第三章船体型线光顺性的数学描述

1、第三章 船体型线光顺性的数学描述在上一章中，我们重点讨论了如何根据有限的离散点建立能够准确描述其规律的函数表达式，即建立了函数方程。但是，我们知道船体型表面曲线是要求三向光顺的，我们所建立的插值或拟合函数能否很好地满足要求呢？要想搞清楚这一问题，我们必须从两个方面着手，一是船体型表面曲线的光顺要求；二是插值和拟合函数所能达到了光顺要求。§31 船体型线光顺性准则“光顺”是一个工程上的概念，不同于数学中的“光滑”。在建立三次样条函数时，我们知道所建立的函数应保证曲线不间断；在节点处要有唯一的转角（一阶导数）和弯矩（二阶导数）。对于其它的三次（含三次）以上的插值拟合函数要求曲线是不间断的

2、（函数的连续），还要求在连接节点处具有公共的切线（一阶导数连续）；同时，在曲线与曲线连接时，则要求函数应具有函数及一阶导数、二阶导数连续的条件。凡是满足上述条件的插值或拟合函数，它所定义的曲线就是光滑的。对于工程中所要求的“光顺”的概念，目前还没有一个确切的定义，它是一个依据实际工作者根据多年生产实践积累的经验，用眼睛观察所绘制的曲线，其标准是判断曲线的变化是否满足光滑且和顺。所谓“光滑且和顺”是指所绘制曲线满足光滑的条件的同时，还要满足“和顺”的条件。对于“光滑”即前面所述的光滑的条件，所谓“和顺”，就是曲线在满足光滑条件的基础上，要求其变换趋势没有局部凸凹和弯曲程度剧烈变化等现象。根据上述

3、讨论，我们给出工程上光顺的一般概念：所谓光顺即光滑且和顺，就是曲线在满足光滑条件的基础上，其弯曲变换趋势应满足工程上的和顺要求。一、船体型线光顺性判别准则在手工放样中，曲线的光顺与否主要是依靠放样工人的实际工作经验，这是一项繁琐且枯燥的工作。在数学放样中，我们所建立的插值和拟合函数只是解决了根据给定的一组型值点和端点条件，用数学方法定义型线的问题，至于所定义的型线是否满足光顺性条件，怎样对型线不光顺处进行型值调整，仅仅依靠研究函数本身是很难达到目的的，我们必须找到判别型线光顺性的数学方法和对型线进行光顺性调整的数学方法。在船体型线数学放样中，用于判断型线光顺性的方法，完整地体现了手工放样的光顺

4、的概念，也体现了手工放样光顺性判别的方法。在手工放样中，根据长期积累的实践经验，已经总结出了单根型线光顺的准则：(1) 型线上没有不符合设计要求的间断和折角点；(2) 型线的弯曲方向的变化应符合设计要求；(3) 型线弯曲程度的变化必须是均匀的；(4) 型线光顺的型值调整，应使调整量尽可能的小。根据上述手工放样型线光顺性判别和型值调整原则，将它们逐点“翻译”成数学语言，我们可以得到数学光顺的型线光顺性判别和型值调整的准则：(1) 型线的插值或拟合函数应满足函数及其一阶、二阶导数的连续；(2) 型线的曲率符号变化应符合设计要求，没有多余拐点；(3) 型线的曲率数值变化均匀；(4) 型线光顺的型值调

5、整，应使调整量尽可能的小。二、型线光顺性判别准则的数学意义在前面的讨论中，我们给出了船体数学型线光顺性判别准则4条，下面我们针对这4点逐一进行说明：1、型线的插值或拟合函数应满足函数及其一阶、二阶导数的连续这可以概括为曲线的连续条件。在以前讨论的描述船体型线的插值或拟合函数（以三次样条函数为代表），主要是以相邻两型值点为子区间构造的分段样条函数（这在建立三次样条函数的时候已经给出了充分的说明）。所建立的样条函数本身就满足了“光滑”的条件，即样条函数满足了曲线段在节点处具有函数、一阶导数、二阶导数连续。（注：样条函数的建立就是以上述条件为条件的，故在讨论样条曲线的光顺性时就不必再讨论曲线的连续条

6、件。）2、型线的曲率符号变化应符合设计要求，没有多余拐点从曲线的性状可知，当曲线上出现拐点时，连接拐点的相邻两段曲线之弯曲方向必然发生改变。在高等数学中给出：所谓拐点就是指二阶导数等于0的点。x 图3-1-1y O如图3-1-1所示，在建立三次样条函数时，二阶导数表示的是样条的弯矩，同时，即二阶导数还可以表示曲率，曲率可以反映出曲线弯曲的方向和程度。在图3-1-1中我们可以看出：在虚线的左侧曲线是向上弯曲的（凸曲线），由高等数学知识可知，即曲率，同样，在虚线的右侧曲线是向下弯曲的（凹曲线），必然有，即曲率。于是我们可以得到结论：当曲率小于0则曲线为凸曲线，当曲率大于0则曲线为凹曲线。同时，我们

