现代信号处理-维纳和卡尔曼滤波ppt课件

1、 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.1 引言引言 2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离散方式时域解时域解 2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的z域解域解 2.4 维纳预测维纳预测 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.1 引引 言言 在消费实际中，观测到的信号都是遭到噪声干扰的。如何最大限制地抑制噪声，并将有用信号分别出来，是信号处置中经常遇到的问题。换句话说，信号处置的目的就是要得到不受干扰影响的真正信号。相应的处置系统称为滤波器。这里，只思索加性噪声的影响，即观测数据x(n)是信号s(n)与噪声v(n)之和如图2.1.1所示, 即 x(n)=s(n)+v(n)2.1.1 图

2、2.1.1 观测信号的组成 x(n)s(n)v(n)2.1 引引 言言 2.1 引引 言言 为了得到不含噪声的信号s(n)，也称为期望信号，假设滤波系统的单位脉冲呼应为h(n)如图2.1.2所示， 系统的期望输出用yd(n)表示，yd(n)应等于信号的真值s(n)；系统的实践输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估计，用公式表示为yd(n)=s(n)， y(n) = 。因此对信号x(n)进展处置，可以看成是对期望信号的估计，这样可以将h(n)看作是一个估计器，也就是说, 信号处置的目的是要得到信号的一个最正确估计。那么， 采用不同的最正确准那么，估计得到的结果能够不同。 )( nsh(

3、n)x(n)s(n)v(n)y(n)图 2.1.2 信号处置的普通模型 2.1 引引 言言 假假设知x(n-1), x(n-2), , x(n-m)，要估计当前及以后时辰的信号值 , N0，这样的估计问题称为预测问题；假设知x(n-1), x(n-2), , x(n-m) ，要估计当前的信号值 ，称为过滤或滤波； 根据过去的观测值x(n-1), x(n-2), , x(n-m)，估计过去的信号值 , N1，称为平滑或内插。 )( ns)( Nns)( Nns2.1 引引 言言 维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波就是用来处理这样一类从噪声中提取信号的过滤或预测问题, 并以估计的

4、结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最正确准那么。维纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律自相关函数或功率谱密度，得到的结果是封锁公式；维纳滤波的最大缺陷是仅适用于一维平稳随机信号，这是由于采用频域设计法所呵斥的 。 2.1 引引 言言 1950年，伯特和香农给出了当信号的功率谱为有理谱时，由功率谱直接求取维纳滤波器传输函数的设计方法。 采用谱分解的方法求解，简单易行，具有一定的工程适用价值，并且物理概念清楚。 因此人们逐渐转向在时域内直接设计最正确滤波器的方法。 2.1 引引 言言 2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离散方式时域解时域解 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法

5、维纳滤波器时域求解的方法根据线性系统的根本实际，并思索到系统的因果根据线性系统的根本实际，并思索到系统的因果性，可以得到滤波器的输出性，可以得到滤波器的输出y(n), 0)()()()()(mmnxmhnhnxnyn=0, 1, 2, 2.2.2 2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离散方式时域解时域解 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法维纳滤波器时域求解的方法设期望信号为，误差信号及其均方值设期望信号为，误差信号及其均方值分别为分别为 ：2.2. 2022)()()(| )()(| )(|mmnxmhndEnyndEneE2.2. )()()()()(nynsnyndne)(nd)(n

6、e| )(|2neE2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法维纳滤波器时域求解的方法要使均方误差为最小，须满足要使均方误差为最小，须满足因此，上式阐明，均方误差到达最小值的充要条件因此，上式阐明，均方误差到达最小值的充要条件是误差信号与任一进入估计的输入信号正交，这就是误差信号与任一进入估计的输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。是通常所说的正交性原理。0)()(2| )(|*2nejnxEhneEj2.2.5 2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离散方式时域解时域解 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法维纳滤波器时域求解的方法它的重要意义在于提供了一个数学方法，用以它的重要意义在于提供了

7、一个数学方法，用以判别线性滤波系统能否任务于最正确形状。判别线性滤波系统能否任务于最正确形状。 下面计算输出信号与误差信号的相互关函数下面计算输出信号与误差信号的相互关函数 0*0*)()()( )()()()()(jjnejnxEjhnejnxjhEnenyE(2.2.6) 2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离散方式时域解时域解 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法维纳滤波器时域求解的方法假定滤波器任务于最正确形状，滤波器的输出假定滤波器任务于最正确形状，滤波器的输出yopt(n)与期望信号与期望信号d(n)的误差为的误差为eopt(n)，把，把2.2.5式代入上式，得到式代入上式，得

