高中全程复习方略配套课件直接证明与间接证明 (3)ppt课件

1、第六节 直接证明与间接证明三年三年9 9考考 高考指数高考指数: :1.1.了解直接证明的两种根本方法了解直接证明的两种根本方法分析法和综合法；了解分分析法和综合法；了解分析法和综合法的思索过程、特点；析法和综合法的思索过程、特点；2.2.了解间接证明的一种根本方法了解间接证明的一种根本方法反证法；了解反证法的思反证法；了解反证法的思索过程、特点索过程、特点. .1.1.本考点在历年高考中均有表达，主要以调查直接证明中的综本考点在历年高考中均有表达，主要以调查直接证明中的综合法为主；合法为主；2.2.分析法的思想运用广泛，反证法仅作为客观题的判别方法，分析法的思想运用广泛，反证法仅作为客观题的

2、判别方法，普通不会单独命题普通不会单独命题. .3.3.题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题. .1.1.直接证明直接证明综合法综合法分析法分析法定义定义思维思维过程过程证明证明步骤步骤文字文字语言语言符号符号语言语言从数学题的知条件出发，经过逐渐从数学题的知条件出发，经过逐渐的逻辑推理，最后到达待证结论或的逻辑推理，最后到达待证结论或需求的问题，称为综合法需求的问题，称为综合法. .从数学题的待证结论或需求问题出从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探求下去，最后到发，一步一步地探求下去，最后到达题设的知条件，称为分析法达题设的知

3、条件，称为分析法. .由因导果由因导果执果索因执果索因P P知知P1P1P2 P2 PnPnQ Q结论结论由于由于，所以，所以 或由或由，得，得要证要证，只需证，只需证，即证，即证12nQQQQP(（结论）已知）【即时运用】【即时运用】(1)(1)思索以下思想特点思索以下思想特点从从“知逐渐推向知逐渐推向“未知，即逐渐寻觅知成立的必要条件未知，即逐渐寻觅知成立的必要条件. .从从“未知看未知看“需知，逐渐靠拢需知，逐渐靠拢“知即逐渐寻觅结论成知即逐渐寻觅结论成立的充分条件立的充分条件. .满足综合法的是满足综合法的是_，满足分析法的是，满足分析法的是_(_(请填写相应请填写相应序号序号).).

4、(2)(2)知知t=a+2b,s=a+b2+1,t=a+2b,s=a+b2+1,那么实数那么实数s,ts,t的大小关系是的大小关系是_._.(3)(3)在正项等比数列在正项等比数列anan和正项等差数列和正项等差数列bnbn中，中，a1=b1,a3=b3,a1a3a1=b1,a3=b3,a1a3，那么，那么a5a5与与b5b5的大小关系为的大小关系为_._.【解析】【解析】(1)(1)由分析法、综合法的定义可判别由分析法、综合法的定义可判别. .满足综合法；满足综合法；满足分析法满足分析法. .(2)(2)由由s-t=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)20,s-t=a+b2+1

5、-a-2b=b2-2b+1=(b-1)20,故故st.st.(3)(3)由由a1a3,a1a3,得得b1b3,b1b3,所以所以b1b5,b1b5,且且b10,b50,b10,b50,又又即即答案：答案：(1)(1) (2)st (3)a5b5 (2)st (3)a5b515315315bbaa abb b ,215151155a ab b ,ab ,ab .又所以2.2.间接证明间接证明反证法反证法 定定义义 先假设原命题的先假设原命题的_成立，从这个假设出发，经过推理，成立，从这个假设出发，经过推理，得出与得出与_的结论，这个矛盾的结果说明原命的结论，这个矛盾的结果说明原命题结论的否定题结

6、论的否定_，从而间接肯定了原命题结论成立，从而间接肯定了原命题结论成立，像这样一种间接证法，称为反证法像这样一种间接证法，称为反证法. . 证证明明步步骤骤(1)(1)分清命题的条件和结论；分清命题的条件和结论；(2)(2)反设：假定所要证明的结论反设：假定所要证明的结论_，而设结论的，而设结论的_成成立；立；(3)(3)归谬：由归谬：由“_”_”出发，通过正确的推理，导出矛出发，通过正确的推理，导出矛盾盾与与_，_及明及明显的事实矛盾或自相矛盾；显的事实矛盾或自相矛盾；(4)(4)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“_”_”的的谬误，既然结论的反面不