7、还知道曲线的二阶导数是连续变化的，故曲率的变化也应该是连续的，由 是一个渐进的过程，在这个过程中必然要经过这一位置。我们称这一点为曲线的拐点。这在数学上的解释是二阶导数等于0的点，从图形上解释就是曲线弯曲方向发生改变的点。船体型线中常见的多余拐点主要有以下几种类型：（1）相邻3个型值点之间出现2个拐点123拐点大概所处位置yxO图3-1-22当出现这种情况（如图3-1-2所示）时，是因为中间型值点不满足光顺要求而产生了二个多余拐点，必须调整中间点2以消除多余拐点。注意：这里相邻的三个型值点1、2、3本身都不是所谓的拐点，拐点存在与1和2、2和3之间的某个位置上。同时，为了消除多余拐点也并不是去

8、除拐点本身，而是调整型值点使拐点自动消除，我们在调整时也没有必要找到拐点到底在哪里。x 图3-1-3y O1234（2）相邻4个型值点出现3个拐点对于这种情况（如图3-1-3所示），其中必然有一个拐点是设计要求的拐点，若设计要求拐点处在1点和2点之间，则多余的二拐点处在2、3和4点之间，剩余拐点的处理方法同第一种情况，调整第3点，直至消除所有多余拐点。（3）相邻5个型值点出现4个拐点对于这种情况，必然是其中间型值点不满足光顺要求。（4）相邻4个或5个型值点之间出现2个拐点对于这种情况，有两种可能：一是它们都是设计要求的拐点；二是其中有多余拐点。因曲线端点切线斜率给定不当，导致靠近曲线端点处出现

9、多余拐点。3、型线的曲率数值变化均匀一根型线在满足数学“光滑”且没有多余拐点的情况下是不是就是光顺的呢？事实上，一根型线在没有多余拐点的情况下，只是表明了型线达到了光顺的初步要求。在没有多余拐点的情况下，只是表明了曲线的弯曲方向满足了光顺的要求，但是弯曲程度的不同变化也可能引起不光顺情况的发生。例如：在相邻几个型值点之间，虽然其曲率符号满足光顺性要求，单曲线弯曲程度的变化，可能由逐步递增突然变为递减，然后又突然变为递增，这样同样可以引起曲线的不光顺，这种不光顺有的时候用肉眼都是可以观察的到的。在前面的讨论中，我们已经清楚的知道，曲线的曲率很好地反映了曲线的弯曲情况：曲率的符号（正负）反映了曲线

10、的弯曲方向；曲率的大小（绝对值）反映了曲线的弯曲程度。因此：曲线弯曲程度的变化趋势，实质上是曲线曲率数值的变化规律。§32 曲线不光顺的数学判别方法一、多余拐点的判别通过上节课的讨论我们可以知道，曲线的不光顺大致可以分为两种：其一，曲线有没有多余拐点；其二，曲线的曲率变化是否均匀。下面我们分别针对这两种情况进行数值上判别。对于多余拐点的判别，目前主要有两种方法，第一种，利用型值点之间内在的联系，直接利用给定的型值数据，建立判别多余拐点的数学方法，我们称之为“初光顺”法；第二种，利用求得的插值或拟合函数计算所求曲线的几何属性，建立判别多余拐点的数学方法，我们称之为“函数法”。1、初光顺

11、法这种方法的前提只是给定了一系列型值，前面所讨论的用二阶导数、曲率等判别多余拐点的方法都无法使用了。所以，我们必须找到一种新的东西可以表征曲线的弯曲方向。图32-1xy如图3-2-1所示，给定一系列型值点及样条曲线（为了说明情况，将图形局部放大，就形成了图中的锯齿状）。计算各型值点的二阶差商，用二阶差商的符号来表示曲线弯曲的方向。差商的概念在数学中早有涉及，我们先从一阶差商开始引入。 其实就是的斜率。而二阶差商是指一阶差商的一阶差商。结合图3-2-1，可以发现上式中的所有分母都是大于0的，故上式的符号取决于分子的符号。，这样可以得到：式中，显然必有：同样：上述二阶差商符号的变化不是一种偶然，而

12、是一种必然的结果。观察图形，寻找图形的变化和二阶差商符号的变化有没有一种必然的内在联系。我们发现在点曲线为凸，在点曲线为凹，在点曲线为凸。于是我们可以得到：二阶差商小于0则曲线在此处为凸，反之，若二阶差商大于0则曲线在此处为凹。这样我们就可以通过二阶差商这一直观的数据来判别曲线的凸凹性。结合上节所述内容，当曲线存在凸凹变化时，必然经过二阶导数等于0点，亦即曲线的拐点。于是，当曲线的二阶差商发生变号时可以判断必然有拐点存在。即：若相邻两型值点的二阶差商之积小于0（），则它们之间必然存在拐点。同样地，要清楚地知道各型值点并不是我们要寻找的拐点，我们要做的只是知道有没有拐点的存在，至于具体在什么位置

13、是没有必要知道的。例题3-2-1 已知如下型值，用初光顺法判断曲线有没有拐点存在20040060080010001200240362408370338244解：求各型值点二阶差商（注：首末两点的二阶差商无法求出，也无需求出）显然有：，注：我们这里并没有对首末两段曲线（）进行判断，要想进行判别还必须补充一个端点条件，只有给定了端点的一阶导数，则就可以判别之间有没有拐点（请读者思考原因）。2、函数法用插值或拟合函数计算曲线的几何属性，建立判别多余拐点的数学方法，我们称之为函数法，其实就是曲率符号判别法或二阶导数判别法。在建立三次样条函数的讨论中，我们已经知道：曲线的曲率反映了曲线的弯曲方向和程度，

