复变函数与积分变换分式线性映射PPT学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换分式线性映射复变函数与积分变换分式线性映射一、分式线性映射的一般形式 定义 ( 为复数且 ) dzcbzaw dbca 由分式线性函数 dcba,构成的映射，称为分式线性映射； 特别地，若 ,0 c则称为(整式)线性映射。 (2) 分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射： (1) 两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射； 注 第1页/共55页二、分式线性映射的分解 分析 分式线性函数 可改写为： dzcbzaw dzcbczcacw 10 c(1) 当 时， (2) 当 时， 0 c;1dzccdabcca dzcbcaddzcac )(1.)(abzda d

2、bzaw 第2页/共55页二、分式线性映射的分解 分析 因此，一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种 最简单的分式线性映射复合而成。 ,bzw (1) ( b 为复数 )； ,0ezwi (2) ( 为实数 )； 0 ,zrw (3) ( r 为正数 )； 复合成(整式)线性映射。 在后面的讨论中，有时会根据需要，只对(整式)线性映射 和第 (4) 种映射分别进行讨论。 复合成分式线性映射。 (4) . wz1第3页/共55页二、分式线性映射的分解 1. 平移映射 ,bzw ( b 为复数 ) ,v iuw ,21bibb ,yixz 令 ,1bxu .2byv 则有 向量 的方向平移一段距

3、离 . b|b 它将点集(点 曲线 区域等)沿着 、 、 下面分别对四种映射进行讨论。为了比较映射前后的变化， 将 w 平面与 z 平面放在同一个平面上。 第4页/共55页二、分式线性映射的分解 2. 旋转映射 旋转一个角度 .0 它将点集(点 曲线 区域等) 、 、 ,0ezwi ( 为实数 ) 0 令 ,|e izz 则有 .|)(0e izw 当 时，沿逆时针旋转； 00 当 时，沿顺时针旋转。 00 第5页/共55页二、分式线性映射的分解 3. 相似映射 其特点是保持点的辐角不变， ,zrw ( r 为正数 ) 令 ,|e izz 则有 .|e izrw 但模扩大(或缩小)r 倍。 它

4、将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。 特别适合于过原点(或含原点)的曲线或区域。 第6页/共55页单位圆外(或内)，且辐角反号。 二、分式线性映射的分解 4. 反演(或倒数)映射 它将单位圆内(或外)的点映射到 令 ,|e izz wz1则有 .)(e i w|z1 如图，反演(或倒数)映射通常还可以分为两步来完成： (1) 将 映射为 z,1w满足 ,|1 w|z1;argarg1zw (2) 将 映射为 1w,w满足 , |1ww .argarg1ww 第7页/共55页二、分式线性映射的分解 圆周对称的概念 定义 设某圆周 C 的半径为 R ， 则称 A 和 A , B 两点位于从圆

5、心 O 5. 两个特殊的对称映射 自然地，规定圆心 O 与无穷远点 关于该圆周对称。 C B A R O B 是关于圆周 C 对称的。 出发的射线上(如图)， 且 ,2ROBOA T P145定义 6.3 第8页/共55页二、分式线性映射的分解 5. 两个特殊的对称映射 (1) 关于单位圆周的对称映射 wz1令 ,|e izz 则有 .e i w|z1,| w|z1;argargzw 即 (2) 关于实轴的对称映射 zw 令 ,|e izz 则有 .|)(e izw, |zw .argargzw 即 zwzz第9页/共55页二、分式线性映射的分解 5. 两个特殊的对称映射 (1) 关于单位圆周

6、的对称映射 wz1(2) 关于实轴的对称映射 zw z w共形映射来使用。 注意 上述两个映射并不是解析的，因此它们不能单独地作为 映射的变化过程。 ; z1. w, wz1 即 其主要作用是为了能更好地看清倒数 第10页/共55页解 izzw 2iziiz 222izi 22.1222eizi z1ziz 平移 2z1z1倒数 3z22ezi 旋转 4z32z相似 w24 z平移 比如 0 z;0 w(1) iz ;1 w(2) 2 ii 211 i2i1 i P43 例6.5 第11页/共55页则点 对应于点 z.0 记为 , )( 因此，函数 在无穷远点 的性态可由 )(zf z函数 在

