242比例线段(2)(作业)-黄金分割-2021-2022学年九年级数学上册(沪教版)(解析版)

1、24.2比例线段（2）-黄金分割一、单选题1 .已知线段 AB的长为a, P是线段AB的黄金分割点，且 AP PB ,那么AP的长为（）a. 5ab. 5-aC.（后 1）a d.（屈 l）a22【答案】A【解析】线段AB的长为a, P是线段 AB的黄金分割点，且 AP PB , . AP a 吏 亘1a 222 .已知C是AB的黄金分割点（AC BC）,若AB 4 ,则AC的长为（）.A. （2 行 2） B. （6 2 而）C.电 1）D. （3 75）【答案】B【解析】根据黄金比值求出较长线段BC,即可得出答案.解：;点C是线段AB的黄金分割点，且 AC BC ,BC - 5 1AB 2

2、（ J5 1）,AC 4 2（而 1） 6 2而，故选：B.【点睛】本题考查的是黄金分割，把线段AB分成两条线段 AC和BC （AC> BC）,且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割.3 .下列说法正确的是（）A.每一条线段有且只有一个黄金分割点B.黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C.若点C把线段AB黄金分割，则 AC是AB和BC的比例中项D.黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618【答案】D【解析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段

3、为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则 AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618,正确；故选D.【点睛】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键.4 .如图，已知点 C是线段AB的黄金分割点（其中 AC> BC）,则下列结论正确的是（）A. BC 口AC 2B,也上BC 2C. AB2= AC2+BC2D. bc2 = ac?ba【解析】根据黄金分割的定义得出 BC AC # 1,从而判断各选项. AC AB 2解：.点C是线段AB的黄金分割点，且

4、 AC> BC,BC AC . 5 1 ,AC AB 2选项A符合题意，AC2 BC AB，选项D不符合题意；.AC _2_5 1BC亚 12 ，选项B不符合题意； AB2 AC2 BC2 ,.选项C不符合题意；故选：A.【点睛】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键.5.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点（AP PB）,如果AB的长度为8cm,那么BP的长度是（）A. 12 4召B. 9 4、万C. 4.5 4【答案】A【解析】根据黄金分割的定义得到AP= J5 1 AB,然后把AP的长度代入可求出 AB的长.2解：.P为AB的黄金

5、分割点(AP>PB),.AP= 5 1 AB,2.AB的长度为8cm,.AP= 后 1 x 84痣 4 (cm), 2-.BP=AB-AP=8- ( 475 4)=12 4芯故选：A.【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段 AC和BC (AC> BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即 AB:，一， ，,5 1AC=AC: BC),叫做把线段 AB黄金分割，点 C叫做线段 AB的黄金分割点，其中 AC=-AB.26 .点C为线段AB的黄金分割点，且 AC> BC,下列说法正确的有()CDAC= 1AB,AC=3AB,AB : AC=AC: BC,AC 0.618

6、AB22A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得【详解】.点C数线段AB的黄金分割点，且 AC> BC, ： AC史1AB,故正确；2由AC=，LAB,故错误；2BC: AC=AC: AB,即：AB: AC=AC: BC, 正确;AC- 0.618AB故 正确，故选C.【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金分割的比为展 1是解题的关键.27.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN,使得其中较长的一段 MG是全长MN与较短的一段 GN的比例中项

7、，即满足必GMNGN 5 1MG 2后人把“5 1这个数称为 黄金分割数”，把点G称为线段MN的黄金分割点如图，在ABCK 已知AB= AC 2=3, BC= 4,若点D是边BC边上的一个 黄金分割点”，则.“口。勺面积为（）B. 375 5C. 20 875D. 10 4展利用三角形面积作AFBC根据等腰三角形 ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出CD的长度,公式即可解题.解：过点A作AFBCAB=AC1B BC=2, 2在 Rt4ABf , af=Jab2 bf2 22。5,.d是边BC的两个 黄金分割”点,CD 5 1 CD 5 1即BC 242解得cd=2而2，'