8、到 0)()(*nenyEoptopt(2.2.7) eopt(n)d(n)yopt(n)图 2.2.1 期望信号、 估计值与误差信号的几何关系 2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离散方式时域解时域解 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法图2.2.1阐明在滤波器处于最正确任务形状时， 估计值加上估计偏向等于期望信号， 即 )(e)()(optoptnnynd留意我们所研讨的是随机信号，图2.2.1中各矢量的几何表示应了解为相应量的统计平均或者是数学期望。再从能量的角度来看，假定输入信号和期望信号都是零均值, 运用正交性原理,那么, 因此在滤波器处于最正确形状时， 估计值的能量总是小于等于

9、期望信号的能量。 |2opt22dopteEy2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离散方式时域解时域解 2.2.2 维纳维纳霍夫方程霍夫方程将将2.2.5式展开，式展开， 可以得到可以得到将输入信号分配进去，将输入信号分配进去， 得到得到0)()()()(0*mmnxmhndknxE)()()(0*kmrmhkrmxxdxk=0, 1, 2, 2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离散方式时域解时域解 2.2.2 维纳维纳霍夫方程霍夫方程对上式两边取共轭，利用相关函数的性质对上式两边取共轭，利用相关函数的性质: 得到得到 ：上式称为维纳上式称为维纳-霍夫霍夫WienerHopf方程。方程

10、。当当h(n)是一个长度为是一个长度为M的因果序列的因果序列(即即h(n)是一个是一个长度为长度为M的的FIR滤波器滤波器)时，时， 维纳维纳-霍夫方程表述为霍夫方程表述为)()()()()(0krkhmkrmhkrxxmxxxdk=0, 1, 2, 2.2.8)()()()()(10krkhmkrmhkrxxMmxxxd2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离散方式时域解时域解 )()(*krkryxxy2.2.2 维纳维纳霍夫方程霍夫方程把把k的取值代入的取值代入(2.2.9)式，式， 得到：得到：当k=0时，h1rxx(0)+h2rxx(1)+hMrxx(M-1)=rxd(0)k=1时

11、， h1rxx(1)+ h2rxx(0)+ hMrxx(M-2)= rxd(+1) k=M-1时， h1rxx(M-1)+ h2rxx (M-2)+hMrxx(0)= rxd(M-1) (2.2.10) 2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离散方式时域解时域解 2.2.2 维纳维纳霍夫方程霍夫方程定义定义可以写成矩阵的方式，可以写成矩阵的方式， 即即求逆，得到求逆，得到 ：)0()2() 1()2()0()0() 1() 1 ()0(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxrMrMrMrrrMrrrRhRRxxxdxdxxRRh1(2.2.11) 2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离

12、散方式时域解时域解 TxdxdxdxdTMMrrrRhhhh),1(,),1 (),0(,212.2.2 维纳维纳霍夫方程霍夫方程2.2.11式阐明知期望信号与观测数据的相互式阐明知期望信号与观测数据的相互关函数及观测数据的自相关函数时，可以经过矩阵关函数及观测数据的自相关函数时，可以经过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最正确解。同时可以求逆运算，得到维纳滤波器的最正确解。同时可以看到，直接从时域求解因果的维纳滤波器，看到，直接从时域求解因果的维纳滤波器， 中选择中选择的滤波器的长度的滤波器的长度M较大时，较大时， 计算任务量很大，计算任务量很大， 并且并且需求计算需求计算Rxx的逆矩阵，从而要

13、求的存贮量也很大。的逆矩阵，从而要求的存贮量也很大。2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离散方式时域解时域解 2.2.2 维纳维纳霍夫方程霍夫方程此外，此外， 在详细实现时，滤波器的长度是由实验在详细实现时，滤波器的长度是由实验来确定的，假设想经过添加长度提高逼近的精度，来确定的，假设想经过添加长度提高逼近的精度，就需求在新就需求在新M根底上重新进展计算。因此，从时域求根底上重新进展计算。因此，从时域求解维纳滤波器，并不是一个有效的方法。解维纳滤波器，并不是一个有效的方法。 2.2 维纳滤波器的离散方式维纳滤波器的离散方式时域解时域解 假设不思索滤波器的因果性，2.2.8式可以写为 )()

14、()()()(krkhmkrmhkrxxmxxxd设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到 Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z) )()()(zSzSzHxxxsopt2.3.12.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) 假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，那么 2.3.1式可以写成 )()()()()()(zSzSzSzSzSzHvvssssxxxsopt2.3.2显然，当噪声为0时，信号全部经过；当信号为0时， 噪声全部被抑制掉，因此维纳滤波确有滤除噪声的才干。2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤

15、波器的域解 把信号的频谱用Pss(ej)表示，噪声的频谱用Pvv(ej)表示，那么非因果的维纳滤波器的传输函数Hopt(ej)的幅频特性如图2.3.1所示。 Hopt(ej)PSS(ej)Pvv(ej)0图 2.3.1 非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 011)e (joptHPss(ej)0, Pvv(ej)=0 Pss(ej)0, Pvv(ej) 0 Pss(ej)=0, Pvv(ej) 0 然而实践的系统都是因果的。对于一个因果系统，不能直接转入频域求解的缘由是由于输入信号与期望信号的相互关序列是一个因果序列，假设可以把因果维纳滤波器

16、的求解问题转化为非因果问题，求解方法将大大简化。2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 假设x(n)的信号模型B(z)知如图2.3.2(a)所示，求出信号模型的逆系统B-1(z)， 并将x(n)作为输入，那么逆系统B-1(z)的输出(n)为白噪声。普通把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为白化滤波器。 图 2.3.2 x(n)的时间序列信号模型及其白化滤波器 B(z)(n)x(n)B 1(z)(n)x(n)2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 详细思绪如图2.3.3所示。用白噪声作为待求的维纳滤波器的输入，设定1/B(z)为信号x(n)的白化滤波器的传输函数，

17、那么维纳滤波器的传输函数G(z)的关系为： )()()(zBzGzH(2.3.3) 因此，维纳滤波器的传输函数H(z)的求解转化为G(z)的求解。 (n)x(n)G(z)y(n) s(n)(1zB图 2.3.3 维纳滤波解题思绪 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解非因果维纳滤波器的求解 假设待求维纳滤波器的单位脉冲呼应为假设待求维纳滤波器的单位脉冲呼应为(n)，期，期望信号望信号d(n)=s(n)，系统的输出信号，系统的输出信号y(n)=s(n)，g(n)是是G(z)的逆的逆Z变换，变换， 如图如图2.3.3所示。所示。 kknkgngnnsn

18、y)()()()()( )(2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解非因果维纳滤波器的求解kskskkskskkkkkrkrkgrkrkgkrkgkgrnsknkgnsknkgErnknrgkgEnsEknkgnsEneE222ss*22ss*222|)()()0()()()()(| )(|)0()()()()()()()()()()(| )(|)()()(| )(|(2.3.4) 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 0)()(krkgs -k (2.3.5) 因此g(n)的最正确值为 2)()(krkgsopt -k (2.3.6)

19、2.3.1 非因果维纳滤波器的求解非因果维纳滤波器的求解可以看出，均方误差的第一项和第三项都是非可以看出，均方误差的第一项和第三项都是非负数负数, 要使均方误差为最小，当且仅当要使均方误差为最小，当且仅当 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2)()(zSzGsopt(2.3.7) 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解非因果维纳滤波器的求解对上式两边同时做对上式两边同时做Z变换，得到：变换，得到：这样，非因果维纳滤波器的最正确解为： )()(1)()()(2optoptzBzSzBzGzHs(2.3.8) 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 (2.3.9) 对上式两边

20、做Z变换，得到： 因此： )()()(1zBzSzSxss(2.3.10) 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解非因果维纳滤波器的求解由于，且，根由于，且，根据相关卷积定理据相关卷积定理, 得到得到 ：)()()(1zBzSzSsxs)(*)()(nbnrnrsxs)(*)()(nnsns)(*)()(nbnnx2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解将上式代入(2.3.)式，并根据x(n)的信号模型，得到非因果的维纳滤波器的复频域最正确解的普通表达式 )()()()()(11)(12optzSzSzBzSzBzHxxxsxs(2.3.11) 假定信号

21、与噪声不相关，即当时，有： 0)()(nvnsE)()(*)()()(mrmnsnvnsEmrssxs)()()()(*)()()(mrmrmnvmnsnvnsEmrvvssxx2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解对上边两式做Z变换, 得到(2.3.12) (2.3.13) )()(zSzSssxs)()()(zSzSzSvvssxx把(2.3.12)式代入(2.3.10)式, 得到 )()()(1zBzSzSsss(2.3.14) 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 )()()()()()(optzSzSzSzSzSzHvvsss

22、sxxxs)()()()e ()e ()e ()e (jjjjoptvvssssvvssssPPPSSSH(2.3.15) 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解将2.3.13式和2.3.14式代入2.3.11式, 得到信号和噪声不相关时，非因果维纳滤波器的复频域最正确解和频率呼应分别为(2.3.16) 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解以下推出该滤波器的最小均方误差E|e(n)|2min的计算, 重新写出(2.3.4)式的最正确解 kssskrrneE22min2| )(|)0(| )(|2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.

