二a?2- ?- 3图象的一条切线为x轴;3求a值; 令 g(X)= |?(?) + ?' (?

17、)| 假设存在 不同?1, ?2 满足 g(?1) = g(?2),证明:?1?2 < 121. 函数F(x)与f(x)=lnx 关于直线y=x对称；假设xf(x) >ax- 1对？x (0, + X)恒成立，求a最大值; 设 f(x) ?F(x) = 1 在(1,+ x )的实 根 为？?°, m(x)=?(?)1 < ? < ?° ) ?> ?° )假设在区间(1, + x)上存在m (?1)= m(?2),求证:?(?)?1 + ?22> ?。22 .函数f (x)二?- 2?2- ?, (a R)； 假设函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值 假设函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围； 如果函数g(x)=f(x)-(a-2)?2恰有两个不同的极值点孑?,证明:?1 +?2 <In2a ; F);23 .函数f (x) = ?2-(a-2)x-aInx (a讨论f (x)的单调性;?2 设函数g (x)二-V?3 - ?尸+ ?- 2 假设？ a , B (0,a 】使得 |?(?) - ?(?)| <?成立求实数a取值范围； 假设方程f(x)=c有两个不等的实数根，求证：？(