7、原点 的性态来刻画。 )( 0 三、保形性 为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行 某些技术处理和补充说明。 z1令 , 即 , z 1则 “认为” 函数 在无穷远点 也解析。 )(zf z比如 若函数 在原点 解析， )( 0 (1) 对于函数 , )(zf fzf )( 1则有 思想 (回顾) 其思想已在5.2 节中介绍过。 第12页/共55页则点 对应于点 z.0 三、保形性 为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行 某些技术处理和补充说明。 z1令 , 即 , z 1思想 (回顾) 其思想已在5.2 节中介绍过。 曲线 在无穷远点 的性态可由 C z像曲线 在

8、原点 的性态来刻画。 0 比如 z 平面上两曲线在无穷远点的交角， (2) 对于 平面上过无穷远点 的曲线 C ， z z它们在映射 下的像曲线在原点的交角。 z1同样有 可定义为 第13页/共55页三、保形性 1. 倒数映射 的保形性 wz1由此，倒数映射在扩充复平面上是双方单值的。 (1) 当 且 时， z0 z 单值性 当 时， 当 时， z0 z. w;0 w规定： 解析性 函数 解析，且 wz121zdzdw .0 (2) 当 时， z令 , z1则 )( w, 函数 在 处 解析，且 1)0( .0 0 )( 倒数映射 在扩充复平面上除 外是共形映射。 wz10 z第14页/共55

9、页三、保形性 1. 倒数映射 的保形性 wz1倒数映射 在扩充复平面上除 外是共形映射。 wz10 z映射 在 w 扩充复平面上除 外是共形映射。 zw10 w同理， 映射 在 处是共形映射， zw1 w特别有， 倒数映射 在 处是共形映射。 wz10 z结论 倒数映射 在扩充复平面上是共形映射。 wz1由此即得： 第15页/共55页三、保形性 1. 倒数映射 的保形性 wz1由此，线性映射在扩充复平面上是双方单值的。 当 时， z 单值性 当 时， z. w规定： 解析性 2. 线性映射 的保形性 )0( , abzaw函数 解析，且 adzdw .0 bzaw 线性映射 在扩充复平面上除

10、外是共形映射。 zbzaw (结论同上, 跳过?)第16页/共55页三、保形性 1. 倒数映射 的保形性 wz12. 线性映射 的保形性 )0( , abzaw线性映射 在扩充复平面上除 外是共形映射。 zbzaw 当 时， z令 , z1, w1函数 在 处 解析，且 )0( ,0 0 )( a1则 ,)(ab , w 1;0)0( 且当 时， 0 因此， 0 )( 映射 在 处是共形映射, 第17页/共55页三、保形性 1. 倒数映射 的保形性 wz12. 线性映射 的保形性 )0( , abzaw线性映射 在扩充复平面上除 外是共形映射。 zbzaw 当 时， z令 , z1则 ,)(a

11、b , w1, w 1映射 在 处是共形映射, 0 )( ;0)0( 且 又映射 在 处也是共形映射， 0 w 1线性映射 在 处是共形映射。 zbzaw 结论 线性映射 在扩充复平面上是共形映射。 bzaw 即得： 第18页/共55页三、保形性 1. 倒数映射 的保形性 wz12. 线性映射 的保形性 )0( , abzaw3. 分式线性映射的保形性 由于分式线性映射可分解为线性映射和倒数映射的复合， 因此就得到了如下定理。 定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。 注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射， 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。 P146 定理6