23、1 非因果维纳滤波器的求解非因果维纳滤波器的求解根据围线积分法求逆根据围线积分法求逆Z变换的公式变换的公式, rss(m)用下用下式表示式表示: CmsssszzzSmrd)(j21)(1(2.3.17) 得出 CsssszzzSrd)(j21)0(1(2.3.18) 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解非因果维纳滤波器的求解由复卷积定理由复卷积定理 zzzYzXnynxCnd1)(j21)()(*(2.3.19) 取y(n)=x(n), 有 zzzXzXnxCnd)(j21| )(|12(2.3.20) 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波

24、器的域解 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解非因果维纳滤波器的求解因此因此 zzzSzSkrCssnsd)()(j21| )(|12(2.3.21) 把(2.3.18)式和(2.3.21)式代入(2.3.4)式， 得到 ：zzzSzSzSneEsssCd)()(1)(j21| )(|12min2(2.3.22) 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解非因果维纳滤波器的求解将将2.3.14式代入上式，式代入上式， 得到得到 zzzSzHzSzzzBzSzBzSzSneEssoptssCsssssCd)()()(j21d)()()()(1)(j21|

25、)(|1112min2(2.3.23) 由于实信号的自相关函数是偶函数，因此： )()(1zSzSssss)()(mrmrssss2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.1 非因果维纳滤波器的求解非因果维纳滤波器的求解假定信号与噪声不相关，假定信号与噪声不相关，Es(n)v(n)=0， 那么那么 CxxvvssCssxxsssszzzSzSzSzzzSzSzSzSneEd)()()(j21d)()()()(j21| )(|1min2(2.3.24) 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.2 2.3.2 因果维纳滤波器的求解因果维纳滤波器的求解 假设维纳滤波

26、器是一个因果滤波器，假设维纳滤波器是一个因果滤波器， 要求要求 g(n)=0 n0 那么滤波器的输出信号 0)()()()()( )(kknkgngnnsny(2.3.26) (2.3.25) 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.2 2.3.2 因果维纳滤波器的求解因果维纳滤波器的求解估计误差的均方值估计误差的均方值 类似于2.3.4式的推导，得到 022202| )(|1)()()0(| )(|kskssskrkrkgrneE(2.3.27) 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 )()(| )(|22nynsEneE2.3.2 因果维纳滤波器的求解因果维纳

27、滤波器的求解要使均方误差获得最小值，要使均方误差获得最小值， 当且仅当当且仅当 )()(000)()(22optnunrnnnrngss(2.3.28) 令 0)()()()(nnsnnssznrznunrzS(2.3.29) (2.3.30) 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 )(1)(ZT)(2optzSngzGsopt2.3.2 因果维纳滤波器的求解因果维纳滤波器的求解又由又由2.3.15式得到式得到 )()(1)(12optzBzSzGxs(2.3.31) 所以因果维纳滤波器的复频域最正确解为 )()()(11)()()(12optzBzSzBzBzGzHxsopt(2

28、.3.32) 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.2 因果维纳滤波器的求解因果维纳滤波器的求解维纳滤波的最小均方误差为维纳滤波的最小均方误差为: ksssskrkukrr)()()(1)0(*2022min2| )(|)0(| )(|kssskrrneEzzzSzSrsCsssd)()(1j21)0(12zzzBzSzBzSzSxsxsssCd)()()()(1)(j211122.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 2.3.2 因果维纳滤波器的求解因果维纳滤波器的求解即维纳滤波的最小均方误差为即维纳滤波的最小均方误差为: (2.3.33) zzzSzHzSneE

29、xsssCd)()()(j21| )(|1optmin22.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 比较2.3.23式和2.3.33式，可以看出因果维纳滤波器的最小均方误差与非因果维纳滤波器的最小均方误差的方式一样，但公式中的的表达式不同, 分别参见(2.3.11) 式和(2.3.32)式。)(optzH 2.3.2 因果维纳滤波器的求解前面曾经导出， 对于非因果情况，kssskrrneE22min2| )(|)0(| )(|对于因果情况， 022min2| )(|)0(| )(|kssskrrneE比较两式，它们的第二项求和域不同，由于因果情况下，因此可以阐明非因果情况的一定小于等于因

30、果情况。在详细计算时,可以选择单位圆作为积分曲线， 运用留数定理， 计算积分函数在单位圆内的极点的留数来得到。 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 min2| )(|neEmin2| )(|neE 0k 2.3.2 因果维纳滤波器的求解经过前面的分析, 因果维纳滤波器设计的普通方法可以按下面的步骤进展： (1) 根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应的信号模型的传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)。详细方法为，把单位圆内的零极点分配给，单位圆外的零极点分配给，系数分配给。 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 )()()(12zBzBzSwxx)(zB)(1zB