8、;S ADC1 DC AF =1 275 275 = 5 后,22故选：A.2DC和AF的B的黄金分割点,【点睛】本题考查了 黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出长是解题的关键.8.如图，乐器上的一根弦AB= 80cm,两个端点 A, B固定在乐器板面上，支撑点 C是靠近点支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C, D之间的距离为（A. （40 痣 40） cmB. （80通 40） cmC. （ 120 40 A/5）cmD. （80 痣 160） cm【答案】D【解析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC= BD = 40j5 40,进而得出答案.【详

9、解】解：.点C是靠近点B的黄金分割点，点 D是靠近点A的黄金分割点，,.AC= BD= 80 星 140 75 40,2-.CD= BD （ AB BD） = 2BD AB=80 75 160,故选：D.【点睛】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比.29 .古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是近二（虫_ 0.618，22称为黄金分割比例），如图，著名的 断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 而 1 .若某人满足

10、上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是(A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm【答案】B【解析】设某人身高为 mcm,脖子下端至肚脐的长度为ncm,由腿长为105cm,可得 m 105 55 1 0618,解得1052m 169.890,根据 26 n 心0.618得到m 178.218,由此得到答案.m (n 26)2【详解】解：设某人身高为 mcm,脖子下端至肚脐的长度为ncm,则由腿长为105cm,可彳导m 105 遮 1 0618 ,1052解得 m 169.890.由头顶至脖子下端的长度为26cm ,可彳#

11、26 止0.618，n 2解得 n 42.071.26n.51由已知可得0.618,m (n 26)2解得 m 178.218.综上，此人身高 m满足169.890 m 178.218.所以其身高可能为 175cm.故选：B【点睛】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问题是解答此题的关键10.有以下命题： 如果线段d是线段a, b, c的第四比例项，则有 - -;b d 如果点C是线段AB的中点，那么 AC是AB. BC的比例中项；如果点C是线段AB的黄金分割点，且 AC> BC,那么AC是AB与BC的比例中项；如果点C是线段AB的黄金分割点， AC&g

12、t; BC,且AB=2,则AC=Jg-1.其中正确的判断有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】根据成比例的线段、黄金分割的定义，结合各项进行判断即可.【详解】. a c 如果线段d是线段a, b, c的第四比例项，则有 一 一，说法正确；b d 如果点C是线段AB的中点， 幽 RAC ,故AC不是AB. BC的比例中项，说法错误；AC BC 如果点C是线段AB的黄金分割点，且 AC> BC,那么AC是AB与BC的比例中项，说法正确；如果点C是线段AB的黄金分割点， AC> BC,且AB=2,则AC= " 1 X 2=/5-1,说法正确;2综上可得

13、： 正确，共3个.故选：C.【点睛】本题考查了成比例的线段，以及黄金分割的知识，解答本题的关键是掌握黄金分割的定义，注意黄金分割分得的较长边的长二J5 1源线段长度.（且ARBP）,点P2是线段AR的黄金分割点211 .如图，线段 AB 1 ,点P是线段AB的黄金分割点2（AB PP2），点E是线段AP3的黄金分割点 AP3P2P3 , ,依此类推，则线段AP2020的长度是（）2020B._ 2020-52D._ 20213 ；52根据把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,它们的比值叵叫做黄金比进行解答即可.2解：根据黄金比的比值,B

14、R.5 1AF23 .53,AP3一22020依此类推，则线段 AP2020故选C.【点睛】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.12.著名画家达 芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中ACB EJD 90 , CB EJ ,连结HF ,CJ ,得到4个全等的四边形 HFGI ,四边形HFBA ,四边形CJEA ,四边形JCBD . CJ分别交AB , ED于点M, N,若MN : CJ 5:9,且AB 5,则HF的长为（）A. 6后B. 7折C, 872D, 3710【答案】D【解析】过点C作CP.DE