14、能够很好地表示曲线有没有拐点。对于式（272），分母恒取正号，故曲率的符号弯曲取决于分母，即二阶导数的值。这也就表明曲线的插值或拟合函数的二阶导数符号表示了曲线的弯曲方向。同时，在我们用分段三次样条函数进行曲线插值时，其插值函数的二阶导数是可以求得的，它是以型值点为节点的分段线性函数（参见§2-9）。若，则表明这两点之间必然存在一个拐点。其思路与前面所述相同，由于二阶导数的连续性，在这两点之间必然存在一个位置使得其二阶导数等于0，即为拐点所处位置。具体的判别方法和步骤我们将在后面的内容中给出详细的说明，这里读者只需理解这种方法的思路就可以了。二、曲率数值变化均匀性判别上面的内容讨论了

15、曲线有多余拐点的判别方法，但是大家知道曲线没有了多余拐点并不意味着曲线就是光顺的了，曲线曲率数值变化的均匀性同样能够决定曲线光顺与否。如果说曲率符号的变化是一种质变的话，那么曲率数值大小的变化就是一种量变，质变固然能够引起曲线的不光顺，但是量变的积累同样可以产生同样的结果。曲线弯曲程度的变化趋势，实质是曲线的曲率数值变化规律的外在体现。也就是说，一条光顺的型线，除了曲率符号（弯曲方向）的变化应满足设计要求以外，其曲率数值（弯曲程度）的变化必须是均匀的。但是何谓均匀呢，有没有一个量化的标准？这个问题一直都在困扰着人们，目前还没有构成一个严格的数学概念。读者阅读本书至此，应该可以总结到，我们所进行

16、的数学放样，其思路仍旧沿用手工方法的思路，其方法也与手工放样类似。甚至可以这么说：数学放样就是手工放样的数字化。那么对于曲线弯曲程度变化均匀性的判别这一问题也不例外，我们还是先从研究手工放样中这一问题的解决方法入手，来进一步寻找数学的方法。在手工放样的型线光顺中，对光顺曲线的弯曲度变化规律的要求，一般可以归纳为三种形式：其一，曲线从弯曲度大开始，满足弯曲度逐渐减小的变化规律；其二，曲线从弯曲度小开始，满足弯曲度逐渐增大的变化规律；其三，曲线由弯曲度大开始，满足弯曲度逐渐减小，直至通过一个设计拐点，弯曲度再逐渐增大的变化规律。研究上述变化规律，我们可以发现只要曲线的弯曲度（这里的弯曲度，即弯曲程

17、度，在数学上可以用曲率或二阶导数的大小来表示）满足变化的一致性（即一直变大或一直变小）就可以满足光顺要求。这在数学上可以描述为某函数在特定的区间里满足单调性。同时，在我们用分段三次样条函数进行曲线插值时，其插值函数的二阶导数是可以求得的，它是以型值点为节点的分段线性函数。这样，我们就可以用二阶导数这一分段线性函数的变化规律来表示曲率的变化规律了。图3-2-2xK(x)Ko从上面的分析我们知道只要图中所示K(x)曲线满足单调性条件，则所对应的三次样条函数K的曲率变化就是均匀的。但是，又该如何判断K(x)曲线的单调性呢？结合我们所研究问题的特点，可以看出用数学中讨论的函数单调性的判别方法是不可行的

18、，因为我们并没有求出K(x)曲线这一分段线性函数的函数表达式，所以用数学里面的单调性判别方法是不容易判别的。现在我们要寻找一种简捷方法来判别K(x)的单调性。查看我们所已知的条件：三次样条函数已知，则各型值点的二阶导数可以求出，即在K(x)曲线中知道了各点处的函数值（K值即为求得的二阶导数的值，x值就是型值表给定的型值间距）。也就是说我们所已知的是各个点的坐标值。当光顺曲线的曲率值变化，随着x的递增，呈现出逐渐递增或逐渐递减的变化规律，它表示曲线曲率值的变化满足单调性的要求。但是当在递增或递减的变化规律中突然出现相反的情况则表明曲率的变化不满足单调性的要求。联系我们前面所讨论的“初光顺”法判别

19、曲线有没有拐点的方法，当某点的二阶差商的符号与相邻的二阶差商的符号不同时，则表明弯曲方向发生了改变，那么我们可不可以通过这种方法判别曲线的单调性呢？如图3-2-3所示的K(x)曲线，整条曲线保持递增的趋势，但是在i1点却出现了异常情况。ii+1i+2Kx图323求曲率的二阶差商：显然有：，于是有：在观察上面两个式子，可以发现：一般情况下船体型值的给出都是x 值逐渐递增，也就是说上面式子的符号与分母无关。于是上面的式子可以写出：这里的的值虽然不同，但是其符号却是完全相同的，故我们可以通过计算来判断曲线曲率变化是否均匀。关于曲线曲率变化是否均匀判别的补充说明：为什么曲线总体趋势总是保持递增或递减，