31、2w 2.3.2 因果维纳滤波器的求解(2)求取其因果部分再做Z变换，即舍掉单位圆外的极点，得： (3) 积分曲线取单位圆，运用2.3.32式和2.3.33式，计算：)()(1zBzSIZTxs)()(1zBzSxs。 2.3 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解 min2opt| )(|)(neEzH和2.4 维维 纳纳 预预 测测 2.4.1 2.4.1 维纳预测的计算维纳预测的计算 在维纳滤波中，期望的输出信号，实在维纳滤波中，期望的输出信号，实践的输出为。在维纳预测中，期望的输出践的输出为。在维纳预测中，期望的输出信号，信号， 实践的输出。实践的输出。前面曾经推导得到维纳滤波的最正

32、确解为：前面曾经推导得到维纳滤波的最正确解为：)()()()()(optzSzSzSzSzHxxxdxxxs2.4.1 )()(nsnd)()(Nnsny)()(Nnsnd)()(nsny其中,是观测数据的功率谱；是观测数据与期望信号的互功率谱。)(zSxx)(zSxd2.4 维维 纳纳 预预 测测 2.4.1 维纳预测的计算维纳预测的计算相互关函数的傅里叶变换相互关函数的傅里叶变换 ：)()()(*kndnxEkrxd2.4.2 )(krxd 对应于维纳预测器， 其输出信号y(n)和预测误差信号e(n+N)分别为 )( )()()()()( )(0NnsNnsNnemNnxmhNnsnym2

33、.4.3 2.4.4 2.4.1 维纳预测的计算维纳预测的计算同理，要使预测误差的均方值为最小，须满足同理，要使预测误差的均方值为最小，须满足 0| )(|2khNneE2.4.5 其中，hk表示h(k)。 2.4 维维 纳纳 预预 测测 观测数据与期望的输出的相互关函数rxyd(k)和互谱密度Sxyd(z)分别为 NxsxyzzSzSd)()(2.4.6 2.4.7 )()()()()()(*kNrkNnsnxEkndnxEkrxsxd2.4.1 维纳预测的计算维纳预测的计算这样，非因果维纳预测器的最正确解为这样，非因果维纳预测器的最正确解为 )()()()()(optzSzSzzSzSzH

34、xxxsNxxxyd2.4.8 因果维纳预测器的最正确解为： )()()(11)()()(11)(1212optzBzSzzBzBzSzBzHxsNxyd2.4.9 2.4 维维 纳纳 预预 测测 2.4.1 维纳预测的计算维纳预测的计算维纳预测的最小均方误差为维纳预测的最小均方误差为 CxsssCxysszdzzSzHzSzdzzSzHzSNneEd)()()(j21)()()(j21| )(|1opt1optmin2从上面分析可以看出， 维纳预测的求解和维纳滤波器的求解方法是一致的。 2.4 维维 纳纳 预预 测测 2.4.10 2.4.2 2.4.2 纯预测纯预测 假设假设 ，式中，式中

35、 是噪声，且是噪声，且 ，期望信号为，期望信号为 ，此种，此种情况称为纯预测。情况称为纯预测。 假定维纳预测器是因果的，仍设假定维纳预测器是因果的，仍设s(n)s(n)与与v(n)v(n)不相不相关，纯预测情况下的输入信号的功率谱及维纳预测器关，纯预测情况下的输入信号的功率谱及维纳预测器的最正确解分别为的最正确解分别为 )()()()()(12zBzBzSzSzSssxsxx2.4.11 2.4.12 2.4 维维 纳纳 预预 测测 )()(1)()()(11)(12optzBzzBzBzSzzBzHNxsN0)(nvE)()()(nvnsnx)(nv，Nns)( 2.4.2 纯预测纯预测纯预

36、测器的最小均方误差为纯预测器的最小均方误差为 CNNCNNCNxssszdzzBzzzBzBzBzdzzzBzBzBzBzzBzBzdzzzSzHzSNneE)()()()(j2)()()()()()(j21)()()(j21| )(|11212121optmin22.4.13 2.4 维维 纳纳 预预 测测 2.4.2 纯预测纯预测运用复卷积定理运用复卷积定理 zzzYzXnynxCnd1)(j21)()(*2.4.14 2.4 维维 纳纳 预预 测测 取y(n)=x(n) zzzXzXnxCnd)()(j21)(122.4.15 2.4.2 纯预测纯预测将上式代入将上式代入(2.4.13)

