行列式的多种计算方法

1、例文一：行列式的计算方法介绍7种常用方法1三角化方法：通过行列初等变换将行列式 化为三角型行列式.例1计算n+1阶行列式xa?anxa?anaia?stxDni2 x22222 x22222 y22222y:设法找出Dn和低2把某一行（列）尽可能化为零 例2计算：3递归法（数学归纳法）级行列式间的关系，然后进行递归i例5证明范德蒙行列式例4证明:111为X2X3222为X2X3n1n1n1xiX2X3Xn2Xnn1-rj-n(x Xj)n-1X十 paP0 -001a + PaP -0001a + P -000001 <X + Pan 2),n1 一n1a - P171 S1111111

2、 &111111*1111111 4n+1 ,Dn+1 =D n4加边法：对行列式Dn添上一适当行和列, 构成行列式D例6证明： n 1、司 3(1)闩a5拆分法：将行列式表为行列式的和的方法 即如果行列式的某行 （或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和例7设abcd=1,求证：+12 c1a b c d11116利用行列式的乘积：为求一个行列式D的 值，有时可再乘上一个适当的行列式 ；或 把D拆分为两个行列式的积.（1）cos（ 1 -，2）cos（ 1 -，3）cos（1 -。2）1D= cos（a3） cos（2°3）cos（1-：n） cos（2n）cos（

3、1 n）cos（ 2一" n）cos（ 3-" n）1(2)设 Sk=k+丸 2+%nk(k=1,2 ),求证:nSisSn1SiS2S3SnS2S3S4Sn 1Sn-1§!Sn 1S22211 ( i 一 j)1<L： j <n7利用拉普拉斯定理求行列式的值 拉普拉斯定理是行列式按某一行(或列)展 开定理的推广.定义(1)在n阶行列式D中，任取k行k列 (”k<n),位于这k行k列交叉处的k2个元素 按原来的相对位置组成的 k阶行列式S,称为D的一个k阶子式.如：4143126470D=11 6则D的一个2阶子式为：S= 2 n2 8 在一个n

4、阶行列式中，任取k行，由此产生 的k阶子式有C ：个.(2)设S为D的一个k阶子式，划去S所在 的k行k列，余下的元素按原来的相对位置 组成的n-k阶行列式M称为S的余子式.又 设S的各行位于D中的第ii,i2ik行，S的 各列位于D中的第ji,j2jk列，称A=(-1)(i1+i2+ +ik)+(j1+j2+ +jk) M如：一26447011573I1 6则D的一个2阶子式为：S= 2 8M= 5 3为S的2阶子式M= (-1) (1+3)+ (1+3) 7 3为S的代数余子式.拉普拉斯定理：若在行列式D中任取k行(1<k<n-1),则由这k行所对应的所有k阶 子式与它们的代数

5、余子式的乘积等于D.例9计算2100012100012100012100012例10块三角行列式的计算设：Bm mA =C"或* 、Cnn则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A i,A2, ,At)，则 DetA=(detA i)(detA2) (detAt).例11设分块矩阵A，C D，其中0为零阵,和D可逆，求A-1.例12计算a1a210D = 01an 00bi0b2001bn例13 设:CT=0.证明:aat = bbt cct.例文2:行列式的多种计算方法行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种行列式 的方法有：

6、定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德 行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方 法，从而减轻计算量.1定义法：n阶行歹0式等丁所有取自不同歹U的n个元素的乘积的代数和.例 1 : Dnn 1解：在n!项中只有一项aa23a34anann好不为零，且冗(2,3nE = n1. Dn =(-1广aganann1 =(-1广1 An 一1 n =(一俨 n!2三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式, 2.1特殊行歹0式再利用形式求出行列式的值.(1)(2)2.2解:2.30对角行列式0上三角行列式0下三角行列式n：.nn (n J)=(-

7、1) 2'1'2'n0次对角行列式箭形行列式Dnn :：n次上三角行列式n，n次下三角行列式n :：n10 0nn用E 11 -Z -11 1C1-1Cjj jj0200j =2,3,.n0030-000n=n!(1 -Dn可化为箭形的行列式1)n)nx1a2aiX2Dn = aia2a3a3X3ananXi = ai,i =1,2, , naia2a3X1a _ x 1a1 -X1a YXn仅a2x 2 a?0-a30X3 -尖aan00aa一 X100Xn -a”X1a2a3anan解：Dn*n=1.1 (XiX1 - a1X2 - a2X3 - a3Xna-110

8、0-1010a-100.1n- ai)n1+Za2anX2 - a21k 4 Xk - ak0Ci Cj=nj=2. n(Xi-ai)Xk - ak0n ak 、，、)i 1 (Xi - a)i=10013降阶法 降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列 式转化为低阶行歹0式进行计算例4a b 0 0 0a b 0 0b 0 0 00 a b 0 00 a 0 00 b 0 0按第一列D =99999=a0 0 a b+ (-1)n*baaaa展开aaaa0 0 0 a b 0 0 b 0b 0 0 0 a0 0 0 a0 0 a b+ n十 a+ (1)n*bn =1(1)n(n