12、.5 第19页/共55页四、保圆性 1. 倒数映射 的保圆性 wz1分析 ,0)(22 dycxbyxa,0)(22 avcubvud令 ,viuw ,yixz viuyix 1由 有 zw1,2222vuvivuu .22vuvy ,22vuux ( A ) 将 ( A ) 式代入，即得到其像曲线所满足的方程为： (当 时为直线 )， 0 a(当 时为直线 )。 0 d对于 平面上一个任意给定的圆： z第20页/共55页四、保圆性 1. 倒数映射 的保圆性 wz12. 线性映射 的保圆性 )0( , abzaw由于这三种映射显然将圆仍然映射为圆， 线性映射可分解为平移映射 旋转映射和相似映射

13、的复合 , 、3. 分式线性映射的保圆性 约定 将直线看作是半径为无穷大的圆。 将圆映射为圆。 因此线性映射能 P147 定理6.6 第21页/共55页四、保圆性 3. 分式线性映射的保圆性 定理 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。 约定 将直线看作是半径为无穷大的圆。 (1) 如果给定的圆(或直线)上没有点映射成无穷远点， 注 则它就映射成半径有限的圆； (2) 如果给定的圆(或直线)上有一点映射成无穷远点， 则它就映射成直线； (精彩之处 ) ！(3) 对称映射 和 也具有保圆性。 wz1zw 第22页/共55页四、保圆性 在分式线性映射下，求圆(或圆弧段)的像曲线的方法 方法一

14、分解为四种简单映射的复合。 方法二 利用保圆性，选三点定圆。 对于圆弧段(或直线段)，两个端点必须选定。 方法三 综合利用保圆性与保角性。 (1) 找出原像曲线中的一些 “特殊点” 所对应的像点， 从而能够大致地确定出像曲线的位置。 (2) 找出一些 “特殊曲线” (如坐标轴等)所对应的像。 (3) 由原像之间的关系(如夹角等)确定像之间的关系。 第23页/共55页解 方法一 分解为四种简单映射 .1222eizwi z1z2z3z4zwiz 32z24 z22ezi 1z1平移 倒数 旋转 相似 平移 iz 平移 1z1倒数 32z相似 24 z平移 22ezi 旋转 ii21 121i 2

15、P147 例6.6 修改 第24页/共55页解 方法二 利用保圆性，直接三点定圆 i 1i 1i5256 2 找 三 点 i 2i 1i2123 2 另 找 三 点 i12i 1i 2 ( 不是蛮好直接定圆 ) ( 可以了，Ok了) 第25页/共55页解 方法三 借助特殊点和特殊曲线 (3) 由于 和 在 点正交， CCiz (1) 特殊点 故 和 在 点正交； 1 w故其像曲线 是经过 两点的圆(或直线)； 2, 1,C将虚轴记为 在直线 C 上取两点 和 i, ,2, 1 , i由于 (2) 特殊线 则其像曲线 为实轴； CCi21 (?) 第26页/共55页解 首先作一个简单的定性分析

16、(3) 由于 被映射为 被映射为 0， , i i被映射为从原点出发且相互垂直的两条射线。 (1) 区域 D 的边界 和 是圆弧段， 1C2C且 和 的交角为 90 度； 1C2C(2) 由于所给的映射为分式线性映射， 因此具有保圆性与保角性； 12 21 i 1 i11C2C因此圆弧 和1C2CP148 例6.7 第27页/共55页12 21 i i1C2C解 方法一 利用保圆性，直接三点定圆 12 i i 1C21 ii )1(ia 0)1(ia 0 2C.1)12()12(22 a其中 1 21 12 1 第28页/共55页12 21 i i1C2C2解 方法二 利用保圆性，保角性 12

17、 i i)1(ia 0 1C(1) 1(2) 由 和 在 点正交， 1C2Ciz (3) 由 顺时针旋转 90 度到 ， 1C2C知 和 在 点正交； 120 w(保大小) 知 顺时针旋转 90 度到 。 12(保方向) 1 11 第29页/共55页12 21 i i1C2C0C2解 方法三 借助特殊曲线 1 0 0(2) 由 与 的交角及位置关系， 21, CC0C知 与 的交角及位置关系， 21, 0从而很容易地确定出 和 。 12(1) 将虚轴上从 到 的一段记为 ,0Ci i0ii 0C则 1 10第30页/共55页12 21 i i1C2C0C102中一个交点 映射为无穷远点， i