37、式式, 并思索到并思索到b(n)是因果系统，得到是因果系统，得到 nnNnbnuNnbnbNneE)()()()(| )(|22min2 可以看到，随着N 添加， 也添加。这一点也容易了解，当预测的间隔越远，预测的效果越差，偏向越大，因此 越大。 2.4 维维 纳纳 预预 测测 min2| )(|NneEmin2| )(|NneE )()(00222nnNnbnb)(1022nbNn2.4.3 2.4.3 一步线性预测的时域解一步线性预测的时域解 知知x(n-1), x(n-2)x(n-1), x(n-2)，,x(n-p), ,x(n-p), 预测预测x(n)x(n)，假，假设噪声设噪声v(n

38、)=0v(n)=0，这样的预测称为一步线性预测。设定，这样的预测称为一步线性预测。设定系统的单位脉冲呼应为系统的单位脉冲呼应为h(n)h(n)，根据线性系统的根本实，根据线性系统的根本实际，输出信号：际，输出信号： pkknxkhnxny1)()()( )(令apk=-h(k)，那么 pkpkknxanx1)()( 2.4.21 2.4 维维 纳纳 预预 测测 2.4.3 2.4.3 一步线性预测的时域解一步线性预测的时域解预测误差预测误差 pkpkpkpkknxaknxanxnxnxne01)()()()( )()(2.4.22 2.4 维维 纳纳 预预 测测 其中, ap0=1, 要使均方

39、误差为最小值，要求：212)()(| )(|pkpkknxanxEneE2.4.23 planeEpl, 2 , 10| )(|2 2.4.3 一步线性预测的时域解同维纳滤波的推导过程一样, 可以得到 2.4.24 把(2.4.22)式代入(2.4.24)式, 得到 pllkralrpkxxpkxx, 2 , 10)()(12.4.25 pllnxneE, 2 , 10)()(*2.4 维维 纳纳 预预 测测 由于预测器的输出 是输入信号的线性组合，参见2.4.21)式, 得到 )( nx0)( )(*nxneE2.4.26 2.4.3 一步线性预测的时域解(2.4.24)式阐明误差信号与输入

40、信号满足正交性原理， (2.4.26)式阐明预测误差与预测的信号值同样满足正交性原理。 预测误差的最小均方值 pkxxpkxxpkpkkrarnxknxanxEnxneEnxnxneEneE11*min2)()0()()()()()()( )()(| )(|(2.4.27 2.4 维维 纳纳 预预 测测 2.4.3 一步线性预测的时域解一步线性预测的时域解 将将(2.4.25)式和式和(2.4.27)式联立，式联立， 得到下面的方程得到下面的方程组：组： pkxxpkxxpkxxpkxxpllkralrneEkrar11min2, 2 , 10)()(| )(|)()0(2.4.28 2.4

41、维维 纳纳 预预 测测 2.4.3 一步线性预测的时域解一步线性预测的时域解 将方程组写成矩阵方式将方程组写成矩阵方式 00| )(|1)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1 ()0(min21neEaarprprprrrprrrpppxxxxxxxxxxxxxxxxxx2.4.29 2.4 维维 纳纳 预预 测测 这就是有名的Yule-Walker方程 2.4.3 一步线性预测的时域解Yule-Walker方程具有以下特点： (1) 除了第一个方程外，其他都是齐次方程; (2) 与维纳-霍夫方程相比，不需求知道观测数据x(n)与期望信号s(n)的相互关函数。 2.4 维维 纳纳

42、 预预 测测 2.4.3 一步线性预测的时域解Yule-Walker方程组有p+1个方程，对应地，可以确定apk,k=1, 2, , p和Ee2(n)min，合计p+1个未知数，因此可用来求解AR模型参数。这就是后面要引见的AR模型法进展功率谱估计的原理，它再一次提示了时间序列信号模型、功率谱和自相关函数描画一个随机信号的等价性。 2.4 维维 纳纳 预预 测测 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 卡尔曼滤波是用形状空间法描画系统的，由形状方程和量测方程所组成。卡尔曼滤波用前一个形状的估计值和最近一个观测数据来估计形状变量的当前值， 并以形状变量的估计值的方式给出。2.5 卡尔曼卡尔

43、曼(Kalman)滤波滤波 卡尔曼滤波具有以下的特点： (1) 算法是递推的形状空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因此适用于多维随机过程的估计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处置。2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 卡尔曼滤波具有以下的特点： (2) 用递推法计算，不需求知道全部过去的值，用形状方程描画形状变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳的， 即卡尔曼滤波适用于非平稳过程。 (3) 卡尔曼滤波采取的误差准那么仍为估计误差的均方值最小。 2.5.1 2.5.1 卡尔曼滤波的形状方程和量测方程卡尔曼滤波的形状方程和量测方程 假设某系统假设某系统k k时辰的形状变量