7、成立，从而肯定了结论成立谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立. .适用适用否认否认知现实相矛盾知现实相矛盾不成立不成立不成立不成立反面反面反设反设知条件知条件知的公理、定义、定理、反设知的公理、定义、定理、反设反设反设反证法反证法 范范围围(1) (1) 否定性命题；否定性命题；(2)(2)命题的结论中出现命题的结论中出现“至少至少”、“至多至多”、“唯一唯一”等词等词语的；语的；(3)(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的; ;(4

8、)(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少要讨论的情况很复杂，而反面情况很少. .【即时运用】【即时运用】(1)(1)判别以下说法能否正确判别以下说法能否正确.(.(请在括号内打请在括号内打“或或“) )综合法是由因导果法综合法是由因导果法 ( ) ( )综合法是顺推法综合法是顺推法 ( ) ( )分析法是执果索因法分析法是执果索因法 ( ) ( )分析法是逆推法分析法是逆推法 ( ) ( )反证法是间接证法反证法是间接证法 ( ) ( )(2)(2)用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于三角形三个内角至少有一个不大于6060时，应假设时，应假设_._.【解析】【解析

9、】(1)(1)由分析法、综合法、反证法的定义可知由分析法、综合法、反证法的定义可知都正确都正确. .(2)(2)由于由于“至少有一个的反面是至少有一个的反面是“一个也没有，所以一个也没有，所以“三三角形三个内角至少有一个不大于角形三个内角至少有一个不大于6060 的否认是的否认是“三角形三三角形三个内角一个也没有不大于个内角一个也没有不大于6060，即，即“三角形三个内角都大于三角形三个内角都大于6060. .答案：答案：(1)(1) (2)(2)三角形三个内角都大于三角形三个内角都大于6060综合法的运用综合法的运用【方法点睛】【方法点睛】利用综合法证题的根本思绪利用综合法证题的根本思绪分析

10、条件分析条件选择方向选择方向转化条件转化条件组织过程组织过程适当调整适当调整回想反思回想反思分析标题的知条件及知与结论之间分析标题的知条件及知与结论之间的联络与区别，选择相关的定理、公式的联络与区别，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法等，确定恰当的解题方法把知条件转化成解题所需求的言语，把知条件转化成解题所需求的言语，主要是文字、符号、图形三种言语之间主要是文字、符号、图形三种言语之间的转化的转化回想解题过程，可对这部分步骤进展调回想解题过程，可对这部分步骤进展调整，并对一些言语进展适当的修饰，反整，并对一些言语进展适当的修饰，反思总结解题方法的选取思总结解题方法的选取【例【例1 1】

11、知】知x+y+z=1x+y+z=1，求证：，求证：x2+y2+z2 .x2+y2+z2 .【解题指南】由根本不等式得到关于【解题指南】由根本不等式得到关于x x、y y、z z的三个不等式，的三个不等式，将三式相加整理变形将三式相加整理变形, ,然后利用然后利用x+y+z=1x+y+z=1得得(x+y+z)2=1(x+y+z)2=1从而可证从而可证. .【规范解答】【规范解答】x2+y22xy,x2+z22xz,y2+z22yz,x2+y22xy,x2+z22xz,y2+z22yz,2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz,2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz,3x2+3y2+3z

12、2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,13即即3(x2+y2+z2)(x+y+z)2,3(x2+y2+z2)(x+y+z)2,x+y+z=1,(x+y+z)2=1,x+y+z=1,(x+y+z)2=1,3(x2+y2+z2)1,3(x2+y2+z2)1,即即x2+y2+z2 .x2+y2+z2 .等号成立的条件是等号成立的条件是x=y=z= .x=y=z= .1313【反思【反思感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用知条件与知的根本不等式，经过推实际证法

