山西省吕梁市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析

1、山西省吕梁市2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1 已知抛物线y2 2px p 0经过点M 2,2 .，焦点为F ,则直线MF的斜率为（）A 2 2B CD.2 242【答案】A【解析】【分析】先求出P，再求焦点F坐标，最后求 MF的斜率【详解】解：抛物线y2 2px p 0经过点M 2,2 22.2 $ 2p 2, P 2,F 1,0 , kMF 2 2 ,故选：A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式,基础题2如图，AB 2是圆O的一条直径,C,D为半圆弧的两个三等分点，则mu

2、uur uuir AB AC ADA 2D. 1.3【答案】B【解析】【分析】连接CD、OD，即可得到 CABDOB60 , AC 1，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；【详解】解：连接CD、OD ,QC , D是半圆弧的两个三等分点,CD/AB，且 AB 2CD , CAB DOB 60所以四边形AODC为棱形,uur uuuuuuruuu2 1 12ACgABA"jABcos BAC1uun muruuuruuuuuuruuu1 uuuuuu uuu1uuuABg ACADABg ACAC-ABABg 2ACAB22uuur uuu i uuu2 2ACgAB AB1 22

3、 1- 2242故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题3.设a，b，c分别是 ABC中 A，DB，C所对边的边长，则直线sin A xaybx sin B y sin C 0的位置关系是B .重合A .平行C .垂直D .相交但不垂直【答案】C【解析】试题分析：由已知直线si nA xay c0的斜率为，直线bx sin B ysin Csin左，又由正弦定理得'sin 5,故丄一丄L泌xwBJ b0的斜率为，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系4.已知向量a1,2 , b2,1，若 C/ 2$ b，则1D.2【答案】A【解析】【分析】根据向量坐标运算求得

4、2ab，由平行关系构造方程可求得结果【详解】2raQ22,r b'24Q c 2a b4，解得:故选：A【点睛】X2本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题,涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行,则 Xi yX2 %0 .5将函数f(x) cosx的图象先向右平移6个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1(围是(2 2 8A (0-UH<93 92 8C (0,;U；,199【答案】A2B (0,9D (0,1【解析】【分析】根据y=Acos (3 x+0)的图象变换规律，求得5g (x)的解析式，根据定义域求出x 的范围，再利用6余弦函数的图象和性质，求得3

5、的取值范围.【详解】函数f(x) cosx的图象先向右平移5个单位长度,65可得y cos x石的图象,30)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(-,)上没有零点，则的取值范再将图象上每个点的横坐标变为原来的(0)倍(纵坐标不变),得到函数g(x) cos5x的图象,62倜期T3若函数g(x)在(一，2 52 6)上没有零点,5_T，1，解得02 25当k=0时,当k=-1时，06，解得3561 - 3 -2 k4 - 31，可得02 2 8 (0,-U-,-.93 9故答案为：A.【点睛】 本题考查函数y=Acos （3x+妨的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结

6、合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题6.已知等比数列a.满足a!3, a a321，则 a3 as a7B. 42C. 63D. 84A. 21【答案】B【解析】24由 a1+a3+a5=21 得 印(1 q q )21a3+a5+a7= q (a1a3a5)2 2142，选 B.7.设 tan12,cos(）自(0,)，则 tan(275A.一B.242457C.D.2424【答案】D）的值为（）【解析】【分析】利用倍角公式求得tan2的值，利用诱导公式求得cos的值，利用同角三角函数关系式求得sin 的值,进而求得tan的值，最后利用正切差角公式求得结果【详解】1tan, tan2

7、24cos54.cos, sin52ta n41 tan23cos , (0,3 , tan54 3丄 ctan2 tan347tan 23 41 tan2 tan 1 4 3243 4故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，正切差角公式，属于基础题目8已知集合A 1,3帚，B 1,m，若A B A，则m ()A 0 或 一 3B . 0 或 3C 1 或,3D. 1 或 3【答案】B【解析】【分析】【详解】因为A B A,所以B A,所以m 3或m. m .若 m 3，则 A 1,3, . 3, B 1,3,满足 AB A.若 m . m，