20、有没有可能出现先递增后递减或者相反的情况？由于数学放样是手工放样的数学模拟，在手工放样中曲线曲率变化规律主要有三种情况，这在前面已经提及。所以我们在讨论数学放样中曲线曲率变化是否均匀时也只是针对这三种情况进行分析。至于有没有先递增后递减或者相反情况的出现，回答是肯定的，这也是手工放样中弯曲度变化规律的第三种情况。三、型线不光顺的调整原则在数学光顺中，通过对型线进行光顺性判别并不是目的，当发现型线不光顺时，重要的是需要对不光顺处进行型值调整，直至型线最终达到光顺的目的。但是，对型值调整时有没有什么要求呢，对调整量有没有什么限制？数学光顺的型线光顺性判别和型值调整的准则的第四点：型线光顺的型值调整

21、，应使调整量尽可能的小。这就是型值调整的原则。但是，何谓最小，有没有一个量化的标准？目前，处理不光顺型线的型值调整方法可以分为两类：其一，用曲线拟合函数进行逼近的方法；其二，局部修改型线不光顺处节点型值的局部调整法。1、用曲线拟合函数逼近调整法我们知道，插值法是寻找一个函数使之点点通过已知型值点，那么这一函数就能够完整地反映所有型值点的特征，当型值点中某点是坏点（不光顺点，可能因为测量误差，或读数错误引起的不光顺点）时，它还是如实地反映该型值点的特征，这样就不可避免地出现了曲线不光顺的。当用样条函数对给定型值点进行曲线拟合时，其拟合曲线不要求点点通过已知型值点，而要求曲线是光顺的，并保证型值偏

22、移原始型值为最小。用拟合函数来描述型线的方法的基本思路是寻求型线光顺性和型值偏离绝对值总和最小的统一。如我们所讨论的最小二乘法就是在保证曲线光顺的前提下，保证其与型值点之差距的平方和最小。但是，我们知道船舶的型值是设计时确定的，在建造的过程中要尽可能的不予改动，当不得不改动时，要使改动的点尽可能的少，且使改动的点的型值改动量尽可能的小。用曲线拟合法进行拟合曲线时，不是针对某一个型值点进行型值修改，而是使拟合曲线与每一个型值点的型值的差距达到最小。这也就是说有可能对所有的型值点都进行了改动，这显然与船舶型值的调整原则不相符，这也是为什么拟合法在数学放样中很少使用的原因。2、局部调整法在局部调整法

23、中，又可以分为直接对型值点进行光顺的初光顺修改法和用插值函数有关几何属性建立求解修改量关系式的型值调整法两种。(1) 初光顺修改法这种光顺方法的主要目的是消除型值点中的坏点。b)a)D图3-2-4我们知道对于给定的型值大部分都是满足光顺条件的，只是极少数才是所谓的坏点（必须修改的点），但是虽然坏点只是极少数，出现坏点的情况是多种多样的，所以决定消除坏点的型值修改范围也有两种类型，一种是产生的拐点都是多余拐点时的修改范围；另外一种是与坏点相邻的拐点有一个是设计要求的拐点时的修改范围。a)这是一种修改方法，延长相交于的同一侧于D点，这样就构成了一个三角形。过点作垂直于x 轴的直线，交于C点，交于点

24、 。显然，在线段（不含点）上任意一点都能够保证其二阶差商与相邻两点的二阶差商同号。在上点的二阶差商都等于0；在交点以上点的二阶商等于0，故在上所有点都能够满足没有多余拐点，这就是坏点的调整范围。请读者思考为什么只有在上才满足调整条件？b)这是第二种类型的修改方法。坏点两侧的的延长线不在交于的同一侧，而是分别处于的两侧。分别过点作垂直于x轴的直线，它们分别与其延长线相交于点，这样就构成了一个梯形。过点作垂直于x轴的直线，与梯形的两边相交于点。同样，在上所有点都能够满足没有多余拐点，这就是坏点的调整范围。(2) 插值函数的型值调整原则用这种方法进行型值调整时，对于多余拐点的消除调整与前面所述方法类

25、似，调整范围是固定的。这在后面的型线不光顺的调整中还要作详细的介绍，这里就不作过多的说明。下面主要针对曲率变化不均匀这一光顺性条件作一说明。在建立判别型线光顺性的数学方法讨论中知道，目前表达型线光顺性的最终条件是曲线曲率的数值变化满不满足单调性要求，也就是说相邻两节点的曲率二阶差商之积应不小于0，即应该同号。同时，为了满足型线光顺和型值偏移量尽可能小这一原则要求，所以，应以该节点型值调整后的曲率的二阶差商应大于0且数值较小为最佳。这就是建立确定不光顺点型值调整量的数学方法的基本原则。§33 回弹法光顺船体型线*一、光顺的判别我们知道数学放样的方法和步骤往往是手工放样的方法的数学描述，

26、在进行讨论数学光顺船体型线以前，还是先从讨论手工光顺船体型线的方法开始入手。在手工放样中，绘制船体型线的方法是：根据给定的型值在放样间地板上找到该型值点，然后用压铁逐点压住样条，使之点点通过已知型值点。当出现曲线不光顺需要调整的时候，不是增加压铁的数目，而是提起不光顺点的压铁，使样条适当回弹，以实现型线的光顺。这就是回弹法光顺船体型线的由来。那么，上述手工光顺方法如何用数学的方法实现呢？要想解决这个问题，我们还必须从如何判断曲线是否光顺开始入手，下面我们就单根型线光顺性的判别展开讨论。我们知道，船体型线是由一根一根的曲线组成，如果能够保证每一根型线的光顺性，则整个船体型线的光顺性也就自然而然地

