平面向量的数量积与平面向量应用举例

1、平面向量的数量积与平面向量应用举例考纲传真1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 .2. 了解平面向量的数 量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的 运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂 直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 .6.会用向量方法解决简 单的力学问题与其他一些实际问题【知识通关】1. 向量的夹角 已知两个非零向量a和b,作OA = a, OB = b,则 AoB就是向量a与b的夹角, 向量夹角的范围是：0, .2. 平面向量的数量积定义设两个非零向量a, b的夹角为,则数量|a bcos 叫做a与

2、b的数量 积，记作a b投影IalCOS 叫做向量a在b方向上的投影，IblCOS 叫做向量b在a方向上的投影几何 意义数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影IblCOS 的乘积3. 平面向量数量积的运算律交换律：a b= b a；(2) 数乘结合律：(a b= a b)= a (b(3) 分配律：a (b+ C) = a b+ a C.4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量 a= (x, y), b= (x2, y2), = a, b>.结论几何表示坐标表示模|a|=/a_a|a|=p x2 + y2数量积a b= |a|b|cos a b = x1x2+ y1

3、y2夹角A a b cos = |a|b|.x1x2+ y1y2COS = t22 22x2+ y2 x2+ y2a ba b= 012 + y1y2= 0|a b| 与 |a|b| 的|a b| |a|b|X1X2 + y1y2|7 1+ y2 2+ y2关系常用结论1. 平面向量数量积运算的常用公式(1) (a+ b) (a b)= a2 b2;(2) (a±)2= a2 ±>ab+ b2.2. 两个向量a, b的夹角为锐角？ ab>0且a, b不共线；两个向量a, b的夹角为钝角？ a bv 0且a, b不共线.【基础自测】1判断下列结论的正误.(正确的打

4、“”，错误的打“X”)(1) 两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量.()(2) 向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量. ()(3) 由 a b = 0 可得 a = 0 或 b = 0.()(4) (a b)c= a(b c).()答案(1) (3) ××2. 已知Ial= 6, Ibl = 3,向量a在b方向上的投影是4,则a b为()A. 12 B. 8 C. 8D. 2A3. 已知向量 a= (1, m), b= (3, 2),且(a+ b)丄b,贝U m=()A. 8 B. 6 C. 6D. 8D4. 已知 a, b是平面向量，如果

5、|a| = 3, |b|= 4, |a+ b|= 2,那么 |a b|=()A. .46 B. 7 C. 5 D. 21A5. 已知向量a= (1,/3), b= (3, 1),则a与b夹角的大小为 .6【题型突破】平面向量数量积的运算I"强L 1. 已知点 A( 1, 1), B(1, 2), C( 2, 1), D(3,4),则向量 CD在BA方向上的投影是()A. 3.5 B .兮 C . 3 5 D.誉A 2.在 ABC 中，AB = 4, BC = 6, ABC =，D 是 AC 的中点，E 在 BC 上，且 AE 丄 BD,贝U AE BC =()A. 16 B. 12

6、C. 8D. - 4A3. 已知菱形 ABCD的边长为6, ABD = 30°点E , F分别在边BC, DC上， BC = 2BE , CD = CF若AE BF = - 9,贝U 的值为()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5B方法总结1.向量数量积的两种运算方法1当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab= IallbICoSa, b> ；2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a= x1, y1 , b= x2, y2 ,则 a = 12+ y1y2.2. 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解.平面向量的夹角与

7、模l21?考法1平面向量的模【例 1】设向量 a, b 满足Ial = 2, b= a+ b= 3,则 a+ 2b =.已知向量a= (COS , Sin , b= (3, 1),则2a- b的最大值为.(1) 4 2 (2)4?考法2平面向量的夹角【例2】(1)若非零向量a, b满足a = 2b,且(a- b)(3a + 2b),贝U a与b 的夹角为() 3 A. 4 B2 c. TD. (2) (2018辽南一模)设向量a= (1,. 3), b= (m, .3),且a, b的夹角为锐角，贝U实数m的取值范围是.(1)A(2)(-3, 1) (1,+)方法总结1.求解平面向量模的方法1写

8、出有关向量的坐标,利用公式a= ;x2 + y2即可；2当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，a= a22.求平面向量的夹角的方法a b、,i2+ yiy21定义法：cos = 丽，注意的取值范围为0, n； 2坐标法：若 a= x1, y , b= x2, y2 ,贝UCOS =寸彳十于寸2+ y2；3解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.虫战填刃(1)(2018 广州一模)已知向量 a= (m,2), b= (1,1),若|a+ b=a+b,则实数m =.(2)(2017山东高考)已知e1, e2是互相垂直的单位向量.若：3e1 e2与e1+ e勺夹角为60&#

9、176;则实数的值是.(1)2 33 平面向量的应用SS3I 【例3】(1)在厶ABC中，已知向量AB = (2,2), IACI = 2, AB AC= 4,则厶ABC的面积为()A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 (2017全国卷 )已知 ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点, 则PA (PB + PC)的最小值是(34A. 2 B . 2 C . 3(1)C(2)B.方法总结1.用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法：(1) 几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向 量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2) 坐标法：建

10、立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、 垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.2.平面向量与三角函数的综合问题，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到 三角函数的关系式然后求解. 舐肚练刃(1)(2019厦门模拟)平行四边形ABCD中，AB = 4, AD = 2, ABAD =4,点P在边CD上，则PAPB的取值范围是()A. 1,8B . 1,+ )C. 0,8D . 1,0(2019沈阳模拟)已知向量a, b满足Ial=Ibl = a= 2且(a C) (b C) = 0,则2bc|的最大值为.(I)A (2) 7+1【真题链接】1. (2018 全国卷 U)已知向量 a, b满足 |a|= 1, a b= 1,则 a (2a b)=()A. 4 B. 3 C. 2D. 0B2. (2016 全国卷 M)已知向量 BA = 2, BC=今，2 ,则 ABC =()A. 30° B. 45° C. 60°D. 120°A3. (2014 全国卷 U)设向量 a, b满足|a+ b|= .1