8、解得 m 0或 m 1.若 m 0，则 A 1,3,0, B 1,3,0，满足 AA 1,3,1, B 1,1显然不成立，综上 m 0或m 3，选B.9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()同角三角函数关系式,B A若 m 1,正视图A.133【答案】B【解析】【分析】还原几何体的直观图，可将此三棱锥A CD1E放入长方体中，利用体积分割求解即可【详解】如图，三棱锥的直观图为A CDiE，体积VA CDtEM长方体 AG VBB,E AA1FVE ABCVE CCQVE A0FADC242 - 2 2 2 2 - 4 2 223 22- 2 2 2 4.3 2故选:B.【解析】【分

9、析】【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解，利用的体积分割的方法，考查了空间想象力及计算能力，属于中档题|6 3i|10 .若复数z (m 1)2 m i(m R)是纯虚数，则 一()A. 3B . 5C.D. 3、5【答案】C【解析】【分析】G Q ；先由已知，求出 m 1，进一步可得 1 2i，再利用复数模的运算即可z【详解】由Z是纯虚数，得m 10且2 m 0，所以m1, z 3i.因此,1 2iV5.故选：C.【点睛】 本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题11在三棱锥P ABC中，AB BP , ACPC , AB AC , PB PC 2、2，点 P 到

10、底面 ABC的距离为2,则三棱锥P ABC外接球的表面积为()C. 12D. 24【答案】C首先根据垂直关系可确定 OP OA OB OC，由此可知0为三棱锥外接球的球心，在PAB中，可以 算出AP的一个表达式，在 OAG中，可以计算出 A0的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半 径，进而求出球的表面积.【详解】取 AP 中点 O，由 AB BP , AC PC 可知：OP OA OB OC ,O为三棱锥P ABC外接球球心,过p作ph 平面ABC，交平面ABC于H ,连接AH交BC于G，连接OG , HB , HC ,Q PB PC ,HBHC ,AB AC , G为BC的中点由球的性质

11、可知:OG平面ABC, OG/PH，且 OG 1 PH2设ABQPB2 .2，AO1PAQ AGBC2OAG 中，AG2OG2 OA2 ,即-x22三棱锥PABC的外接球的半径为:AO x222 22 .'2 2.3 ,三棱锥PABC外接球的表面积为 s2R 12故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题,求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.12 .已知角a的终边经过点4m,3m0，则2sina cosa的值是（、2D.1或一5【答案】B观察可知，函数 f X为偶函数，且在,0上单调递增,根据三角函数的定义求得sina,cosa后可得结论

12、.【详解】由题意得点P与原点间的距离r : 4m $ 3m $5 m .当m0时，r5m ,sina3m34m4,cosa5m55m5，二 2sinac 342cosa2 -555当m0时，r5m二 sina3m34m4-,cosa5m55m52sina2342cosa555综上可得2sina2cosa的值是2或255故选B .【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x,纵坐标y,该点到原点的距离 r，然后再根据三角函数的定义求解即可.二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。2 x 3,x0213.已知函数f(x)，若f

13、3m 1 f 2 m，则实数m的取值范围为 X 32x -,x 021 3【答案】(-,)2 4【解析】【分析】画图分析可得函数是偶函数，且在(0,)上单调递减，利用偶函数性质f (x) f (x)和单调性可解【详解】作出函数f x的图如下所示,在(0,)上单调递减，故f 3m 1f(2 m) |3m 1| |2 m|2138m 2m 3 0m ,241 3 故实数m的取值范围为(一，3).2 41 3故答案为：(丄,3)2 4【点睛】.函数奇偶性的常用结论:本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x) f(x).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的

14、单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.14. 古代五行”学认为：物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法 有种.(用数字作答)【答案】1 .【解析】试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则 第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步 只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5X2X1 X1X1=1 .考点：排列、组合及简单计数问题.点评：本题考查排列排列

15、组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详.15. 从集合1,2,3中随机取一个元素，记为 a，从集合2,3,4中随机取一个元素，记为 b，则a b的 概率为.【答案】8 9【解析】【分析】先求出随机抽取a,b的所有事件数，再求出满足 a b的事件数，根据古典概型公式求出结果【详解】解：从集合1,2,3中随机取一个元素，记为 a，从集合 2,3,4中随机取一个元素，记为b ,则(a,b)的事件数为 9 个，即为(1,2),(1,3),(1,4) , (2,2),(2,3),(2,4), (3,2),(3,3),(

