定解问题复习PPT学习教案

1、会计学1定解问题复习定解问题复习泛定方程定解问题演化方程稳定方程线性边界条件自然边界条件初始状态初始速度波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类第二类周期性有界性第三类定解条件边界条件初始条件第1页/共41页第2页/共41页第3页/共41页初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、 波动方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度称物理过程初始状态的数学表达式为初始条件。初始条件初始条件应该完全描写初

2、始时刻（应该完全描写初始时刻（t = 0 时）介质内部及边界上任意时）介质内部及边界上任意一点的状况。一点的状况。初始条件的个数：等于方程中关于时间偏导数的阶数初始条件的个数：等于方程中关于时间偏导数的阶数第4页/共41页(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、 波动方程的边界条件波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：( , )0u a t 或：0 x auTx0 x aux( , )0 xua t (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。x ax auTk

3、ux 或0 x auux, 0|axu第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第5页/共41页B、热传导方程的边界条件、热传导方程的边界条件(1) 给定温度在边界上的值|suf(S为给定区域v 的边界)(2) 绝热状态0sun(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 交换系数； 周围介质的温度,1k1u1SSuuun1kk第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件C、拉普拉斯方程的边界条件、拉普拉斯方程的边界条件第6页/共41页( )|r Su r( )(2 )uu第7页

4、/共41页二阶常系数齐次线性方程的标准形式特征方程特征根第8页/共41页1、有两个不相等的实根齐次方程的通解为齐次方程的通解为特征根为特征根为,2421qppr ,2422qppr 2、有两个相等的实根特征根为特征根为,221prr 齐次方程的通解为齐次方程的通解为3、有一对共轭复根特征根为特征根为,1 jr ,2 jr 齐次方程的通解为齐次方程的通解为24,22pqp 第9页/共41页偏微分方程常微分方程1初始条件齐次边界条件常微分方程2解1解2本征解解1解2通解 本征解分离变量确定叠加系数第10页/共41页泛定方程泛定方程边界条件边界条件本征值本征值本征函数本征函数Tn222lk k=1,

5、2,3k=1,2,3 2)2) 12(lkk=0,1,2,3k=0,1,2,3 2)2) 12(lkk=0,1,2,3k=0,1,2,3 222lk k=0,1,2,3k=0,1,2,3 tlanDtlanCnn sincos tlanDtlanCnn sincos tlanDtlanCnn 21sin21costlanDtlanCnn 21sin21cos第11页/共41页泛定方程泛定方程边界条件边界条件本征值本征值本征函数本征函数Tn222lk k=1,2,3k=1,2,3 2)2) 12(lkk=0,1,2,3k=0,1,2,3 2)2) 12(lkk=0,1,2,3k=0,1,2,3

6、222lk k=0,1,2,3k=0,1,2,3 tlanneC2 tlanneC2 talnneC221 talnneC221 第12页/共41页泛定方程泛定方程边界条件边界条件本征值本征值本征函数本征函数Yn222bk k=1,2,3k=1,2,3 2)2) 12(bk k=0,1,2,3k=0,1,2,3 2)2) 12(bk k=0,1,2,3k=0,1,2,3 222bk k=0,1,2,3k=0,1,2,3 tbnDtbnCnnsinhcosh tlnDtlnCnnsinhcosh tbnDtbnCnn 21sinh21coshtlnDtlnCnn 21sinh21cosh第13页

7、/共41页定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次定解条件特征函数法齐次方程，齐次边界条件分离变量法非齐次方程，齐次边界条件特解法第14页/共41页 )(),(0, 0),(0002xuxuuutxfuautttlxxxxtt),(),(),(21txutxutxu )(),(0, 000101101121xuxuuuuautttlxxxxtt 0, 00, 0),(0202202222tttlxxxxttuuuutxfuau第15页/共41页方程类型方程类型Tn通解通解波动方程波动方程输运方程输运方程 0),(nnnTXtxu 0),(nnnTXtxu第16页

8、/共41页方程类型方程类型Tn波动方程波动方程输运方程输运方程第17页/共41页设定19泊松方程（特解法）, ,uf x y z , , , ,uvwx y zx y zx y z, ,vf x y z 0w待求第18页/共41页20非齐次边界条件的处理一、一般处理方法 2000|0|0|( )000|( )000ttxxxx ltttxwa wtttlwwxwxlxwxl ,vAxBx ttt ,ttvxx ttl,uvwx tx tx t 20000|( )|( )ttxxxx ltttua uututuxux第19页/共41页21二、特殊处理方法20000|0|sin|0|0ttxxxx

9、 ltttua uuuAtuu,uvwx tx tx t sin,vX xtx t 2000XXaXX lAsinsin,sinAxvtx tlaa20000|0|0|0|sinsinttxxxx ltttwa wwwAxwwlaa 2212,1sinsinnAw x taln atn xllnal第20页/共41页在圆形域求解 ：0u 2110uuu( , )( )( )uR 2RRRR 200RRR 20,1,2,3,mm cossinmmmAmBm220RRm R00ln00mmmmmCDmRCDm001,lncossinmmmmmmmuCDCDAmBm 第21页/共41页001,lnc