27、得到了满足。下面我们就船体的单根型线进行光顺性的判别。这里需说明一点，我们这里要判别的单根型线是一条三次样条函数曲线。由于我们需判断的船体型线所采用的曲线是三次样条函数，故其本身就满足曲线的连续条件（函数、一阶导数、二阶导数），就无需再做过多的说明。1、有无多余拐点的判别三次样条函数是由一系列型值点通过一定的数学方法建立起来的分段的三次的函数，也就是说所有关于函数的参数（）都已经求得，故我们通过插值函数所表示的曲线的几何属性，建立多余拐点的数学判别式。在前面的内容讨论中，我们已经知道当曲线的弯曲方向发生改变时表示必然有拐点存在，当曲线的弯曲方向发生连续改变时表明必然有多余拐点存在。所以，可以说

28、什么可以反映曲线的弯曲方向什么就可以用来判断曲线有没有拐点或多余拐点。如前面的二阶差商、二阶导数等。在三次样条函数中，有下式：显然，三次样条函数系数与函数的二阶导数有必然的联系，它们大小成一定比例，符号相同。二阶导数的符号能够表示曲线的弯曲方向，那么，系数同样可以表示曲线的弯曲方向。现我们对有多余拐点的第一种情况(相邻3个型值点出现2个拐点)进行分析。这种情况表明相邻3个型值点的二阶导数出现了连续变号，于是可以得到多余拐点的判别式： 若上式成立，则表明相邻三个型值点出现2个拐点，第i点不满足光顺要求，必须给予调整。对于其它几种类型，这里就不再赘述，请读者自己写出它的多余拐点的判别式。2、曲率数

29、值变化均匀性判别在前面的讨论中，对于曲线曲率数值变化均匀性的判别是通过判别曲率函数是否是一单调函数，即判断曲率的二阶插商是否变号来判别曲率变化是否均匀。同样地，这里我们也可以通过判断三次样条函数系数的二阶插商是否发生变化来判断是否有曲率变化不均匀的现象。我们令其二阶插商为，于是有： 如果，则表明曲率变化不均匀，必须要给予调整。观察上面两个式子，最终我们要求的只是式子的符号，对于式子的分母在船体型线的型值表示中往往是正值，故可以略去不计。于是，上面两个式子可以写成： 通过判断是否成立可以知道之间曲率变化是不是不均匀。3、曲率数值变化均匀性判别我们知道曲线曲率的符号反映的是曲线弯曲的方向，曲率绝对

30、值的大小反映了曲线的弯曲程度。这样对于三次样条函数来说，曲线的曲率数值的大小也就反映了弯曲程度的大小。根据力学知识和生活经验可以知道，木样条的弯曲程度的变化反映了木样条在各点处的回弹力不同。由材料力学知识，样条在处的回弹力等于该点左右剪力之差。那么，曲线曲率变化均匀性也就体现为样条在各点的回弹力变化均匀性。曲线的曲率数值变化直接与木样条回弹力的大小有关，回弹力越小，则曲线越光顺。在三次样条函数系数的求解时，所有的系数都用表示可以得到:对此式求导两次。同时，我们知道：，可以令于是有:我们还知道： 由于于是：令样条在处的回弹力为，则：令于是有：当时，就表明在附近处回弹力没有达到最小，需要调整。对于

31、，是一常数，所以的变化就直接反映了的变化。观察上式，我们可以发现：表示相邻三压点间的两线段的斜率差。当出现时表示曲线相邻两压点附近曲率变化不均匀。二、样条曲线不光顺时的调整通过前面的讨论，我们已知知道了样条函数不光顺的类型，不光顺的判别，但是，我们应该清楚，这些都不是目的，我们的目的是最终得到光顺的样条曲线。但怎么才能由不光顺的曲线得到光顺的曲线呢？调整，只有对不光顺点进行适当的调整才能将引起不光顺的型值点消除，才能将不光顺的曲线变成光顺的曲线。1、基样条函数前面我们所讨论的三次样条函数是通过一系列的型值点建立起来的，这些型值点是设计部门给定的代表一定意义的数值。我们所建立的三次样条函数比较准

32、确地反映了这些型值点的特点和相互关系。我们这里要讨论基样条函数是通过一系列特殊型值点的三次样条函数。图3-3-1通过型值点可以构造一个三次样条函数，称之为基样条函数。这里的与前面所讨论的三次样条函数的是相同的，即基样条函数的横坐标与普通的三次样条函数是相同的都是型值表中给定的型值。值得注意的是这里的与型值表中的是不同的。 且 其中j是不光顺点的序号。即基样条函数的y值除了在不光顺的j点外全部等于0，通过这些点用样条的思想也是可以建立一个三次样条函数的。我们可以想象这一个基样条函数的图形必然是沿着x轴延续，只有在第j点才向上突起一个单位，如图3-3-1所示。其实，基样条函数就是一个单位样条函数，