9、+1)!24升阶法将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行 列式有某种巧妙的关系，且便丁后面的计算1aa a1aa a0xa a-1x a000ax a& - 2 - ri rn -ri-10x a0111-111a0aax-100x a当x = a时D nn n1+nax _aaa ax a00/ na、/= (1+) (x0x a 01x a00x _ anxh0n J -a)Ci00当x =a时 Dn =0 5递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n - 2, 阶行列式之间的递推关系,再根据次递推关系式求出所给行列式的值例6x a aax a a0

10、十ax a a 0a x aa0 x a0 + aa x a 0aa+aaaaDn = 0 a x0 + a a a xa939a a x 0a a axn尚0 a ax a +an角a a a x-an>hxa a ax a 00 aax a a0 x - a '0 a-+aaaaaa+ : =(x -a)Dn_. +- -aa x a00L x-a aaa a an帘000a nXh=(x a)Dn4 a(x _a)n由此，得递推公式：Dn = (xa) Dnq+a(x - a)n由此递推下去，得：Dn =(x -a)(x _a)Dn a(x -a)n勺 a(x -a)nJl

11、=(a)nlD1 (n 1)a(x a)n n _1=(x -a) x (n -1)a6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般+ aD2 =1 a1111 a2%(1+危)i =1 ai性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值1 +a111 + a21111Dn =a3其中a1a2an , 0a-a1111 +an例7解 Di =1 - ai=叙1丁是可猜测Dn =3归2an(1+£上)(n芝1)下面证明这一猜测是正 确的假 i =1 ain，1设对n-1的情形猜测正确，即Dn=aa2an(a)i A ai1 +a1111 +a11 111 +

12、a21111 +a21 1Dn =aaa -9 a+i9 a9 a1111000ana00 00a20 0-''lanDnd1111=aa2an4 ' anDn丁是乂归纳假设得:Dn =aa2an4an%a2an(1 ' 】)=aan(1' )i a aii =1 ai故对一切自然数n 1n 猜得正确，即 Dn =aa2an(1+£),n1i d ai7利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式,再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式例81111X1X2X3.-XnDn =I-a9in阶氾德蒙行歹U式为n / X1n_2X

13、2n_2X3.-n _2 XnnX1nX2nX3qnXn111-1aa2a3an2a2a22a3-2an=n(aj a。i-a91心n A.an _1a2n A.a3-qn an解构造n+1阶范德蒙行列式=A,n 1 ，xA2,ni XnAn2n 1乂入号X气.侦.=(X -x)(x -X2)(X -Xn) i【(Xi -Xj)1 _j_nDn =Mn,ndf =-In*由电)的表达式知，X的系数为An,n 1 = -(X1 X2 . Xn) I(Xi -Xj)1 _j :HnDn =(X X2 , Xn) | (Xi -Xj) 1:如8拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n个简

14、单的行列式加以计算a,而例9设D =：:111X1X2X3n -2n-2n J2f(X) = X1X2X3n -1n -1n .1X1X2X3nnnX1X2X311XnXa.n -2n_2XnXn -1n -1XnXnnXnX(n 1) (n 1)an1a nnDna1+ X1a2+ X2an+ Xna21+ X1-a22+ X2.a2n+ Xnan1+ X1an2+ X2ann+ Xnai2anX1anDnX2XnXnan1an2 +X2ann 4a1a2+ X2 an+ Xna21aa22+ X2- a2n+ Xnaan1an2+ x2 ann+ Xnnn=D +XnZAin+ +X1Zi

15、di4a21a22A1Xna2n"A1X2X1X1ai2X2ana22an2X2X2变换元素法：变换所给行列式中元素的形式,果，最终得Aija2nann例1021-a1-a1-a21-aaa1-a1-a2,由Dn解令x =1 - aXnXnXn再利用已知行列式的结1 十a +1 a0+1-a0+1-a1 +a000 +1 a1+a+1-a 0+1-a _01+a0a9=a0 +1 a0+1a1 +a +1 a001 + a（拆项法例题结果）知n nDn'(1 - a) Aj因为Aj =(1 - a)ni0 iDn二(1 a)n4(n 1) a(1 -n)10分解乘积法：根据所

16、给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所 给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计 算，从而得到所给行歹0式之值例1121a bia? +bi-aib2a? b?aibna?bnanbian b2an-bnaia?解Dna30 i i0 bi b?0 00ib30bn|0 nZ30 = a + b n = ia(ai a?)(b? b)n = 2an例题31 U 2例1计算行列式 4512I) 2354解:123412 3 412344 5 120 3 11141J *2 3 5 4与+(-2峪0 -1 -1 一43 10 24+(-3也0 -5 -9 -101 234】1

17、2340 -114)1140 -3-11 -14()一3 -11 一140 59 10()一5 - 9 -10+件虹o 11二 1x1x(8)x11 =88例3计算D =-520-5t.+4£0-5rq +4r.8160 -10-10150t)-105/2例 4 i|g D= J1解 注意到行列式中冬行列）4个数之和都为6,故可把第2,3,4行同时加到 第】行，提出公因了 6,然后各行减去第1行化为上三角彩行列式来计食：6 6 6 61111七_ 4111113 111 S 11七-七七一与0 2 0 066113 111310 0 2 011)311130 0 02Fj+rj+r.i+r, D= 48,注：仿照上述方法可得到更一般的结果:= a(H-V)b(a-by l.tt00例5计算D0I)1-Hi °o心1I1解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列然后第2列加至第3列，再 将第3列加至第4列，目的是使。中的零元素增多.0叫 00005七