16、3,4)其中满足 a b 的有(1,2),(1,3),(1,4) , (2,2),(2,3),(2,4), (3,3),(3,4)，共有 8 个，故a b的概率为8 .9【点睛】本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数16.过圆x2 y2 2x 4y 0的圆心且与直线 2x 3y 0垂直的直线方程为 【答案】3x 2y 70【解析】【分析】根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解【详解】x2 y2 2x 4y 0圆心为(1,2),所求直线与直线2x 3y 0垂直，设为3x 2y C 0，圆心(1,2)代入，可得C 7,所以所求的直线方程为 3x

17、 2y 70.故答案为：3x 2y 70.【点睛】 本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. VABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,已知acosB 4c b cosA.(1) 求cos A的值；uuu _(2) 若b 4，点M是线段BC的中点， AM V10，求VABC的面积.【答案】(1) cosA 1 (2) Ssbc 2.154【解析】【分析】(1)利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，即可得出cosA的值；(2)由题意得出umr uuir uuuu AB + AC

18、= 2AM，两边平方，化简得出c 4，根据三角形面积公式，即可得出结论【详解】(1)QacosB(4c b)cos A由正弦定理得 sin AcosB (4sinC sin B)cos A即 sinAcosB cosAsinB 4sinCcosA即 sinC 4cosAsinC1在 VABC 中，si n C 0 ,所以cos A uuuu = 2AM4 ,uuu uur(2)因为点M是线段BC的中点，所以 AB + AC两边平方得AB?uur 2 uuu uur uuuu 2 AC 2AB AC 4AMuuuu由 b 4, AM10,cosA - ,si nA 5 得 c244b2 24 1

19、0整理得c216 2c 40,解得c 4或c 6 (舍)所以 VABC 的面积 S -bcsi nA 2.-52【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式，三角形的面积公式，属于中档题b2418.已知函数f(x) aln x的图象在x 1处的切线方程是 y (1 )x 1.exee(1) 求a,b的值；(2) 若函数g(x) xf (x)，讨论g(x)的单调性与极值；1(3) 证明：f(x).e11【答案】(1) a 1,b 2 ；( 2) g(x)单调递减区间为0,，单调递增区间为，g(x)的极小值ee1为-，无极大值；(3)见解析.e【解析】 【分析】(1) 切点既在切线上又在曲线上得一方

20、程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可;(2) 先对g(x) xf(x)求导数，根据导数判断和求解即可212x2(3)把证明In xx(x 0)转化为证明xl nx; (x 0)，然后证明xlnx 极小值大于ex ee eexx(x 0)极大值即可.e【详解】 解：(1)函数f (x)的定义域为(0,)a由已知得f (x)Xb2，则exf(1)f (1)2ebe2，解得2.(2)由题意得g(x)x f(x)xln x2(xe0),则 g (x) In x 1.1(o,；)时，g (x) o，所以g(x)单调递减，1(,)时，g (x) o，所以g(x)单调递增, e1所以,g(x

21、)单调递减区间为(o,丄)，单调递增区间为eg(x)的极小值为g(-)-，无极大值.e e(3)要证 Inx 4(x 0)成立,ex e2 x0)成立.只需证xln xx (xe exx x，则 h (x) e(0,1)时，h (x)0,h(x)单调递增,(1,)时，h (x)0,h(x)单调递减,由(2)知，x (0,)时，g(x)- g()，且g(x)的最小值点与h(x)的最大值点不冋，所以e e2 x, 2 1xln x-，即lnxxe eex e所以，1 f(x).e【点睛】所以h(x)的极大值为h(1)，即h(x), h(1)e知识方面，考查建立方程组求未知数，利用导数求函数的单调区

22、间和极值以及不等式的证明；能力方面,考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；试题难度大19 .如图，已知平面 QBC与直线PA均垂直于Rt ABC所在平面，且 PA AB AC .(1) 求证：PA/平面QBC ;(2) 若PQ 平面QBC，求CQ与平面PBC所成角的正弦值【答案】(1)见解析；(2)23【解析】【分析】【详解】(I)证明：过点Q作QD BC于点D ,平面QBC丄平面ABC,： QD 平面ABC又 PA丄平面ABC QD / PA,又 QD 平面QBCPA / 平面 QBC(n)v PQ 平面 QBC PQB PQC 90°，又/ PB PC,PQ