33、是只在第j点才有一个单位的值而在其它点的函数值都为0的样条函数。我们还可以视之为三次样条函数在第j点y值调整一个单位的样条函数的改变。但是，不论它是多么地简单，它毕竟是一个三次样条函数，故其它三次样条函数所具有的特征它同样也具有，比如它也应该有它的系数，我们记为。我们称基样条函数的系数为影响向量。的值是正负相间的，除了和外，其它的都迅速衰减，逐渐接近与0。2、样条函数的线性迭加性给定一个三次样条函数，对第j点进行调整，调整量为，则调整后的三次样条函数为。则：对上式求导两次，并令得：我们知道：则6，6于是有：即：同样地，根据的关系，可以得到：可以看出，调整前后的三次样条函数的有关参数（函数值、系

34、数）与调整量成线性关系，即有线性迭加性。3、样条曲线不光顺时的调整根据我们上面的讨论，我们已经为为样条曲线不光顺处的调整打下了必要的基础，下面我们来讨论利用样条函数的线性迭加性进行样条函数曲线不光顺处的调整。调整的方法：计算当达到光顺要求时的型值调整量。（说明：我们这里所讨论的型值调整只是单型值调整法，即只对不光顺的某一型值点进行调整，而不对其相邻的其它型值点的型值进行调整。）图3-3-2（1）多余拐点的型值调整经过光顺性判别发现：说明有2个拐点存在，第j点必须进行调整。如图3-3-2所示。通过判断我们容易得到这是相邻3个型值点出现2个拐点的情况。xj点为不光顺点，必须给予调整。调整的方法是什

35、么样的呢？联系前面讨论的基样条函数，对xj点不光顺的调整其实就是在xj附近建立一个基样条函数，我们通过每次对原函数迭加一个基样条函数的方式进行不光顺的调整。观察图型，我们可以发现如果将突起部分调整为图中点划线所示情况时，就基本满足了光顺要求。那么该如何调整才能达到这种程度呢？根据三次样条函数的线性迭加性：同时结合§3-2 型线不光顺的调整原则，我们将调整分为两步。第一步调整：首先令0，即将样条曲线上的j点调整到j1和j+1两点的切线上。（两点的切线是一条直线，直线的一阶导数为常数，二阶导数必然为0，所以在这里的0）这样我们可以得到调整量为： 第一步调整量。通过这一步调整，使得0 ，这

36、样对于拐点已经消除，因为这个时候判别式 已经不在成立，而是成为了 ，但是这并没有达到目的，要想达到目的必须要有 成立。注意：一旦第j点调整到切线上时，就等于原来的样条函数发生了改变（影响向量只是对相邻的2点产生影响，对其它的点可以认为是没有影响的），这样会导致相邻的两个点j1点和j+1点发生改变，改变量是多少呢？有没有这么一种可能：使得j1点或j+1点的弯曲方向发生改变，如果是这样的话，则说明调整是不成功的（因为对j点的调整使得前后两点的弯曲方向发生了改变）。对于调整后的型线，其也是一个三次样条函数，对于这么一个三次样条函数，也有其本身的系数。由于基样条函数的性质，我们可以知道，对于其它点的影

37、响很小，可以忽略不计，故我们只需要对j1点和j+1点的三次样条函数系数进行判别，看有没有发生变号即可。如果此式成立，则表明对j点的调整，没有使得其前后两点j1点和j+1点的弯曲方向发生改变，调整是成功的，第一步调整结束，可以转入下一步的调整。否则，则说明对j点的调整，对其前后两点的影响很大，导致其发生了质的改变（弯曲方向发生了改变），调整不成功。而根据§32 型线不光顺的调整原则，这里的调整量已经是最小的调整量，没有办法给出更小的调整量，我们称这种情况应转入大波动调整。第二步调整：第二步调整是在第一步调整的基础上进行的。取注：这里要取的是绝对值最小者，作为的值。这么做的原因是根据型值

38、调整的原则，我们应使调整量尽可能的小。同时，根据样条函数的线性迭加性：根据第一步的调整，我们知道0，有：，于是可以得到第二步的调整量：通过这一步调整，则将j点调整到了图中的点划线上，多余拐点已经消除了。但是，同样地我们还要判断，对j点这一步调整有没有导致其前后两点j1点和j+1点的弯曲方向发生改变。进行判断：如果成立，则说明调整成功，小波动消除，已经没有多余拐点。如果不成立，则说明调整不成功，转入大波动调整。通过上述两步的调整，小波动已经完全消除，没有了多余拐点。调整后的型值为：用代替原来的型值。可以看出，我们所讨论的单型值调整法，只是将调整到，而其它的点都没有发生变化。(2) 曲率数值变化不

39、均匀的调整一根样条曲线没有多余拐点只是意味着其各个型值点的弯曲方向满足了要求，还不能说曲线就是光顺的了。我们还需要进行曲率数值变化不均匀的判别和调整。同样地，我们还是进行单型值的调整。我们知道，当时，表明样条在j点和j1点处的回弹力的方向相反，也可以说样条函数的系数的二阶差商发生了变号，曲线的曲率变化不均匀，曲线不光顺，需要进行相应的调整。只要使得式不成立，则曲率变化不均匀的问题就可以解决，结合型值调整的原则，我们要使型值的调整量最小，只要使得：即可。对于，可以表示为，也就是说可以使或者。若，则为将第j点的压铁提起，使样条在此点自然回弹，使之回弹力等于0，然后再将压铁压住；若，则为将j+1点的

