161第十六章二次根式

1、第十六章 二次根式16.1 二根次式16.2 二根次式的乘除16.3 二根次式的加减要点梳理要点梳理1二次根式的概念一般地，形如_(a0)的式子叫做二次根式.对于二次根式的理解：带有二次根号；被开方数是非负数，即a0.2二次根式的性质220 ;0000，aa aa aaaa,a a.3最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式(1)被开方数不含_；(2)被开方数中不含能_的因数或因式分母开得尽方4二次根式的乘除 乘法： _(a0，b0)； 除法： _(a0，b0)可以先将二次根式化成_，再将_的 二次根式进行合并被开方数相同 最简二次根式abab5二次根式的加减： 类似合并同类项

2、注意平方差公式与完全平方公式的运用！6二次根式的混合运算 与有理数混合运算类似先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的.加加 、减、乘、除、减、乘、除二二 次次 根根 式式三个概念三个概念两个性质两个性质两个公式两个公式四种运算四种运算最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式有理化因式有理化因式baba)0, 0(ba0, 0babaab1、2、2、1、02aaa aa2 0aa0aa-不要求，只需了解不要求，只需了解考点讲练考点讲练考点一 二次根式有意义的条件及性质例1 使代数式 有意义的x的取值范围是 .213xx12x 且x3【解析】分别求出使分式、二次根式有意义

3、的x的取值范围，再求出它们解集的公共部分.根据题意，有3-x0，2x-10，解得12x 且x3. 1.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A.x3 B.x3 C.x3 D.x33x A针对训练 2.若 则（ ） A.x6 B.x0 C.0 x6 D.x为一切实数6(6),xxx xA例2 若 求 的值. 21(31)0,xxy25xy解： x-1=0,3x+y-1=0,解得x=1,y=-2, 则21(31)0,xxy2255 1 ( 2)3.xy 【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为0.1x 2(31)xy3.若实数a,b满足 则 . |2 |40,ab

4、2ab1初中阶段主要涉及三种非负数： 0，|a|0，a20.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.a方法总结针对训练考点二 二次根式的化简及运算例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示， 请化简： 22|.aabba0解：由数轴可以确定a0所以所以原式=-a-(-a)+b=b.22|,.aaaabb 【解析】化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简. 4.若1a3,化简 的结果是 . 222169aaaa2针对训练 5.计算： .3( 23)24|63|-6例4 计算： 011244(12) .

5、38 解：原式122441342 222. 针对训练【解析】：先算乘方，再算乘除，最后算加减.例5 先化简，再求值： ，其中 .22xyxyxy12 3,1 2 3xy 解： 当 时， 原式2222()().xyxyxy xyxyxyxyxyxy12 3,1 2 3xy 12 31 2 32. 【解析】：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可.6. 先化简，再求值： ,其中 22221444aaaaaa2.a 解：原式22242(1)(2)(2)(2)(2)(1) (2)(2)(2)(1)2aaa aaaaaaaaaa aaa当 时，原式2a 2212.2 针对训练考点三 二次根式

6、的实际应用例6 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）解： 182243 22242 22416S=-=- =- =- = = = =（ ）（ ）7. 若等腰三角形底边长为 ，底边的高为 则三角形的面积为 . 12cm( 32)cm.针对训练2(36)cm1 1. . 当当 _时时， 有意义义. .xx3 3. 3.求下列二次根式中字母的取值范围求下列二次根式中字母的取值范围. .x x3 31 15 5x x解得解得 - 5x3解：解： 0 0 x x- -3 30

7、 05 5x x说明：二次根式被开方数不小说明：二次根式被开方数不小于于0，所以求二次根式中字母的，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式取值范围常转化为不等式（组）（组）. . 3 3题型一题型一确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围a=4考题分类考题分类首页首页1.1.已知：已知： + =0,+ =0,求求 x-y 的值的值. .yx24x 2. 2.已知已知x,y为实数为实数, ,且且 +3(y-2) +3(y-2)2 2 =0, =0,则则x-y的值为的值为( ( ) ) A.3 .3 B.-3 .-3 C.1 .1 D.-1.-11x解

8、：由题意，得解：由题意，得 x-4=0 且且 2x+y=0解得解得 x=4, ,y=-8x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12D题型二题型二二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用方法技巧初中阶段主要涉及三种非负数： a0，|a|0，a20.如果若干个非负数的和为 0， 那么这若干个非负数都必为0.即由 a0，b0，c0 且 abc0，一定得到 abc0，这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一。题型三题型三二次根式性质的应用二次根式性质的应用易混辨析(a)2与 a2的区别：(1)表示的意义不同.(a)2表示非负实数a 的算术平方根的平方； a2表示实数 a 的平方的算术平方根 (2

9、)运算的顺序不同.(a)2是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而 a2则是先求实数 a 的平方，再求 a2的算术平方根 (3)取值范围不同 在(a)2中， a 只能取非负实数， 即 a0；而在 a2中，a 可以取一切实数(a)2与 a2的联系：仅当 a0 时，有(a)2 a2.C题型四题型四二次根式的化简二次根式的化简题型五题型五二次根式的运算二次根式的运算A1.1.确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围2.2.二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用3.3.二次根式性质的应用二次根式性质的应用4.4.二次根式的化简二次根式的化简

10、5.5.二次根式的运算二次根式的运算复习归纳复习归纳首页首页C0课后演练课后演练首页首页22(4)(1)xx4.4.下列各式中，是最简二次根式的是（下列各式中，是最简二次根式的是（ ）5B153a100 x3522ab21a144221aaa 0-(a2+1) 0(a+1)206. .计算：计算：11221若若a为底为底, ,b为腰为腰, ,此时底边上的高为此时底边上的高为2142721422222三角形的面积为三角形的面积为(2)(2)若满足上式的若满足上式的a, ,b为等腰三角形的两边为等腰三角形的两边, ,求这个等腰三角形求这个等腰三角形的面积的面积. .设设a、b为实数为实数, ,且且| 2 -| 2 -a|+ |+ b-2 =-2 =0 22ab ，解解: :若若a为腰为腰, ,b为底为底, ,此时底边上的高为此时底边上的高为11472222三角形的面积为三角形的面积为2211 （）a22（1）求-2 2a+2+b的值.7. .（2 2）如图所示，）如图所示，ADDC于于D，BCCD于于C，ABPDC若点若点P为线段为线段CD上动点上动点. .，10已知已知ABP的一边的一边AB= =则则AD=_ BC=_AD=_ BC=_1 12 2（1 1）在如图所示的）在如图所示的44的方格中画出格点的方格中画出格点ABP，使三角形的三边为