13、之一，即充分利用知条件与知的根本不等式，经过推实际证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法推导出正确结论，是顺推法或由因导果法. .其逻辑根据是三段其逻辑根据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理符合规律，论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理符合规律，这样才干保证结论的正确这样才干保证结论的正确. .【变式训练】设【变式训练】设a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,求证：求证：【证明】【证明】a+b=1,a+b=1,= = =2+2+4=8. =2+2+4=8.故故 等号成立的条件等号成立的条件是是a=b= .a=b= .1118.abab111ababababab

14、ababbaab11abab 2b aab22aba b()21118,abab12分析法的运用分析法的运用【方法点睛】【方法点睛】分析法的特点与思绪分析法的特点与思绪分析法的特点和思绪是分析法的特点和思绪是“执果索因，即从执果索因，即从“未知看未知看“需知需知，逐渐靠拢，逐渐靠拢“知或本身曾经成立的定理、性质或曾经证明知或本身曾经成立的定理、性质或曾经证明成立的结论等成立的结论等. . 【例【例2 2】(2021(2021南安模拟南安模拟) )知知m0,a,bR,m0,a,bR,求证：求证：【解题指南】利用分析法，去分母后移项作差，最后变形可证【解题指南】利用分析法，去分母后移项作差，最后变

15、形可证. .【规范解答】【规范解答】m m0,1+m0,1+m0,0,要证要证即证即证(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),只需证只需证m(a2-2ab+b2)0,m(a2-2ab+b2)0,即即(a-b)20,(a-b)20,而而(a-b)20(a-b)20显然成立，故原不等式成立显然成立，故原不等式成立. .222ambamb().1m1m222ambamb().1m1m【反思【反思感悟】感悟】1.1.逆向思索是用分析法证题的主要思想，经过逆向思索是用分析法证题的主要思想，经过反推，逐渐寻觅使结论成立的充分条件反推，逐渐寻觅使结论成立的充分条件

16、. .正确把握转化方向是使正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键问题顺利获解的关键 2. 2.在实践解题时，对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，在实践解题时，对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即经过分析法找出某个与结论等价即经过分析法找出某个与结论等价( (或充分或充分) )的中间结论，然后的中间结论，然后经过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证经过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证【变式训练】【变式训练】(1)(1)知知a,b,ca,b,c均为正实数，且均为正实数，且b2=ac,b2=ac,求证：求证：a4+b4+c4a4+b4+c4(a2-b2+c2)2.(a2-b

17、2+c2)2.(2)(2)知知a,b,ca,b,c均为正实数，均为正实数，求证：求证：222222b cc aa babc.abc【证明】【证明】(1)(1)欲证原不等式成立，只需证欲证原不等式成立，只需证a4+b4+c4a4+b4+c4a4+b4+c4-a4+b4+c4-2a2b2+2a2c2-2b2c2,2a2b2+2a2c2-2b2c2,即证即证a2b2+b2c2-a2c2a2b2+b2c2-a2c20,0,b2=ac,b2=ac,故只需证故只需证(a2+c2)ac-a2c2(a2+c2)ac-a2c20.0.a,ca,c0,0,故只需证故只需证a2+c2-ac0,a2+c2-ac0,又

18、又a2+c22acac,a2+c22acac,a2+c2-aca2+c2-ac0 0显然成立显然成立. .原不等式成立原不等式成立. .(2)a,b,c(2)a,b,c都是正实数，都是正实数，欲证欲证只需证只需证b2c2+c2a2+a2b2abc(a+b+c).b2c2+c2a2+a2b2abc(a+b+c).b2c2+c2a22abc2,b2c2+c2a22abc2,b2c2+a2b22acb2,b2c2+a2b22acb2,c2a2+a2b22a2bc,c2a2+a2b22a2bc,将这三个不等式相加，将这三个不等式相加，得得2(b2c2+c2a2+a2b2)2abc(a+b+c).2(b

19、2c2+c2a2+a2b2)2abc(a+b+c).222222b cc aa babc,abc222222b cc aa babc.abc反证法的运用反证法的运用【方法点睛】【方法点睛】1.1.反证法的解题原那么反证法的解题原那么反证法的原理是反证法的原理是“正难那么反，即假设正面证明有困难时，正难那么反，即假设正面证明有困难时，或者直接证明需求分多种情况而反面只需一种情况时，可以思或者直接证明需求分多种情况而反面只需一种情况时，可以思索用反证法索用反证法. .2.2.反证法中常见词语的否认方式反证法中常见词语的否认方式至多有至多有0 0个，即一个也没有个，即一个也没有 原词原词否否 定定