40、压铁提起，使样条在此点自然回弹，使之回弹力等于0。这样，我们可以得到两个调整量，然后根据型值的调整原则，我们取调整量小者作为最终的型值调整量。根据样条函数的线性迭加性：1） 调整：0所以，调整量：2）调整：0所以，调整量：取两个调整量绝对值最小者：，）通过这一步调整，则消除了曲率变化不均匀的现象。到现在为止，曲线的多余拐点已经消除，曲率变化不均匀也得到了适当的调整，曲线已经满足光顺条件了。总的调整量为：调整后的新型值为：型值调整结束。§34 圆率序列法光顺船体型线前面所讨论的回弹法光顺船体型线，有一个很重要的前提，那就是先必须通过所有的型值点建立三次样条插值函数，然后才能进行光顺性的

41、判别和不光顺处的调整，调整后还要再次建立光顺后的样条函数。这种做法要经过若干次的调整和判别，显然有了多次的重复劳动。于是，我们设想可不可以在建立样条函数前就进行光顺性的判别和不光顺型值点的调整，等这些工作结束后，所得到的新的型值就是好的型值，通过这些型值点所建立起来的样条函数必然是符合要求的样条函数。我们知道，通过一系列型值建立起来的样条函数是否光顺，不是因为用什么样的函数或者方法所决定的，其根本原因是给定的型值点本身是否光顺，也就是说曲线光不光顺取决于内因，也就是型值点本身。我们这里要讨论的圆率序列法就是从型值本身入手，从型值进行光顺判别和调整。图3-4-1 圆率的概念pi-1pipi+11

42、、何谓圆率在同一平面内，通过不在同一条直线上的三点可以且只可以建立一个圆。我们称此圆的半径之倒数为中间点的圆率，半径倒数的数值是中间点圆率的绝对值，其符号也就是中间点圆率的符号。如图3-4-1，通过三点，确定一个圆，则此圆的半径之导数，就为中间点圆率的绝对值。我们约定：当三点的顺序为逆时针时，圆率的符号为正，如图3-4-2所示。图3-4-3 负圆率图3-4-2 正圆率pipi+1pi-1当三点的顺序为顺时针时，圆率的符号为负，这时的的圆率取通过三点圆的半径之负倒数，如图3-4-3所示。圆率的符号表示中间点的弯曲方向，当为正时，中间点为“凹”；反之，为负时，中间点的弯曲方向为“凸”。同时，大家还

43、可以看出：当通过三点的圆半径越大，则中间点的弯曲程度就越小，反之则越大。这也就说明中间点的圆率的符号可以反映其弯曲的方向；而其圆率的大小可以反映其弯曲的程度。这与我们前面所讨论的曲率有着异曲同工之妙。事实上圆率就是二阶差商的一种引申形式，同曲率有类似之处。把所有点的圆率组合起来就组成了圆率序列，所以我们也可以通过圆率序列来判断曲线的光顺性。2、圆率的计算通过不在同一直线上的三点，可以确定唯一的一个圆，如图3-4-4所示。由图中可以看出，的圆率是一个负值，我们只有求出该三角形外接圆的半径，则即为我们要求的中间点的圆率。所以：图3-4-4 圆率的计算设圆率为，则这里的 3、用圆率判断曲线的光顺性通

44、过前面的讨论我们已经知道圆率的大小可以反映曲线弯曲的程度，圆率的符号能反映曲线弯曲的方向，和前面讨论的曲率有相似之处，所以可以用来判断曲线的光顺性。(1) 多余拐点的判断 如果上面判别式成立，就说明曲线的弯曲方向发生了连续改变，存在多余拐点。从而我们还可以判定第i点为坏点（不光顺点）。（注：读者朋友要注意区分拐点和不光顺点的区别，拐点是二阶导数为0的点，而坏点的二阶导数并不等于0，但是坏点又确实是引起存在拐点的原因，故调整坏点可以有效地消除拐点。）(2) 圆率变化均匀性判别如用曲率判断曲线的光顺一样，没有多余拐点并不意味着曲线就是光顺的，还要判断圆率的变化均匀性。同样，我们还是用圆率的二阶差商

45、是否变号来判断圆率变化的均匀性。设圆率的二阶差商为，则有：当出现时就说明圆率变化不均匀。结合型值表中给定型值的特点，对于上面式子的分母必然都是大于0的，所以分母对式子的符号没有影响，我们只需要研究分子就可以了。型值点的圆率序列的符号反映了型线的弯曲方向, 其绝对值则反映了型线的弯曲程度, 而圆率序列相邻二点的一次差的符号和绝对值反映了型线上相邻型值点弯曲变化的趋势, 也就是型线的光顺程度。故利用型线型值点的圆率和圆率一次差可直接对型值点进行光顺性判别。用圆率序列来判断曲线的光顺性不用先插值样条函数，比较方便快捷，所以目前在国内外许多造船软件中都比较常用，如沪东中华造船厂的优秀造船软件HDSHM

46、2000就是应用圆率序列法进行型线的光顺性判别和不光顺的调整的。下面给出用HDSHM2000进行光顺性判别的例子，首先，我们先给出HDSHM2000的光顺判别准则： (a) 型值点圆率序列没有多余的变号，即我们称之为“粗光顺” (b) 型值点圆率序列的一次差没有连续变号，即我们称之为“精光顺”。例题3-4-1序号 离舯值（X） 半宽值（Y） 圆率 圆率一次差 1 62376.9219 10000.0000 -.0158 .0004 2 66000.0000 8750.5938 -.0136 .0021 3 70125.0000 7061.5488 -.0096 .0040 4 74250.00