15、于点P,交AB于点K,设BC=a, AC=b,进而可得 CF J2a,CH 扬,则有CJ HF72a J2b，然后可得CM : MN 2:5,则有CK 2，最后可得ab 10,a2 b2 25,则问题可求解.解：过点C作CPtDE于点P,交AB于点K,如图所示:.四边形HFGI ,四边形HFBA ,四边形CJEA ,四边形JCBD都是全等的,HF CJ , ACB EJD 90 , CB EJ , AB ED ,ABCWDEJ ,易得CM=NJ,. MN:CJ 5:9,CM : MN 2:5,.AB.ED,CK : KP 2:5,AB 5,KP BD AB 5,CK 2 ,设 BC=a, AC

16、=b,则 CF 72a,CH T2b,CJ HF 石a V2b，由等积法可得 AB CK AC BC. ab 10,由勾股定理可得a2 b225，HF272a 72b 2 2 a2 2ab b22 45 90,HF 3加；故选D.【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及线段的比， 熟练掌握正方形的性质、 勾股定理及线段的比是解题的关键.二、填空题13 .已知线段 AB的长为10cm,点C是线段AB的黄金分割点，且 AC> BC,则AC=cm .（结果保留根号）【答案】5 75 5【解析】根据黄金比值是叵列式计算即可.2【详解】解：点C是线段AB的黄金分割点，AC> BC,.AC

17、= 1 AB= （ 5 而 5） cm,2故答案为：5 75 5.【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值J5 1叫做黄金比.214 .已知线段 AB长是2,P是线段AB上的一点，且满足 AP2 AB BP,那么AP长为.先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP 蕊 1 AB ,把AB=2代入计算即可.2解：.点P在线段AB上，AP2=AB?BP,点P是线段AB的黄金分割点,AP>BP,5 1 AP AB2并且较长线段是较短线段和整个线段的比例本题考查了黄金分割的概

18、念：如果一个点把一条线段分成两条线段,中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，较长线段是整个线段的 吏二倍.215 .若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.已知tABC是比例三角形，AB=2, BC= 3,则AC的长为 .49 一【答案】一或2或J6.32【解析】 根据比例三角形的定义分 AB2=BC?AC、BC2=AB?AC、AC2=AB?BC三种情况，分别代入 AB=2, BC=3进行计算可得结论【详解】解：,ABC是比例三角形，且 AB= 2, BC= 3, 当 AB2=BC?AC时，得：4 = 3AC,4解得：AC=;

19、3 当 BC2 = AB?AC 时，得：9 = 2AC,一 9解得：AC=2 当 AC2 = AB?BC时，得：AC2=6,解得：AC=泵（负值已舍去）；49当AC=或一或J6时，tABC是比例三角形.3249故答案为：一或2或席. 32【点睛】本题主要考查比例线段，本题解题的关键是正确理解比例三角形的定义.16 .已知线段AB 6 ,点c是线段AB的黄金分割点， AC BC .那么AC BC .【答案】6,5 12【解析】根据黄金比值为 近进行计算即可得到答案.【详解】解：.点C为线段AB的黄金分割点，AB=6,AC=5-1 X 6=3/5-3, 2BC=6- (3 753) =9-3 痣，

20、AC-BC=3 痣-3- (9-3 而)=6 痣-12;故答案为：6-, 5 12【点睛】本题考查的是黄金分割的知识和二次根式的计算，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.17 .大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着 黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点 AP PB，如果AP的长度为8cm ,那么AB的长度是 cm .5 12【答案】 4x5 4【解析】先根据黄金分割的定义求出AP,然后把AP的长度代入求出 AB的长即可.【详解】解：P为AB的黄金分割点（AP PB ）,APAB，22AB AP 8 4j5 4 cm. ,5 1,5 1故答案是：4卡4 .【点

21、睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，若把线段AB分成两条线段 AC和BC （AC>B。，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段 AB黄金分割，点 C叫做线段AB的黄金分割点，其中 AC 屈 1AB .218.如图，在ABC中，点D是线段BC的黄金分割点（DC BD ）,若AABD的面积是2J5 2,则以ABC 的面积是.2【答案】2与2【解析】根据黄金分割的定义，以及等高的两个三角形面积之比等于底之比，即可求出色ABC的面积.【详解】解：.在aABC中，点D是线段BC的黄金分割点（DC BD）,.5 135BD: BC 1 22ABD的面积是25 2,ABC的面积2石22:5 2故答