20、形形 式式至多有至多有n n个个( (即即xnxn，nNnN* *) )至少有至少有n+1n+1个个( (即即xnxnxn+1,nNxn+1,nN* *) )至少有至少有n n个个( (即即xn,nNxn,nN* *) )至多有至多有n-1n-1个个( (即即xnxnxn-1,nNxn-1,nN* *) )n n个都是个都是n n个不都是个不都是( (即至少有即至少有1 1个不是个不是) )特特例例至多有至多有1 1个个至少有至少有2 2个个至少有至少有1 1个个【例【例3 3】(2021(2021福州模拟福州模拟) )知知a a0 0，b b0 0，且，且a+ba+b2 2，求证：，求证：

21、中至少有一个小于中至少有一个小于2.2.【解题指南】至少有一个小于【解题指南】至少有一个小于2 2的否认是都不小于的否认是都不小于2 2，根据反证，根据反证法的步骤证明法的步骤证明. .1b 1aab，【规范解答】假设【规范解答】假设 都不小于都不小于2 2，那么那么aa0,b0,b0,0,1+b2a,1+a2b,1+b2a,1+a2b,1+1+a+b2(a+b),1+1+a+b2(a+b),即即2a+b2a+b，这与知这与知a+ba+b2 2矛盾，故假设不成立，矛盾，故假设不成立，即即 中至少有一个小于中至少有一个小于2.2.1b 1aab、1b1a22.ab，1b 1aab，【反思【反思感

22、悟】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛感悟】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、盾可以是：与知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与现实矛盾等方面，反证法经常是处理某些定理矛盾，与现实矛盾等方面，反证法经常是处理某些“疑疑问问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器问问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器. .【变式训练】在【变式训练】在ABCABC中，中，AA，BB，CC的对边分别为的对边分别为a,b,ca,b,c，假设假设a,b,ca,b,c三边的倒数成等差数列，求证：三边的倒数成等差数列，求证：B90B90. .【

23、证明】假设【证明】假设B90Ba,bc.ba,bc. , ,相加得相加得这与这与 矛盾矛盾. .故故B90B90不成立不成立. .因此因此B90B90. .11 11,ab cb11112,acbbb112acb【变式备选】知【变式备选】知a-1,a-1,求证三个方程：求证三个方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数根中至少有一个方程有实数根. .【证明】假设三个方程都没有实数根，那么【证明】假设三个方程都没有实数根，那么- a-1.- a0,a

24、c+bd0,要分两要分两种情况分析，可证种情况分析，可证. .2222ab(cd )【规范解答】【规范解答】(1)(1)当当ac+bd0ac+bd0时，时， 2 2分分故不等式显然成立，当故不等式显然成立，当a=b=c=d=0a=b=c=d=0时等号成立时等号成立. 4. 4分分(2)(2)当当ac+bd0ac+bd0时，要证原不等式成立，只需证时，要证原不等式成立，只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2), 6(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2), 6分分即证即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2. 8a2c2+2abcd+b2d2a2c2

25、+a2d2+b2c2+b2d2. 8分分即证即证2abcda2d2+b2c2,2abcda2d2+b2c2,即即0(bc-ad)2. 100(bc-ad)2. 10分分a,b,c,dR,a,b,c,dR,上式恒成立，故不等式成立，此时等号成立的条件为上式恒成立，故不等式成立，此时等号成立的条件为bc=ad.bc=ad.由由(1)(2)(1)(2)知原不等式成立知原不等式成立. 13. 13分分2222(ab ) cd0,【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示和备考建议： 失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)不去分类，而是直接平方作差判断不去分类，而是直接平方作差判断. .(2)(2)在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件说明不到位而失分说明不到位而失分. .备备考考建建议议解决此类不等式证明问题，还有以下几点容易造成失解决此类不等式证明问题，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注分，在备考时要高度关注. .(1)(1)对常用三种不等式的证明方法：综合法、分析法、对常用三种不等式的证明方法