10、ossinmmmmmmmuCDCDAmBm 01,cossinmmmmuCAmBm 1100sincossincosln),(mmmmmmmmmDmCmBmADCu 10sincos),(mmmmmDmCCu圆域内：圆域外：000:,000 mm,D，CDu有界000:,00 mm,B，ADu有界第22页/共41页长为 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由。电梯下降，当速度为 时突然停止，求解杆的振动。l0v磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题 研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端跟外界绝热

11、，杆上初始温度为 ,试求无热源时细杆上温度的变化。 ( )x长为 l ，两端固定的弦，在单位长度上受横向力 g(x) sinwx 的作用下做小振动，已知弦的初始位移 和 速度分别为j (x) 和 f (x) ，求其横振动的规律。有一长为 l ，侧面绝热而初始温度为零度的均匀细杆，它的一端保持温度始终为零度，而另一端温度随时间直线上升，求杆的温度分布。1 12 23 34 45 5第23页/共41页长为 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由。电梯下降，当速度为 时突然停止，求解杆的振动。l0v200000|0,|0|0|ttxxxxx ltttua uxluuuuv解：2221 20,

12、1,2,nnnl 1 2sinnnnxXxBl 1 21 2cossinnnnnatnatTtCDll1 21 21 2,cossinsinnnnnatnatnxux tCDlll 例例题题I+II第24页/共41页26200000|0,|0|0|ttxxxxx ltttua uxluuuuv01 21 21 2,cossinsinnnnnatnatnxu x tCDlll0001 2sin01 21 2sinnnnnnxClnanxDvll02221 2nlvDna02201 21 22,sinsin1 2nnatnxlvu x tllna0nC 1 21 21 2,cossinsinnnn

13、natnatnxux tCDlll第25页/共41页磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题 000lxxxxuu02xxttuau0,0 xl t)()(00 xuxuttt【解解】 由边界条件知特征值和特征函数由边界条件知特征值和特征函数222nnl( )cosnnXxxl1,2,n 例例题题第26页/共41页( , )( )( ) nnu x tT t Xxn=0由初始条件得由初始条件得 把右边的函数展成傅里叶余弦级数把右边的函数展成傅里叶余弦级数, , 比较两边的系数，得比较两边的系数，得 dlAl00)(1dlB

14、l00)(1dlnlAln0cos)(2dlnanBln0cos)(20101cos( )cos( )(0)nnnnn xAAxln an xBBxxlll由叠加原理，一般解为由叠加原理，一般解为001(cossin)cosnnnn atn atn xAB tABlll第27页/共41页【解解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件杆上温度满足下列泛定方程和定解条件 2000,0,00,0( )txxxxx ltua uxl tuuux研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端跟外界绝热，杆上初始温度为 ,试求无热源时细杆上温度的变化。 ( )x2222221()(21)24nnnll

15、于是得特征值和特征函数为于是得特征值和特征函数为 例例题题第28页/共41页(21)( )sin2nnxXxl2222(21)4( )natlnnT tC e由叠加原理，得由叠加原理，得2222(21)40(21)( , )sin2natlnnnxu x tC el确定系数确定系数 , ,由初值条件知由初值条件知 nC0(21)sin( )2nnnxCxl)0(lx 02(21)( )sin2lnnxCxdxll于是于是第29页/共41页 例例题题长为 l ，两端固定的弦，在单位长度上受横向力 g(x) sinwx 的作用下做小振动，已知弦的初始位移 和 速度分别为j (x) 和 f (x)

16、，求其横振动的规律。令 U (x, t) = v (x , , t t) + w (x, t) ，代入定解问题定解问题解：第30页/共41页即定解问题定解问题定解问题的特解为：第31页/共41页第32页/共41页第33页/共41页 例例题题解有一长为 l ，侧面绝热而初始温度为零度的均匀细杆，它的一端保持温度始终为零度，而另一端温度随时间直线上升，求杆的温度分布。令 U (x, t) = v (x , , t t) + w (x, t) ，代入定解问题设杆长方向为 x 轴，x = l 端保持温度始终为零度， x = 0 端温度随时间直线上升，比例系数为常数 c ，则定解问题为：视 v(x, t

17、) 为原方程的特解，考虑到非齐次边界条件，取第34页/共41页将 v(x, t) 代入原定解问题的边界条件，得可知原定解问题化为 w(x, t) 满足的定解问题：边界条件初始条件将 w(x, t)和非齐次项按相应齐次方程的本征函数展开：第35页/共41页则有：第36页/共41页由正交性知：第37页/共41页在圆形域内求解 使满足边界条件： （1） （2）0u 0cosuA 0sinuAB 022|uab xyuc 00 6 67 7第38页/共41页在圆形域内求解 使满足边界条件： （1） （2）0u 0cosuA 0sinuAB 例例题题01,cossinmmmmuCAmBm 0cosuA 0sinuAB （1）001cossincosmmmmCAmBmA10AA其余系数皆为零0,cosAu