44、为时辰的形状变量为xkxk，形状方程和量，形状方程和量测方程也称为输出方程表示为测方程也称为输出方程表示为 ：kkkkwxAx1(2.5.1a) kkkkvxCy(2.5.1b) 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.1 卡尔曼滤波的形状方程和量测方程卡尔曼滤波的形状方程和量测方程阐明：阐明：k表示时间，指第表示时间，指第k步迭代时，相应信号的取值步迭代时，相应信号的取值k输入信号白噪声输入信号白噪声vk输出信号的观测噪声白噪声输出信号的观测噪声白噪声Ak表示形状变量之间的增益矩阵，可以随时间发表示形状变量之间的增益矩阵，可以随时间发生变化生变化Ck 表示形状变量与输出信号之间

45、的增益矩阵，可表示形状变量与输出信号之间的增益矩阵，可以随时间变化以随时间变化2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.1 卡尔曼滤波的形状方程和量测方程卡尔曼滤波的形状方程和量测方程信号模型如图信号模型如图2.5.1所示。所示。z1Ak1Ckk1xk1xkvkyk2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 图 2.5.1 卡尔曼滤波器的信号模型 2.5.1 卡尔曼滤波的形状方程和量测方程卡尔曼滤波的形状方程和量测方程将形状方程中时间变量将形状方程中时间变量k用用k-1替代，得到的形状替代，得到的形状方程和量测方程如下所示：方程和量测方程如下所示： 其中，xk是形状变量;k-1表

46、示输入信号是白噪声; vk是观测噪声; yk是观测数据。 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 11kkkkwxAxkkkkvxCy 2.5.1 卡尔曼滤波的形状方程和量测方程为了后面的推导简单起见，假设形状变量的增益矩阵A不随时间发生变化，k,vk都是均值为零的正态白噪声，方差分别是Qk和Rk，并且初始形状与k,vk都不相关，i,j表示相关系数。2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.1 卡尔曼滤波的形状方程和量测方程用数学方式表示为：kjkvvkvkkkjkkkkRRvEvQQEjkjk,2,2, 0:, 0:其中 jkjkkj012.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)

47、滤波滤波 2.5.2 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法 卡尔曼滤波是采用递推的算法实现的，其根本思卡尔曼滤波是采用递推的算法实现的，其根本思想是先不思索输入信号想是先不思索输入信号kk和观测噪声和观测噪声vkvk的影响，得的影响，得到形状变量和输出信号即观测数据的估计值，再到形状变量和输出信号即观测数据的估计值，再用输出信号的估计误差加权后校正形状变量的估计值，用输出信号的估计误差加权后校正形状变量的估计值，使形状变量估计误差的均方值最小。使形状变量估计误差的均方值最小。 因此因此, , 卡尔曼卡尔曼滤波的关键是计算出加权矩阵的最正确值。滤波的关键是计算出加权矩阵的最正确值

48、。2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法 当不思索观测噪声和输入信号时，形状方程和量当不思索观测噪声和输入信号时，形状方程和量测方程为：测方程为： 11 kkkkkkkkkxACxCyxAx(2.5.4) (2.5.5) 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法显然，由于不思索观测噪声的影响，输出信号的显然，由于不思索观测噪声的影响，输出信号的估计值与实践值是有误差的，用估计值与实践值是有误差的，用 表示表示 kykkkyyy(2.5.6) 为了提高形状估计的质量，

49、用输出信号的估计误差 来校正形状变量 。ky2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法如如(2.5.7)所示：所示：)()(111kkkkkkkkkkkkkxACyHxAyyHxAx(2.5.7) 其中，Hk为增益矩阵，本质是一加权矩阵。2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法经过校正后的形状变量的估计误差及其均方值分别用 和Pk表示，把未经校正的形状变量的估计误差的均方值用 表示 kxkP2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 kkkxxx(2.5.8) (2.5.9) (

50、2.5.10) )(TkkkkkxxxxEP)(TkkkkkxxxxEP 卡尔曼滤波要求形状变量的估计误差的均方值Pk为最小， 因此卡尔曼滤波的关键就是要得到Pk与Hk的关系式，即经过选择适宜的Hk,使Pk获得最小值。 首先推导形状变量的估计值 和形状变量的估计误差 ， 然后计算 的均方值Pk ，并经过化简Pk ，得到一组卡尔曼滤波的递推公式。 kx kxkx 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法将2.5.3、 (2.5.5)式代入2.5.7式： kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkvHxACHxA

51、CHIvHxCHxACHIxACvxCHxAyyHxAx)()()()()(1111111(2.5.11) 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法同理，形状变量的估计误差 为： xkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkvHxxACHIvHCHIxxACHIvHACHxxACHxxAvHxACHxACHIxAxxx11111111111111111)()()()()()()()(2.5.12) 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔

52、曼滤波的递推算法由上式可以看出，形状变量的估计误差 由三部分组成， 可记为 ：xcbax其中 kkkkkkkkkkvHcCHIbxxACHIa111)()()(2.5.13b) (2.5.13c) (2.5.13d) 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法那么，形状变量的估计误差的均方值Pk就由9项组成:)(,TTTTTTTTTTTcbcabcbaacabccbbaaEcbacbaExxEPkkk(2.5.14a) 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法TkTkkkkkkkk

53、kvHcCHIbCHIAxxaTTT1TTTT11T)()()(2.5.14b) (2.5.14d) (2.5.14c) 其中 下面化简Pk的表达式，根据假设的条件，形状变量的增益矩阵A不随时间发生变化，起始时辰为k0，那么2.5.2式经过迭代， 得到： 00011)(kkllkkkklkAxAx令l=k-k0-j，得到 10010000)(kkjjkkkkkkjkAxAx2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法取k0=0，k=k-1，得到 jkjjkkkAxAx202011(2.5.15) 所以xk-1仅依赖于x0,0, 1,k-2,

54、与k-1不相关，即： 0T11T11kkkkxexE(2.5.16) 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 又据(2.5.7)式和(2.5.3)式， 得 )(2111111211kkkkkkkkkkxACvxCHxAx(2.5.17) 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 所以 仅依赖于xk-1,vk-1，而与vk不相关，即 1kx0)()(T11T11kkkkkkxxvEvxxE0)()(T111T111kkkkkkxxExxE(2.5.18) (2.5.19) 把2.5.

55、152.5.19式代入(2.5.14)式, Pk中的9项可以分别化简为: TT1TTT1111T)()()()()(kkkkkkkkkkkkkkkkkCHIAPACHICHIAxxxxACHIEaaET1TT11T)()()()(kkkkkkkkkkkCHIQCHICHICHIEbbE(2.5.20a) (2.5.20b) 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法TTkkkkTkkkHRHHvvHEccE(2.5.20c) 0)(0)()(0)(0)()()(0)()(0)()()(TT1TTTTTT11TTT1TTTT111TTT11

56、TT11T111TkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkCHIvHEcbECHIAxxvHEcaEHvCHIEbcECHIAxxCHIEbaEHvxxACHIEacExxxxACHIEabE(2.5.20d) (2.5.20e) (2.5.20f) (2.5.20g) (2.5.20h) (2.5.20j) 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法也就是说，Pk仅有其中的三项不为零， 化简成 TkkkkkkTkkkkkTkkkkkkkkkkTkkkkkkHRHCHIQAPACHIHRHCHIQC

57、HICHIAPACHIccEbbEaaEPT11T1T1TTT)()()()()()(2.5.21) 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 为了进一步化简Pk，推导未经误差校正的形状估计误差的均方值Pk，由下面推导结果可以看出，Pk是一对称矩阵，满足Pk=(Pk)T。 1T1T11TT1111T111111T111111T)()()()()(defkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkQAPAEAxxxxEAxxAxxAExAxAxAxAExxxxEP(2.5.22) 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman

58、)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法将(2.5.22)式代入(2.5.21)式，即把Pk代入Pk, TTTTTTTT)()()(kkkkkkkTkkkkkkkkkkkkkkTkkkkkkkkkkkkkkkHRHPCHHCPPCHPHRHHPCHHCPPCHPHRHCHIPCHIP(2.5.23) 其中, 是正定阵. kTkkkRCPC2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法TSSRCPCkTkkk(2.5.24) 记令 T TTT)(kkkkkkPCPCCPU(2.5.25) 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalma

59、n)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法将上式代入2.5.23式，得 TTTT)(kkTkkkkkHSSHUHUUUHPP(2.5.26) 将(2.5.26)式后三项配对 1TTT1T1TT1TT1T1T)()()()()()(kkkkkkkkkkkkkkkPCPCPCCPPSUSHSUSHUSSUPSUSHSUSHP(2.5.27) 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 第二项和第三项均与Hk无关，第一项为一半正定阵，因此使Pk最小的Hk应满足 01)(TSUSHk(2.5.28) (2.5.29) 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递推算法2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 1T1T11Topt)()()(kkkkTkkRCPCCPSSUSSUH将Hopt代入Pk，得到最小均方误差阵 1TT)()(kkkkkkkkkkkkkkkkkPCHIPCHPPCRCPCCPPP 将(2.5.7)、 (2.5.22)、 (2.5.29)式和(2.5.30)式联立， 得到一组卡尔曼递推公式 (2.5.30) 2.5 卡尔曼卡尔曼(Kalman)滤波滤波 2.5.2 卡尔曼滤波的递推算法卡尔曼滤波的递