22、案为：2 J5 2【点睛】本题考查了黄金分割的概念，也考查了三角形的面积公式，解题的关键是正确理解黄金分割的概念.19.已知点C，D在线段AB上，AC:CD : DB 3:1: 4 , M是线段AC中点，N是线段BD中点，线段AB 24cm,则线段 MN .【答案】10cm或13.5cm【解析】根据成比例线段的性质得 AC、CD、DB的长度，再根据中点的性质即可求解.【详解】如图AC : CD : DB 3:1: 4,线段 AB 24 cm. AC 9cm, CD 3cm, DB 12cm. M是线段AC中点，N是线段BD中点-11 -八. MC AC 4.5cm, DN DB 6cm 22.

23、MN MC CD DN 4.5 3 6 13.5cm如图AC : CD : DB 3:1: 4,线段 AB 24 cm.AD CD BC 2CD CD 3CD 24cmCD 4cm. AC 12cm, CD 4cm, DB 16cm. M是线段AC中点，N是线段BD中点-1 -1. MC AC 6cm, DN DB 8cm 22.MNMCDN CD6+84 10cm故答案为：10cm或13.5cm .【点睛】本题考查了线段长度的问题，掌握成比例线段的性质、中点的性质是解题的关键.20.公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了有关黄金矩形的问题.并建立起比例理论，他认为所谓黄金分割，

24、指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于较长部分之比.所谓黄金矩形指的就是矩形的宽与长的比适合这一比例.则在黄金矩形中宽与长的比值是【解析】根据黄金矩形指的就是矩形的宽与长的比适合黄金分割比例，所以求出黄金分割比例即可，设线段长为1,较长的部分为X,则较短的部分为 1-x,根据较长部分对于全部之比，等于较短部分对于较长部分之比，求出X,即可得到比值.【详解】解：设线段长为 1,较长的部分为 X,则较短的部分为 1-XX 1 X . 1 X“总，X2=7L1 （舍）22黄金分割比例为：x 5 1 12.黄金矩形中宽与长的比值：5 -2故答案为：匹1 . 2【点

25、睛】本题主要考查了黄金分割比例，读懂题意并且列出比例式正确求解是解决本题的关键.21.五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C, D分别为线段 AB的右侧和左侧的黄金分割点,已知黄金比为 匹 1 ,且AB=2,则图中五边形 CDEFG的周长为 .2【答案】10、, 5 20【解析】根据点C, D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可彳导AC=BD= 1 AB,BC=3 逐 AB,再根据CD=BD-BC22求出CD的长度，然后乘以 5即可求解.【详解】点C, D分别为线段 AB的右侧和左侧的黄金分割点，AC=BD= AB= *y5 1 , BC=AB 3 V5，22. CD=BD

26、 BC=（召 1） （3 4）=2甚 4,五边形 CDEFG 的周长=5 （2 押4） =10 Jg 20.故答案为：10J5-20.【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点.22.如图，线段 AB的长为1 ,线段AB上取点Pi满足关系式APi2=BPi?AB,则线段APi的长度为 ;线段APi 上取点P2满足关系式AP22=PiP2?APi,线段AP2上的点P3满足关系式AP32=P2P3?AP2,依次以此类推，APn的长度为 .【解析】根据图形的变化寻找规律，利用黄金分割的定义：把线段

27、 AB分成两条线段 AC和BC （AC> BC）,且使AC是AB一rr ACBC5 1和BC的比例中项（即 ），叫做把线段 AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.其中AC=一-AB AC2AB 0.618AB即可得结论.【详解】线段AB的长为1 ,线段AB上取点Pi满足关系式APi2= BPi?AB,八E51则线段APi的长度为：1 ;2线段APi上取点P2满足关系式 AP22=PiP2?APi,则线段AP2的长度为：（乖1 2； 2线段AP2上的点P3满足关系式 AP32=P2P3?AP2,则线段AP3的长度为：（而1 ） 3； 2依次以此类推，APn的长度为：（亚1）n .2故