18、本例的重要启示 (1) 区域 D 很特别！ 圆弧围成，它们相交于 和 ； i i(2) 映射很特别！ 它的分母 将其 iz 它的分子 将另一个交点 映 iz i射为原点。 顶点在原点的角形域。 1 1 它的边界由两段 从而将区域 D 映射为 第31页/共55页五、保对称点性 引理 扩充复平面上两点 关于“圆” C 对称的充要条件是 过 的任意“圆” 都与 C 正交。 21, zz21, zz(1) 当 C 为直线时，结论显然(?)成立。 (2) 当 C 为半径有限的圆， 且在 和 中有一个 1z为无穷远点时， 结论 2z显然(?)成立。 C1z 2z1z2zCP149 引理6.1 (一道中学的

19、几何题，跳过?)证明第32页/共55页五、保对称点性 引理 扩充复平面上两点 关于“圆” C 对称的充要条件是 过 的任意“圆” 都与 C 正交。 21, zz21, zz证明 且 和 均为有限点， (3) 设 C 为半径有限的圆， 1z2zCR 必要性 “ ” 已知 关于 C 对称，且 为过 的任意一个圆， 21, zz21, zz当 为直线时， 如图，设 与 C 交于 点， z故 与 C 正交。 由切割线定理有， 为的 切线， zO 即 时， 显然与 C 正交 ,zO 221RzOzO 2则有 zO1z2z第33页/共55页且 和 均为有限点， 五、保对称点性 引理 扩充复平面上两点 关于

20、“圆” C 对称的充要条件是 过 的任意“圆” 都与 C 正交。 21, zz21, zz证明 (3) 设 C 为半径有限的圆， 1z2z充分性 “ ” 已知过 的任意圆都与 C 正交， 21, zz,2R zOzOzO21 由过 的圆 与 C 正交， 21, zz又 与 C 正交，故 为的 切线， zO故 关于 C 对称。 21, zz由切割线定理有 CR zO1z2z21, zz故 被 C 隔开， 21, zz知 与圆心 O 共线 第34页/共55页五、保对称点性 的象点 也关于象曲线 对称。 设点 关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们 21, zzC 定理 21, wwC C证明

21、 (1) 设 是过点 的任意一个“圆”， 21, ww 由于分式线性映射具有双方单值性和保圆性， 因此 的原像 一定是过点 的一个“圆”； 21, zz2w1wO 1z2zOP150定理 6.7 第35页/共55页五、保对称点性 (2) 根据引理的必要性可得， 与 C 正交， 由于分式线性映射具有保角性，故 与 正交， C 再根据引理的充分性可得，点 关于 对称。 21, wwC 的象点 也关于象曲线 对称。 设点 关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们 21, zzC 定理 21, ww C 1w2wC1z2z 证明 OO 第36页/共55页分析 六、唯一决定分式线性映射的条件 分式线

22、性映射 中含有四个常数 dzcbzaw .,dcba 如果用这四个数中的一个去除分子和分母，则可以将 分式线性映射中的四个常数化为三个独立的常数。 由此可见，只需要给定三个条件，就能决定一个分式 线性映射。 P151定理 6.8 第37页/共55页六、唯一决定分式线性映射的条件 设分式线性映射为 ， dzcbzaw 证明 (仅证明存在性) ,111dzcbzaw 代入条件得 ,333dzcbzaw ,222dzcbzaw ,11dzczzdzcbcad dzcbzadzcbzaww 111,222dzczzdzcbcadww 同理 ,122121dzcdzczzzzwwww 第38页/共55页

