线性规划问题解的性质学习教案

1、会计学1第一页，共35页。 2.1 2.1 两个变量的线性规划两个变量的线性规划(xin (xin xn u hu)xn u hu)问题问题 的图解法的图解法第1页/共35页第二页，共35页。1. 二元一次不等式表示二元一次不等式表示(biosh)平面区域平面区域2.1 两个变量的线性规划两个变量的线性规划(xin xn u hu)问题的图解法问题的图解法问题问题(wnt)1：x+y- -10以二元一次不等式以二元一次不等式 x + y- -1 0的的xy11ol：x+y-1=0 xy11ol：x+y - -1=0 x+y- -10以二元一次方程以二元一次方程x + y- -1=0 的的 01

2、 , yxyx解为坐标点的集合表示什么图形？解为坐标点的集合表示什么图形？问题问题2：解为坐标点的集合表示什么图形？解为坐标点的集合表示什么图形？第2页/共35页第三页，共35页。x+y=0A练习练习(linx)画出不等式组画出不等式组表示表示(biosh)的平面区域。的平面区域。解：解：画直线x-y+5=0，确定不等式x-y+50表示(biosh)的区域；画直线x+y=0，确定不等式x+y0表示的区域；画直线x=3，确定不等式x3表示的区域；取公共区域部分。xyo2 4-2-424x-y+5=0 x=3BC 3005xyxyx第3页/共35页第四页，共35页。基本概念：基本概念：(1) z=

3、 2x+y(3). 象此问题一样，求线性目标函数(hnsh)在线性约束条件下的最值 的问题统称为线性规划问题。(4). 满足约束条件的解(x，y)叫做可行解。(5). 可行解组成的集合叫做可行域。（阴影部分）(6).使目标函数取得最值的可行解叫做最优解最优解。目标函数目标函数，也叫线性目标函数。 1255334xyxyx(2).线性约束条件。x-4y+3=03x+5y-25=0 x=12x+y=t1xyo可行域A（5，2）B（1，1）第4页/共35页第五页，共35页。0,8234212121xxxxxx例例 max s = 2x1+5x2 x1Ox2再作： x1 4 x2 3 x1 +2 x2

4、 8 对于仅具有两个变量的线性规划问题(wnt)，利用作图的方法求最优解，简单、直观。约束条件约束条件2. 两个变量两个变量(binling)的线性规划问题的图解法一般过程的线性规划问题的图解法一般过程ABCD解解(1). 确定(qudng)可行域先作: x10 x20得可行域可行域(见上图)第5页/共35页第六页，共35页。ABCDOx12x1+5x2=192x1+5x2=0 x2(2). 作目标作目标(mbio)函数的等值线函数的等值线目标函数(hnsh)s=2x1+5x2它代表是以 s 为参数的一族平行线第6页/共35页第七页，共35页。823212xxx(3). 确定确定(qudng)

5、最优点最优点 先确定目标函数值增大的方向，沿着这个方向平行移动(ydng)直线 s= 2x1+5x2，当移动(ydng)到 B点时，s值就在可行域上达到最大,从而确定B点就是最优点，得最优解为x1=2，x2=3。ABCDOx12x1+5x2=192x1+5x2=0 x2第7页/共35页第八页，共35页。ABCDOx1x1+2x2=8x2例例 若将例中的目标函数若将例中的目标函数(hnsh)改为改为S=x1+2x2BC边上每一点(y din)的坐标都是最优解因此因此(ync)，最优解有无穷多个。，最优解有无穷多个。 0,8234 .212121xxxxxxts第8页/共35页第九页，共35页。

6、0, 0021 .212121xxxxxxts例、若目标例、若目标(mbio)函数为函数为 min s = 2x1+2x2解 确定(qudng)可行域约束条件为Ox2x1A0221 xx121 xxBCD第9页/共35页第十页，共35页。Ox2x12x1+2x2=102x1+2x2=22x1+2x2=6CBAD相应(xingyng)的目标函数最小值为 s=2。因此(ync)，最优解为 x1=1, x2=0作目标(mbio)函数 的等值线确定最优点例例、若目标函数为 min s = 2x1+2x2 0, 0021 .212121xxxxxxts第10页/共35页第十一页，共35页。 例、若将例改