23、 PQ PQB PQC BQ CQ点D是BC的中点，连结 AD，则AD BC AD 平面 QBC PQ / AD , AD QD四边形PADQ是矩形设 PA AB AC 2a，得：PQ AD , 2a, PD 、6a又 BC PA, BC PQ BC 平面PADQ ,从而 平面PBC 平面PADQ，过Q作QH PD于点h，则QH 平面PBCQCH是CQ与平面PBC所成角2 2a 23 CQBQ , 6asin QCH QH 兰丄CQ 3 V632CQ与平面PBC所成角的正弦值为3考点：面面垂直的性质定理；线面平行的判定定理；线面垂直的性质定理；直线与平面所成的角.点评：本题主要考查了线面平行的

24、证明和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难本题也 可以用向量法来做：用向量法解题的关键是；首先正确的建立空间直角坐标系，正确求解平面的一个法向 量.注意计算要仔细、认真.也2x ax a20.已知函数f xx ，其中a R .ex(1)当a 0时，求f x在l,f 1的切线方程;(2)求证：f x的极大值恒大于 0.1【答案】(1) y x (2)证明见解析e【解析】【分析】(1) 求导，代入a 0,求出在x 1处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程;(2) 分类讨论得出极大值即可判断 .【详解】(1)f' x2 xa 2 x 2ax a x 2xx'ee当a0时

25、,f'111-f 1-ee则fx在1,f11的切线方程为yx ；当a 2时，f' x 0恒成立，此时函数 f x在r上单调递减,函数f x无极值;当a2时,令f 'x 0 ,解得ax 2,令f'x 0 ,解得xa 或 x 2 ,函数f x在a,2上单调递增，在,a2,上单调递减，a 4- f x极大值f 20 ；e当a2时,令f'x 0 ,解得2x a,令f 'x 0 ,解得x2 或 x a ,函数f x在2, a上单调递增，在,2 ,a,上单调递减，x极大值综上，函数f x的极大值恒大于0.【点睛】 本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导

26、数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属 于中档题.ln x21.已知函数f(x) ex.a(1)若f(x)在1,2上是减函数，求实数 a的最大值；(2)若 0 a 1，求证：f (x)1【答案】(1) 每 (2 )详见解析2e【解析】【分析】【详解】X1(1) f (x) ex(x 0),ax在1,2上，因为f(x)是减函数，所以11即一 xex恒成立，只需(xex)max. aa令 t(x) xex , x 1,2，则 t (x) ex2 In aaf (x) ex 0恒成立,axxex，因为 x 1,2，所以 t (x)02 .所以t(x) xex在1,2上是增函数，所以(xex

27、)max 2e2 ,所以-2e2，解得0 aa12e1所以实数a的最大值为22e,、x In x(2) f(x)ex(x 0) , f (x)a1ax令 g(x) ex(x 0)，则 g (x) ex ax12 , ax根据题意知g (x)0，所以g(x)在(0,1又因为g(l) ea 10 ,a1当x从正方向趋近于 0时，趋近于ax所以存在X。(0,1)，使g(x0) ex0 丄 aax°)上是增函数x 1，ex趋近于1，所以g(x) ex0，ax0，即ex,ax0， x°In(axJIn a In x0所以对任意x (O,x0)，g(x) 0，即f (x)0，所以f(x

28、)在(0,x°)上是减函数;对任意x (x0,)，g(x) 0，即 f (x)0，所以 f(x)在(x°,)上是增函数,f (x0).由于e"1,In x axx°In a ,则 f (x°)x In x° e1x°In a = 1x0aax°aax0a2 In a1X0当且仅当a，即xd 1时取等号，aax°所以当xx°时，f (x)取得最小值，最小值为In a a1 时，f(x)In a 2 In a a a a所以当0 a2 Inaa22.在VABC中，内角A, B,C的对边分别是a,b,c，满足条件c 2b . 2a,C -.4(1)求角A;(2)若VABC边AB上的高为3，求AB的长.【答案】(1) - . (2) 2、323【解析】【分析】(1)利用正弦定理的边角互化可得si nC2s in B . 2 si nA，再根据B A CA 4利用两角和的正弦公式即可求解(2)已知CD ,3，由A 一知AD 1，在 BDC中，解出BD即可3【详解】(1)由正弦定理知sinC 2si nB .2 si nA由己知C二一，而B42sin A.2 si nA、2 sin A2 cos A cosA -2（2）已知CD则由A 知AD 13C ,DB12CDtan B5