47、00 5160.1699 -.0019 .0077 5 76500.0000 4104.5322 -.0005 .0014 6 77100.0000 3822.4319 -.0048 -.0043 7 77700.0000 3538.0000 -.0177 -.0129 8 78375.0000 3207.6201 -.0523 -.0347 9 78767.5938 3000.0000 -.0384 .0139 10 80463.4297 2000.0000 -.0831 -.0447 11 81698.0000 1000.0000 -.3040 -.2209 12 82009.0000 5

48、00.0000 -.6785 -.3745 13 82067.5000 300.0000 -.8404 -.1618 14 82090.0391 100.0000 -.5865 .2538 15 82092.4219 .0000 -.4563 .1303 该型线型值点的圆率没有连续变号，故满足粗光顺要求。但其型值点的圆率一次差在第9点型值处出现连续变号,故不满足精光顺要求。该型线达到了粗光顺而没有达到精光顺, 所以是一根较好的光顺型线。§35 船体型线的边界条件我们知道，船体的型线是由三次样条函数来描述的，但是，要确定这些型线仅仅通过给定的型值还是不够的。在我们确定三次样条函数时需要

49、补充两个端点条件，如给定端点的一阶导数、二阶导数等，但是在给定的型值表中并没有相关的信息。一、确定边界线描述船体的型线除了样条函数外，还有一些其它曲线，如直线、圆弧等。对于船体中出现这些曲线时，没有必要舍近求远用样条曲线来描述，只要用比较简单的直线或圆的函数来描述就可以了，只有曲线部分才需要用三次样条函数来插值或拟合。我们知道三次样条函数本身是可以保证在节点处函数、一阶导数、二阶导数连续，但是当三次样条曲线与直线、圆弧这些较简单的曲线相接时就不再是这种情况了。当曲线（指的是三次样条曲线）与直线连接时，交点处只要有函数值相同，同时保证曲线在此处的切线与直线重合就行了。也就是说保证节点处有函数的连

50、续和一阶导数连续就可以了。当曲线与圆弧连接时，交点处只要求有函数值、一阶导数连续，二阶及二阶以上导数是不连续的。也就是说保证节点处有函数的连续和一阶导数连续就可以了。因此，在单根曲线光顺之前，必须将型线的曲线部分和直线或圆弧部分分开。但是怎么样才能区分出曲线和直线或圆弧呢?其实，这部分工作在型线设计部分已经由设计人员完成了，我们称这部分工作为确定端点条件。所谓端点条件就是曲线两端与其它曲线（直线、圆弧等）拼接时，求出端点的坐标值和切线斜率等。在前面的三次样条函数求解的内容里，我们知道仅仅通过若干型值点这些条件还不足以将三次样条函数定出，还需要补充两个端点条件，这两个端点条件是给定端点的一阶导数

51、或者二阶导数等。前面让读者朋友思考了是不是所有的端点条件都是人为给定的，这里我们给出答案。船体的型线如横剖线、水线、纵剖线，这些型线总是有起点和终点的，如横剖线从底平开始到舷墙顶线结束，那么该横剖线与底平线的交点就是其起点，而与舷墙顶线的交点就是终点。对于这个起点和终点需要给出它的型值和一阶导数或二阶导数，下面我们就根据船体数学放样的实际来说明端点条件的给出方法。在目前世界上大部分造船CAM软件中，对型线的处理总是将船体分为前后两个半艏，即以中间站号（10站或5站）为中点，将船体分成前半艏和后半艏。这样，船体的水线和纵剖线都被分成了前后两段，这就意味着一个曲线被分为了两根曲线，也就是有了4个端

52、点，需要给出4个端点条件。所有的水线在船中各有一个端点，在船舶首尾也各有一个端点；同样地所有的纵剖线在船中也都有一个端点，船舶首尾也各有一个端点；对于横剖线在船舶底部和顶部也都有端点。如果我们将水线在船中的端点连接起来就可以形成一条曲线，我们称这条曲线为边界线。由于船体表面是一个光顺的空间曲面，所以各边界线也应该是光顺的曲线。在我们所讨论的确定端点条件，其实就是确定并光顺这些边界线，然后再来确定各船体曲线（三次样条曲线）的端点型值和端点斜率。船体的边界线主要有以下几种：1、平边线大部分船舶在船中都有一段是平直的，称为平行中体，如图3-5-1所示。平边线站线曲线直线图3-5-2图3-5-1如果我们在舷侧用一个垂直于基线平面的平面与船体曲面相切，可以得到一条切线。同样型线图中靠近船中的各横剖线（如第9、10站）与最大半宽相切的各切点，假想连接成一条光顺曲线称之为平边线。不难看出，对于横剖线（只是在平行中体部分的横剖线，其它部分的横剖线不是如此）而言，平边线以上的部分必然为直线，这也就是说，在平边处曲线横剖线与直线连接，即三次样条曲线与直线连接。对于水线而言，在平边线以上这部分（平行中体部分）的水线都为直线，也就是说，水线靠中部分有一段是直线，即为三次样条曲线与直线的连接。水线平行中体曲线直线图3-5-3平边线可以确定有关横剖曲线在最大半宽的端值和有关水