7、为使目标例、若将例改为使目标(mbio)函数的值最大，函数的值最大， 即即 max s=2x1+2x2 从图中可以看出，因为凸域ABCD无界，当平行直线(zhxin)族的直线(zhxin)无限远离原点时，都可以与ABCD相交，所以目标函数无上界，因此无最优解。2x1+2x2=2Ox2x12x1+2x2=102x1+2x2=6CBAD 0, 0021 .212121xxxxxxts第11页/共35页第十二页，共35页。 0, 021 .212121xxxxxxtsOx1x2-x1+x2=1x1+x2= -2如图，没有没有(mi yu)可行解，可行解，故没有故没有(mi yu)最优解。最优解。第1

8、2页/共35页第十三页，共35页。无可行解有可行解但没有最优解有无穷多最优解有唯一最优解 两个重要结论： 线性规划问题的任意两个可行解连线上的点都是可行解； 线性规划问题的最优值如果(rgu)存在，必然可在某个“顶点”达到。以后以后(yhu)证明证明.第13页/共35页第十四页，共35页。2.2 线性规划线性规划(xin xn u hu)问题的标准形式问题的标准形式(1) 目标(mbio)函数，有的要求最大化，有的要求最小化；(2) 约束条件也有多种形式LP问题有许多(xdu)不同形式：这种多样性不仅给研究带来不便，而且使你难以寻找一种通用解法。人们发现：线性规划问题的各种不同形式可以相互转化

9、。因此，只需给出一种形式的解法。第14页/共35页第十五页，共35页。矩阵矩阵(j zhn)表示表示min s = cx 0 .xbAxts其中(qzhng) c=(c1，c2，cn) mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 mbbbb21 nxxxx21min s = c1x1+c2x2+cnxn 0, 0, 0 .2122112222212111212111nmnmnmmnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxats线性规划线性规划(xin xn u hu)问题的标准形式如下：问题的标准形式如下：价值向量资源向量约束矩阵待定决策向量 0, , nmnm一般有

10、一般有第15页/共35页第十六页，共35页。向量向量(xingling)表示表示 0 .1xbPxtsjnjj), 2 , 1(21njaaaPmjjjj ),(21nPPPA ), 2 , 1(, 21njxaaaPjmjjjj 的的系系数数是是约约束束条条件件中中. 对对应应的的向向量量也也称称为为jjxPmin s = cx 0 .xbAxtsLP问题(wnt)第16页/共35页第十七页，共35页。（1）目标(mbio)函数 若问题(wnt)的目标函数为最大化 max s = cx，（2）约束条件约束为形式的情形。如2x1-x2+3x318变量x4称为松弛变量松弛变量。则加入一个非负变量

11、x40，改为：2x1-x2+3x3+x4=18则 可化为求 min s = cx，即可。第17页/共35页第十八页，共35页。 约束为形式(xngsh)的情形。如c) 若对某变量(binling)xj没有非负限制，3x1+2x2-x418则减去一个非负变量(binling)x50，改为 3x1+2x2-x4-x5=18变量x5称为剩余变量剩余变量。则引进两个非负变量xj 0，xj 0，令xj=xj -xj 代入约束条件和目标函数中，化为对全部变量都有非负限制。自由变量第18页/共35页第十九页，共35页。解解 引进引进(ynjn)非负变量非负变量x4，x5，x6，则原问题(wnt)的标准形为：

12、 0,123263252616232153214321xxxxxxxxxxxxxxx32132minxxxs 松弛变量剩余变量 0,1232632523212321321321xxxxxxxxxxxxx第19页/共35页第二十页，共35页。0 xbAx1. 可行(kxng)解、基础可行(kxng)解、最优解、基础最优解设线性规划(xin xn u hu)问题 min s = cx2.3 线性规划线性规划(xin xn u hu)问题解的性质问题解的性质（一）几个概念（一）几个概念我们把满足约束条件的称为LP问题的可行解。 )0()0(2)0(1)0(nxxxx 若 x(0)=0，或 x (0)

13、的非零分量所对应的系数列向量组线性无关时，称可行解x (0)为基础可行解基础可行解。使目标函数取最小值的基础可行解，称为基础最优解。使目标函数取最小值的可行解，称为最优解。第20页/共35页第二十一页，共35页。例如例如(lr)：若对于(duy)x (1) ，x (2) S，x= x (1) +(1-) x (2) S（01），则称S为凸集。 连接 n 维点集合(jh)S中任意两点 x (1) ，x (2)的线段仍在S内，则称S为凸集 。即2. 凸集 点集中任意两点的连线段整个均是该点集的点，称该点集为凸集。x (1)x (2)x (1)x (2)x (1)x (2)x (1)x (2)x (

14、1)x (2)第21页/共35页第二十二页，共35页。3. 极点(jdin) (顶点)若凸集S中的点x，不能成为S中的内点，则称x为S的极点(jdin)（顶点）。即， 若对于(duy)x (1) x (2) S, 不存在 (01),使 x= x (1) +(1-) x (2)则称x为S的极点（顶点）。第22页/共35页第二十三页，共35页。（二）线性规划（二）线性规划(xin xn u hu)问题解的性质问题解的性质定理定理1 线性规划线性规划(xin xn u hu)问题的可行解集（可行域）为凸集。问题的可行解集（可行域）为凸集。设设LP问题问题(wnt): min s = cx证 0 .x

15、bAxts对于x (1) x (2) S, 0,1S是其可行域，,)2()1(Sxx 由由于于bAxAxxx )2()1()2()1(, 0, 0考查 x= x (1) +(1-) x (2) S, 0)1 ( 1 , 0)2()1( xxx bAxAxxxAAx )2()1()2()1()1 ( )1 ( Sxxx )2()1()1 ( 第23页/共35页第二十四页，共35页。定理2 x是基础可行(kxng)解 x是可行(kxng)域S中的极点.（二）线性规划（二）线性规划(xin xn u hu)问题解的性质问题解的性质设设LP问题问题(wnt): min s = cx证 0 .xbAxt

16、sS是其可行域，“”即若x是可行域S中的极点，则x是基础可行解.,0 ).1 (时时当当 x;是是基基础础可可行行解解显显然然x,0 ).2(且且为为极极点点时时当当 x),(, 21mkxxxxkiii 的的所所有有非非零零分分量量为为设设),(, 21mkPPPkiii 其所对应的列向量为其所对应的列向量为., 21线线性性无无关关问问题题转转化化为为说说明明向向量量组组kiiiPPP反证法线线性性相相关关若若向向量量组组kiiiPPP, 21,1k 一一组组不不全全为为零零的的数数则则 0 2121 kikiiPPP 使使得得第24页/共35页第二十五页，共35页。定理2 x是基础可行(

17、kxng)解 x是可行(kxng)域S中的极点.反证法线线性性相相关关若若向向量量组组kiiiPPP, 21,1k 一一组组不不全全为为零零的的数数则则 0 2121 kikiiPPP 使使得得,R 对对) 1 ( 0)(2121 kikiiPPP )2( 2211bPxPxPxkkiiiiii ,21的所有非零分量的所有非零分量是是由于由于xxxxkiii )()()(221121bPxPxPxkkikiiiii ) 1 ()2( )()()(221121bPxPxPxkkikiiiii ) 1 ()2(由此取|min, 10| tiktttx 第25页/共35页第二十六页，共35页。定理(

18、dngl)2 x是基础可行解 x是可行域S中的极点.反证法线线性性相相关关若若向向量量组组kiiiPPP, 21由此取|min, 10| tiktttx )()()(221121bPxPxPxkkikiiiii )()()(221121bPxPxPxkkikiiiii 构造(guzo) ),( , 0 :1)1()1(2)1(1)1()1(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk ),( , 0 :1)2()2(2)2(1)2()2(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk , , , 0, 0,1)2(1)1()2()1()2()1(bPxbPxxxxxniiin