28、答案为：虫1 ；（匹1 ） n. 22【点睛】本题考查了黄金分割、规律型-图形的变化类，解决本题的关键是掌握黄金分割定义.三、解答题23. （1）已知a 3 ,求"ab的值； b 5 b（2）已知点P是线段AB的黄金分割点， PA> PB, AB=2,求PA、PB的长.【答案】（1） 8； （2） pa=75 1，pb=3 75 5【解析】a b 设a=3k,贝I b=5k,代入，计算即可求斛；b根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则 PA=«5AB, PB=3 行AB,代入数据即可得出PA、PB的22长.【详解】解：(1) = -, b 5.可设 a=3k,则

29、b=5k,a b 3k 5k 8 =一 ,b 5k 5点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB, AB=2, PA=5_1AB=75-1 , PB=3AB=3-m.22故答案为(1) 8 ; (2) PA=而1 , PB=3后.5【点睛】本题考查了黄金分割点的概念.应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3 遍,较长的线段=原线段2的痴1 .同时考查了比例的性质.224.如图，设线段 AC= 1.(1)过点C画CDAC使CD=-AC;连接AD,以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交 AD于点E;以点A为2圆心，AE的长为半径画弧，交 AC于点B.(2)在所画图中，点 B是线段AC的黄金分

30、割点吗？为什么？【答案】(1)作图见解析；(2)是，理由见解析【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形;(2)设AC= 1,则DE= DC=-,利用勾股定理得到 AD= Y5,所以AE=居 1 、则AB=1，然后利 2222用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点.【详解】解：(1)如图，点B为所作；(2)点B是线段AC的黄金分割点.理由如下：设 AC= 1,则CD=-,2“L “C CL -5151AE AD DE= -=,222AB= 1 , BC= 3_痣 ,2 2，3 一 5_BC _2 芯 1AB 5 122. 5 1_AB 2.5 1AC日口 BC AB即=,AB AC

31、点B是线段AC的黄金分割点.【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段 AC和BC (AC> BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即 AB：AC=AC: BC),叫做把线段 AB黄金分割，点 C叫做线段AB的黄金分割点.求出线段长是解决问题的关键25.已知：如图，线段 AB=2, BD'AB于点B,且BD= y AB,在DA上截取 DE= DB.在AB上截取 AC= AE.求证：点C是线段AB的黄金分割点.【答案】见解析【解析】在直角.ABDN艮据勾股定理计算出AD=而，则AE=AD-DE=石-1,再利用画法得到 AC=AE%-1,即AC= 12AB,然后根据黄金分割

32、的定义得到点C就是线段AB的黄金分割点.证明：.AB= 2, BD= 1 AB2，.BD= 1 . BD .AB 于点 B,ad=ab2 bd2.5,.AE= AD DE=、5 1 -AC= AE= 55 1， 1.AC= 1 AB2.点C就是线段AB的黄金分割点.【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段 AC和BC (AC> BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即 AB:AC=AC： BC),叫做把线段 AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中 AC=一1ABy 0.618AB并且线2段AB的黄金分割点有两个.ab的值;ba 326. (1)已知一一，求b 5(2

33、)已知点P是线段AB的黄金分割点，且5 1AP BP, AB 1,求 BP 的长度2【答案】(1)3、(1)先得出a -b,再代值约分即得.5(2)根据黄金分割短线段与整条线段比值为而1即得.2, a（1）. 一ba 3b 53bb a b 531T b5（2） 点p是线段AB的黄金分割点，且 AP BP, AB AP-APBPAB- 5 1AP 2【点睛】本题考查分式求值、黄金分割，应用转化思想将不同字母转化为相同字母表示是约分求值的技巧，黄金分割长线段比全线段的比值为一5二227.若一个矩形的短边与长边的比值为叵（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形.21操作：请你在如图所示的黄金矩