23、设分式线性映射为 ，六、唯一决定分式线性映射的条件 证明 dzcbzaw ,111dzcbzaw (仅证明存在性) 代入条件得 ,333dzcbzaw ,222dzcbzaw ,122121dzcdzczzzzwwww 同理 ,1223132313dzcdzczzzzwwww ,:231321231321zzzzzzzzwwwwwwww 将上式整理后，即得到所要的分式线性映射。 第39页/共55页注 (1) 由于分式线性映射具有保圆性， 为过 三点的圆。 把过 三点的圆映射 直接应用于： 321,zzz321,www(2) 如果 和 中有一个为 321,zzz, 321,www将对应点公式中含

24、有 的项换成 1。 因此对应点公式通常 则只需 P152推论 6.1 六、唯一决定分式线性映射的条件 第40页/共55页特别地， 若 ,)(,0)(21 zfzf.21zzzzkw 则 (k 待定) k1z2z设 为分式线性映射，且 推论 )(zfw ,)(,)(2211wzfwzf 则它可表示为: ,2121zzzzkwwww ( k 为任意复常数 )。 非常实用 k,21zz各有妙用 P152推论 6.2 六、唯一决定分式线性映射的条件 第41页/共55页例 已知区域 , 0Im,1|: zzzD求一分式线性映射，将区域 D 映射 为第一象限。 解 方法一 (1) 令 1)1( zz ,1

25、1 zz 11 0 i11 2C01 1 1C则 )( 2i 11 i 0 21 11C2C0)(ziD这个可以没有)(w1 2 i1(2) 旋转 iwe .11 zz可由保角性直接得 ,2P152 例6.9 第42页/共55页例 已知区域 , 0Im,1|: zzzD求一分式线性映射，将区域 D 映射 1 11C2C解 0)(zi)(w2 为第一象限。 D1 1故 .11 zzw0 z,1 w再要求将 得 ,1 k方法二 令 ,1)1( zzkwk 待定， k1 1(2) 可否要求将 或者其它点? 0 z2 w思考 (1) 式子 中 各自有何作用? k,1,1 1)1( zzkwk1 1如何

26、进一步将其映射到上半平面或者单位圆? 问题 第43页/共55页七、两个典型区域间的映射 1. 将上半平面映射成单位圆域 特点 这两个区域的边界都是圆。 求解 方法一 ( 三点定圆 ) 在实轴上和单位圆周上分别取三点： ,1,1321 wiww根据对应点公式有 ,11:10)(1)1(1:)()1( zziiww11.izizw 整理得 显然，如果取另外的三点则会得到另外的结果。 )(wi 11 )(zC 10,1,0321 zzz P153 例6.10 第44页/共55页七、两个典型区域间的映射 1. 将上半平面映射成单位圆域 特点 这两个区域的边界都是圆。 求解 方法二 ( 求通式 ) 根据

27、前面的推论有 在上半平面任取一点 0z,01 w由保对称点性，则有 ,2 w0z( k 待定 ). ,00zzzzkw )(w11 )(zC00z0z0第45页/共55页七、两个典型区域间的映射 1. 将上半平面映射成单位圆域 特点 这两个区域的边界都是圆。 求解 方法二 ( 求通式 ) ( k 待定 ). ,00zzzzkw )(w11 )(zC00z0zi0又当 在实轴上取值时，有 z00zzzz ,1 ,1| w,1| k,e ik 即 特别，取 则得到方法一得结果。 ,0 , iz .00ezzzzwi 故 第46页/共55页11 C11 七、两个典型区域间的映射 2. 将单位圆域映射

28、成单位圆域 求解 ( 直接求通式 ) 根据前面的推论有 在 内任取一点 0z,01 w1| z由保对称点性，则有 ,2 w0z1( k 待定 ). ,0zzkw z0z1即 ,1001zzzzkw ( 待定 ). 01zkk )(w )(z0z100zP154 例6.11 第47页/共55页,1001zzzzkw 七、两个典型区域间的映射 2. 将单位圆域映射成单位圆域)(w11 )(zC11 求解 ( 直接求通式 ) 0z0z1当 在 上取值时，有 z1| z,1| w,101zzzk 0z z1,1 且 zzz10 0z z10zz 0z z1 00zzzz ,1|1 k,e1 ik 即 故