19、iii 充分性得证！充分性得证！第26页/共35页第二十七页，共35页。定理2 x是基础可行(kxng)解 x是可行(kxng)域S中的极点.反证法线线性性相相关关若若向向量量组组kiiiPPP, 21由此取|min, 10| tiktttx , , , 0, 0,1)2(1)1()2()1()2()1(bPxbPxxxxxniiiniii .LP ,)2()1(问问题题的的可可行行解解是是原原xx)2()1( 2121xxx 由由于于 .不是可行域的极点不是可行域的极点则则x ),( , 0 :1)1()1(2)1(1)1()1(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk ),(

20、 , 0 :1)2()2(2)2(1)2()2(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk第27页/共35页第二十八页，共35页。定理(dngl)2 x是基础可行解 x是可行域S中的极点.“”即若x是基础可行(kxng)解，则x是可行(kxng)域S中的极点.设设LP问题问题(wnt): min s = cx证 0 .xbAxtsS是其可行域，反证法若x不是可行域S中的极点.x (1) x (2) S, (0,1),使得 x= x (1) +(1-) x (2),(, 21mkxxxxkiii 的的所所有有非非零零分分量量为为设设),(, 21mkPPPkiii 其所对应的列向量为

21、其所对应的列向量为 ) 1 , 0(, 0, )1 ( )2()1()2()1( iiiiixxxxxkiiiiiixx, 0 21)2()1( 即即 , ,1)2(1)1(bPxbPxntiiktiitttt 又又由由于于01)2()1( ktiiitttPxx)2()1(0, 1ttiixxkt 使使得得且且第28页/共35页第二十九页，共35页。定理2 x是基础(jch)可行解 x是可行域S中的极点.“”即若x是基础(jch)可行解，则x是可行域S中的极点.设设LP问题问题(wnt): min s = cx证 0 .xbAxtsS是其可行域，反证法若x不是可行域S中的极点.),(, 21

22、mkxxxxkiii 的的所所有有非非零零分分量量为为设设),(, 21mkPPPkiii 其所对应的列向量为其所对应的列向量为, 21线线性性相相关关向向量量kiiiPPP则则x不是基础可行解不是基础可行解矛盾！故故x是可行域是可行域S中的极点中的极点.01)2()1( ktiiitttPxx)2()1(0, 1ttiixxkt 使使得得且且第29页/共35页第三十页，共35页。定理3 最优值可以在极点(jdin)上达到.（二）线性规划（二）线性规划(xin xn u hu)问题解的性质问题解的性质, LP )0(问问题题的的最最优优解解是是设设 x证.) ()0()0(cxxS 最最优优值

23、值为为., 0 )1()0()0(为为可可行行域域的的极极点点若若xx , 0 )2()0(且且不不是是极极点点若若 x),(, )0()0()0()0(21mkxxxxkiii 的所有非零分量为的所有非零分量为其其构构造造取取,|min )0(, 10| tiktttx 线线性性相相关关其其对对应应的的向向量量组组知知由由定定理理kiiiPPP, :221,1k 一一组组不不全全为为零零的的数数即即 0 2121 kikiiPPP 使使得得仿定理(dngl)2的证明第30页/共35页第三十一页，共35页。定理3 最优值可以(ky)在极点上达到.（二）线性规划问题（二）线性规划问题(wnt)解

24、的性质解的性质构构造造取取,|min )0(, 10| tiktttx ),( , 0 :1)1()0()1(2)0()1(1)0()1()1(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk ),( , 0 :1)2()0()2(2)0()2(1)0()2()2(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk证,1k 一一组组不不全全为为零零的的数数即即 0 2121 kikiiPPP 使使得得, , 0 ,)2()1()2()1(xxxx . ,)0()2()1(个个的的非非零零分分量量的的个个数数少少一一比比量量的的个个数数中中至至少少有有一一个个其其非非零零分分且且在在xxx仿定理(dngl)2的证明, ,1)2(1)1(bPxbPxniiiniii 第31页/共35页第三十二页，共35页。)1()1() (cxxS 而而且且定理(dngl)3 最优值可以在极点上达到., LP )0(问问题题的的最最优优解解是是设设 x证.) ()0()0(cxxS 最最优优值值为为 ),( , 0 :1)1()0()1(2)0()1(1)0()1()1(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk)0(1tiktittxc tktiiktitttcxc 1)0(1tktitccx 1)0(tktitccxxS 1)0()