多元复合函数的微分法ppt课件PPT学习教案

1、会计学1多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法ppt课件课件,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数uvtz第1页/共32页上定理的结论可推广到上定理的结论可推广到中间变量多于两个中间变量多于两个的情况的情况.如如:dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz),(),(),(),(tw

2、wtvvtuuwvufz 则则第2页/共32页.,sin,dtdztveuuvvuzt求其中设例4231.cos)sin12()sin3sin2(324tteeettetttt tvvztuuztzdddddd 解：解：tuvuevuvtcos)12()32(324 第3页/共32页 上定理还可推广到上定理还可推广到中间变量中间变量不是一元函数而不是一元函数而是多元函数是多元函数的情况：的情况：).,(),(),(yxvyxuvufz ,xvvzxuuzxz .yvvzyuuzyz 第4页/共32页uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv

3、第5页/共32页 u,v,w 都都在在点点),(yx具具有有对对 x 和和 y 的的偏偏导导数数，f 的的偏偏 导导数数连连续续，则则复复合合函函数数 ),(),(),(yxwyxyxfz 在在点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 zwvuyx类似地再推广类似地再推广: ),(yxu ),(yxv ).,(yxww 设设 ),(wvufz xwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz 第6页/共32页uxy2xyvezzuzvzwxuxvxwx22xyuvwyfey ffzzuzvzwyuyvywy22xyuvwxfxyeffzuv

4、xyw2(,)xyzf xy exyf,zzxy例例2设设，其中偏导数连续，求偏导数连续，求。解：设，则函数结构图为：，则函数结构图为：wxy第7页/共32页2特殊复合函数的偏导数特殊复合函数的偏导数ztvutt),(tvufz )(),(tvvtuu其中其中f具有连续的偏导数，具有连续的偏导数，(1),u、v可导，则：可导，则：tzddtuuzddtvvzddtzz对自变量对自变量t的导数的导数把把u、v看做不变，看做不变，z对中间变量的偏导数对中间变量的偏导数第8页/共32页例例 2 2 设设tuvzsin ，而，而teu ，tvcos ， 求全导数求全导数dtdz. 解解tzdtdvvz

5、dtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet ztvutt第9页/共32页),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其其中中把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区两者的区别别xwwzxvvzxuuzxz =1=0 xzxuuz 自变量自变量中间变量中间变量(2)第10页/共32页( , , )zf u v

6、 xuxysinvxzfufvfxuxvxxcosuvxyfxffzfuyuyuxf zuvxxy及(,sin , )zf xyx xzxzy例3 设，f 的一阶偏导数连续，求。解：设函数关系图为第11页/共32页),(yxtfz xtfxz ytfyz ztxy复合关系图为复合关系图为: )(tfz ),( yxtt , f具有连续一阶导函数具有连续一阶导函数,(3)一阶偏导数连续，复合函数为：一阶偏导数连续，复合函数为：第12页/共32页例例 4 4 设设2tez ，而，而 t=sinx-y , 求求 xz 和和yz . ztxy解解xtextdtdzxztcos2222tteytdtdz

7、yz第13页/共32页令令, zyxu ;xyzv 记记,),(uvufffu1 xwxvvfxuuf ;21fyzf ),(),(21xyzzyxfxyzzyxf 注：偏导数的结构具有遗传性注：偏导数的结构具有遗传性11223偏导数的简单记号及复合函数的高阶偏导数偏导数的简单记号及复合函数的高阶偏导数解解,),(vvufffv2,12f 同理有同理有,11f ,21f .22f 第14页/共32页 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y

8、 )(2221fxyfyz .)(22221211fyfzxyfzxyf xzfyxxfz 可导，求可导，求思考题：思考题： ,)(12)12 ()(122yxyxxff ),(),(21xyzzyxfxyzzyxf 1212第15页/共32页.,yxzxzfxyyxfz226的二阶偏导数连续，求例 , ,22,22122fxyfxyxyvfxyufxvvfxuufxzxyvyxu 得得解：设解：设2231211322122221222122111221211 122fxyf yf yxfxfxxfxfxyfxxfxfxyfxyxz ),( ),( 2221xyyxfxyyxf 注意注意121

9、2第16页/共32页. .求求),),( (),),( (),),( (),),( (设设例7例7dxduxttx,thyx,ygzx,y,zfu解解：复合关系：复合关系：ufxyzhxtgxyhxtxtxt) )( () )( (zfyfxfdxdu dxdtthxh ) )( (dxdtthxhygxg zfyfxf dxdtthyfxh dxdtthygzfxhygzfxg xy xz xyygxg 第17页/共32页 又又当当 z=f(u,v), ),(yxu 、),(yxv 时时， 有有 dyyzdxxzdz . 全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质： 无论无论 是自变量是自

10、变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的的函数，它的全微分形式是一样全微分形式是一样的的.zvu、vu、 设设),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有dvvzduuzdz ; 第18页/共32页dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 事实上事实上dyyudxxuux,yuu d ,)(可微可微dyyvdxxvvx,yvv d)(可微，可微，第19页/共32页：全全微微分分的的四四则则运运算算法法则则).0( ,dd)d()3(;dd)d()2(;dd)d()1(2 vvvuuvv

11、uvuuvvuvuvu.致致的四则运算法则完全一的四则运算法则完全一的的则运算法则与一元函数则运算法则与一元函数多元函数的全微分的四多元函数的全微分的四22dd dd1ddd ,1vvuuvvvuuvvvzuuzzvuz 设设）如下：）如下：验证（验证（第20页/共32页例例 8 8 已知已知02 zxyeze，求，求xz 和和yz . 解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe第21页/共32页.,),sin(yzxzyxezxy

12、求设函数例29).2cos(2)2sin( ).2cos()2sin( yxeyxxeyzyxeyxyexzxyxyxyxy 解法一：解法一： )2sin(dd yxezxy 用微分法，用微分法，解法二：解法二： yxyxexyyxexyxy2d)2cos(d)2sin( )2sin(dd)2sin(yxeeyxxyxy 第22页/共32页 yyxeyxxexyxeyxyeyxyxeyxxyyxezxyxyxyxyxyxyd)2cos(2)2sin(d)2cos()2sin(d2d)2cos(dd)2sin(d 可得：可得：由由dyyzdxxzz d).2cos(2)2sin( ).2cos(

13、)2sin( yxeyxxeyzyxeyxyexzxyxyxyxy 第23页/共32页1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）第24页/共32页设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题第25页/共32页思考题解答思考题解答不不相相同同. 等式左端的等式左端的z是作为一个自变量是作为一个自变量x的函数，的函数， 而而等等式式右右端端最

14、最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的 三三元元函函数数， 写写出出来来为为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 第26页/共32页一、填空题一、填空题: : 1 1、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_. .2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._.二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .第27页/共32页第28页/共32页七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 第29页/共32页一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22y