34、形ABCD（AB AD）中，以短边AD为一边作正方形 AEFD ;2探究：在1中的四边形 EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）画图见解析；（2）四边形EBCF是黄金矩形，证明见解析.【解析】(1)只需在矩形的长上截取 AE=AD, DF=AD,连接EF即可；(2)可以结合(1)中正方形的性质求得矩形EBCF的宽与长的比进行分析.【详解】(1)如图：以A为圆心，在 AB上截取AE=AD,以D为圆心，在 DC上截取DF=DA,连接EF,所以四边形 AEFD为所求作的正方形；(2)四边形EBCF是黄金矩形.证明：.四边形AEFD是正方形， AEF 90 BEF

35、 90，.四边形ABCD是矩形， B C 90 BEF B C 90 ,.四边形EBCF是矩形.设 CD a , AD b ,则有 b Y5_J , a 2CF aba,2/5 1 - 1 ；=- 1 ,EF b b 、5 12.矩形EBCF是黄金矩形.【点睛】本题主要考查了正方形的性质和黄金矩形的概念，综合性较强，难度适中.28.如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果?=言?那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到黄金分割线”，类似地给出黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的 、一一 ?图形分成两部分，这两部分的面积分别为Si、S2,如果下?=

36、?,那么称直线l为该图形的黄金分割线(1)研究小组猜想：在ABCK若点D为AB边上的黄金分割点,如图2所示，则直线CD是ABC勺黄金分割线,你认为对吗？说说你的理由;请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】【解析】(1)结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算；根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等，显然不符合黄金分割线的概念.【详解】?今？ ? ? ?解：= 一,= 一 ? ? ? ?又“是AB的黄金分割点，? ? ?3?= 一，二 =、? ? ? Ct ABC勺黄金分割线;不是.C>ABC勺中线，AD=

37、DB? 1 ? 2'一 ？，？而方一=1, ? ? ?，7-丰-,? ?.中线不是黄金分割线.【点睛】考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式.29.如图，以长为 2的线段AB为边作正方形 ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点 F,使PF = PD,以AF为边作正方形 AMEF,点M在AD上.(1)求AM, DM的长;(2)求证：AM2=AD- DM;（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?（3）图中的点 M为线段AD的黄金分割点【答案】（1） J51, 3 而；（2）证明见解析;(1)由勾股定理求 PD,根据 AM=AF=PF-PA=PD-P

38、A, DM=AD-AM 求解;(2)由(1)计算的数据进行证明；，“上、”口 AM DM(3)根据(2)的结论得： ，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点.AD AM【详解】解：(1) P为边AB的中点，1,.AP= AB=1, 2-PD= Jap2 ad2 = J12 22 =疾，.PF= PD=痣，从而 AF= PF-AP= 75-1, AM = AF=.而1,. DM = ADAM = 3底.(2)证明：-AM2= (5-1)2=6-2/5，AD DM = 2(3-而)=6-2,5，-，am2 = ad DM .(3)图中的点 M为线段AD的黄金分割点.理由如下：,.AM2=A

39、D?DM ,AM DM 5 1-,AD AM 2点M是AD的黄金分割点.【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念.先求得线段AM, DM的长，然后求得线段 AM和AD, DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断.30.如图，点E是正方形 ABCD的边AB边上的黄金分割点， 且AE > EB , Si表示AE为边长的正方形面积,S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积， S3表示正方形 ABCD除去Si和S2剩余的面积，求 S3： &的值.【解析】根据黄金分割的定义： 把线段AB分成两条线段 AC和BC ( BC > AC ),且使AC是AB和BC的比

40、例中项,叫做把线段 AB黄金分割，点 C叫做线段 AB的黄金分割点.其中 AC J5 1 AB，由定义可得:2AE2 ABBE,设AB 1,BE AB AE 1 AE,求解AE, BE，从而可得答案【详解】解：如图，设 AB 1 ,丫点E是正方形 ABCD的边AB边上的黄金分割点，且 AE > EB ,AE2AB*BE,AE2 AB AE,AE2 AE 1 0,V AE > 0,AE GF 5LA,2丫正方形ABCD ,正方形AEFG,AB AD, AE AG,DG BE,-3 -5BE DG AB AE ，2S3： S2GF DG ： BC BE5 1 3 .5, 3 、5二 M

41、 ： 1 丁5 12【点睛】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，一元二次方程的解法，解决本题的关键是掌握黄金分割定义.31.在欧几里得的几何原本中给出一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD ,取AD的中点E,连接BE ,延长DA至点F,使得EF BE ,以AF为边作正方形AFGH，则点 H即是线段AB的黄金分割点.（1）请你证明这个结论;（2）延长GH交CD于点I,则正方形 AHGF与矩形ICBH的面积有怎样的关系，说出你的理由.【答案】（1）见解析；（2）正方形 AHGF与矩形ICBH的面积相等，理由见解析 【详解】证明：（1） .四边形ABCD是正

42、方形， EAB 90 .设AB的长为2a , .点E为AD的中点， . AE a .在RtAABE中，根据勾股定理可得 EB JAE2 AB2 J5a , AF EF AE EB AE （J5 1）a - AH R5 1）a, BH 2a 电 1）a （3 册）a.空（芯1）a 哀1 BH （3画a 后1AB 2a 2' AH 电 1）a2AH BH AB AH即点H为线段AB的黄金分割点；（2）正方形 AHGF与矩形ICBH的面积相等.理由如下：由（1）可知 BC AB 2a,BH （3 J5）a,AH （拆 1）a ,S 正方形 ahgf AH2 （忐 1）a2（6 26）a2，S

43、巨形 icbhBCBH 2a (3 病a (6 2何才,SiE方形 AHGF&巨形 ICBH32.阅读与思考I)(图)黄金分割是指把一条线段分成两部分,使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比.如图，点C把线段AB分成两部分，如果AC BC=，那么称点C为线段AB的黄金分割点.它们的比值为AB AC我们可以通过下面的方法得到线段AB的黄金分割点:过点B作BD AB ,使BD1一AB ；连接AD ,在AD上截取DE DB ;在AB上截取 2AC AE .则点C为线段AB的黄金分割点.如下是证明点 C是线段AB的黄金分割点的部分证明过程:证明：设AB 2a,则BD a ,(1

44、)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)应用：如图是一个包装盒的封口面，线段BD是这个包装盒的造型线. 为了视觉美观，现要在造型线 BD上找一点作为丝带打结点.请你用尺规作图的方式找出这个点(保留作图痕迹，不写作法)【答案】（1）见解析；（2）见解析（图）【详解】解：（1） BD AB，: ABD 90 .在 RtzXABD 中，AD 4AB_BDr J 2a 2 a2 隔，由题意得，DE DB a , . AE AD DE （J5 1）a,AC AE （而 1）a,BC AB AC 2a （芯 1）a （3 V5）a，AC'、5 1a 5 1 BC35a .,5 1AB

45、2a 2 , AC751a 2 'AC二型二Y5，即点C是线段AB的黄金分割点;AB AC 2（2）如解图，点P即为丝带打结的点.（答案不唯一，合理即可）【解法提示】 分别以点B, D为圆心，大于 1 BD长为半径作弧，交于两点，连接这两点交BD于点F；2延长BD至N,以点D为圆心画弧，分别交 DB, DN于两点；分别以这两点为圆心以大于某一个点到点D的距离为半径画弧，两弧交BD的上方于点M,连接DM并延长；以点D为圆心，DF长为半径作弧，交射线 DM于点G,连接BG ； 以点G为圆心，DG长为半径彳乍弧交 BG于点H； 再以点B为圆心，BH长为半径作弧，交 BD于点P,则点P即为丝带打结点.33.如图，点 A坐标是(0, 0),点C坐标是(2, 2),现有E、F两点分别从点 D(0, 2)和点B(2, 0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点.设运动时间为t.(1)在运动过程中始终与线段EC相等的线段是 ;四边形CEAF面积=.(2)当t = 1秒时，求线段 CQ的长.(3)过点B作BP平行于CF交EC于点P.当t