大一高数下复合求导PPT学习教案

1、会计学1大一高数下复合求导大一高数下复合求导)(),(ttfz定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证证: 设 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v ,第1页/共22页,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,dd机动 目录 上页

2、 下页 返回 结束 tvvztuuztzdddddd第2页/共22页若定理中 ),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.第3页/共22页1) 中间变量多于两个的情形. 例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形

3、.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(twtvtu第4页/共22页),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意:这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导xfxvvfyvvf与不同,v机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共22页,sinyxvy

4、xuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共22页,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下

5、页 返回 结束 第7页/共22页,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.第8页/共22页为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxff 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2

6、),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共22页(当 在二、三象限时, )xyarctan二阶偏导数连续,求下列表达式在),(yxfu 222222)2(,)()() 1 (yuxuyuxu解解: 已知sin,cosryrxuryxyx极坐标系下的形式xrruxu(1), 则xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 xu2ryururusincos第10页/共22页yuyrr

7、u2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu题目 目录 上页 下页 返回 结束 ryru2rxuuryxyx第11页/共22页 已知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r注意利用注意利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共22页22yu2222yuxu21r22xu22222222si

8、ncossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru题目 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共22页设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性

9、质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共22页 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求利用全微分形式不变性再解例1. 解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共22页1. 复合函数

10、求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共22页解答提示解答提示:P31 题7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)(11yx22yxxy22vuuP31 题7; 8(2); P73 题11机动 目录 上页 下页 返回 结束 vuyvuxyxz,arctan第17页/共22页P31 题8(2)xuy

11、11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyyxfu,第18页/共22页1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f yex21f 23f 作业作业 P31 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 yexuyxufz, ),(第19页/共22页,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共22页) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxf