复变函数积分的概念ppt课件

1、3.1 复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义 设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A和B. C能够有两个方向：从点A到点B和从点B到点A.假设规定其中一个方向(例如从点A到点B的方向)为正方向，那么称C为 有向曲线.此时称点A为曲线C的起点，点B为曲线C的终点.假设正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B到起点A的方向那么称为曲线C的负方向，记作C. 定义3.1 设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A为起点，B为终点.函数f(z)在曲线C上有定义.现沿着C按从点A到点B的方向在C上依次任取分点： A=z0,z1,zn-1,zn=B, 将曲线C划分成 n个小弧段.在每个小弧段 (k=

2、1,2,n)上任取一点k,并作和式1kkzz1().nnkkkSfz其中 .记为n个小弧段长度中的最大值.当趋向于零时，假设不论对曲线C的分法及点k的取法如何，Sn极限存在，那么称函数f(z)沿曲线C可积，并称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分.记作 1kkkzzz01( )dlim(),nkkkCf zzfzf(z)称为被积函数，f(z)dz称为被积表达式.假设C为闭曲线，C的正方向指的是，当点沿着曲线C按所选定取积分的方向运动时，C所围区域一直在它的左侧，这时函数f(z)沿曲线C的积分记作 ( )dCf zz2.复变函数积分的性质性质3.1方向性假设函数f(z)沿曲线C可积，那么( )

3、d( )d .CCf zzf zz 性质3.2线性性假设函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，那么( )( )d( )d( )d ,CCCf zg zzf zzg zz其中,为恣意常数.性质3.3对积分途径的可加性假设函数f(z)沿曲线C可积，曲线C由曲线段,依次首尾相接而成，那么 12( )d( )d( )d( )d .nCCCCf zzf zzf zzf zz性质3.4积分不等式假设函数f(z)沿曲线C可积，且对 ,满足 , 曲线C的长度为L,那么 zC ( )f zM( )d( ) d,CCf zzf zs ML其中 , 为曲线C的弧微分.22ddddszxy记sk为zk-1与zk之间的弧

4、长 111()()().nnnkkkkkkkkkfzfzfs0两端取极限 ( )d( ) d .CCf zzf zs11(),nnkkkkkfsMsML( )d( ) d.CCf zzf zsML3.复变函数积分的根本计算方法定理3.1 假设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C延续，那么f(z)沿C可积，且 ( )dddidd .CCCf zzu xv yv xu y证明： 11i,i,kkkkkkkkkkkkzxyxxxyyy11111(i)(i)()i()+i.kkkkkkkkkkkkkzzzxyxyxxyyxy 1111()( (,)(,)(i)( (,)(,)i( (,)

5、(,).nnkkkkkkkkkknkkkkkkknkkkkkkkfzuivxyuxvyvxuy 111()( (,)(,)i( (,)(,).nnkkkkkkkkkknkkkkkkkfzuxvyvxuy 知f(z) 沿C延续，所以必有u、v都沿C延续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在，且 ( )dddidd .CCCf zzu xv yv xu y参数方程法 设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为 ( )( )i ( )(),zz tx ty tatb 参数t=a时对应曲线C的起点，t=b时对应曲线C的终点. 设f(z)沿曲线C延续，那么 ( ( )( ( ), ( )i (

6、( ), ( )( )i ( ).f z tu x ty tv x ty tu tv t( )dddidd( ( ) ( )( )( )di( ( )( )( ) ( )d ,CCCbbaaf zzu xv yv xu yu t x tv t y ttu t y tv t x ttRe( ( ( ) ( )( ) ( )( )( ),Im( ( ( ) ( )( )( )( ) ( ).f z tz tu t x tv t y tf z tz tu t y tv t x t( )d( ( ) ( )d .baCf zzf z tz tt例3.1 分别沿以下途径计算积分 和 2dCzzIm( )

7、dCzz(1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；(2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段.解： (1) C的参数方程为：z=(1+i)t, t从0到1 .112220033310d(1 i) ) d(1) )(1 i)(1 i) ) d(1 i)(1 i).33Czzti tttt(2) 把从原点0，0到1，0和从1，0到1，1这两直线段分别记为C1和C2, C1的参数方程为：y=0, x 从0到1; C2的参数方程为：x=1, y 从0到1.112220033121003dd(1 i ) d(1 i )ii331i2i 2(1 i)i1.3333Czzxxyy

8、xyyy 1100iIm( )d0dd(1+i ).2Cz zxyy例3.2 计算积分 ,其中C为图3.2所示半圆环区域的正向边境.dCzzz解：积分途径可分为四段：C1:z=t(-2 t -1);C2:z= 从到0;C3:z=t(1 t 2);C4:z= 从0到.ie ,i2e ,1234102iiiiii210ddddde2edie dd2ie de2e24411.333CCCCCzzzzzzzzzzzzzzztttttt 例3.3 计算积分 ,其中C为以z0为中心，r为半径的正向圆周，n为整数. 101d()nCzzz解：曲线C的方程为： i0e (02)zzr2i11 i(1)0022

9、ii00di e()eiided .ennnCnnnnzrIzzrrr当n=0时 20id2iI当n0时， 20i(cosisin)d0nInnr0102i,0;d0,0.()nz zrnznzz3.2 柯西-古萨定理及其推行1.柯西-古萨(Cauchy-Goursat)定理 假设函数f(z)=u+iv在单连通域D内处处解析，f(z)在D内延续, u,v对x,y的偏导数在D内延续.设z=x+iy，C为D内任一条简单闭曲线.( )ddddd .CCCf zzu xv yi v xu y记G为C所围区域，由格林(Green)公式有ddd d ,GCvuu xv yx yxy由于f(z)=u+iv在

10、D内解析，所以u,v在D内处处都满足柯西-黎曼方程,即 ,.uvvuxyxy 因此dddd0.CCu xv yv xu y从而( )d0.Cf zz 定理3.2柯西-古萨定理 假设函数f(z)是单连通域D内的解析函数，那么f(z)沿D内任一条闭曲线C的积分为零，即 ( )d0.Cf zz 恣意一条闭曲线都可以看成是由有限多条简单闭曲线衔接而成的。 推论3.1 设C为z平面上的一条闭曲线，它围成单连通域D,假设函数f(z)在 上解析，那么 DDC( )d0.Cf zz 推论3.2 设函数f(z)在单连通域D解析,那么f(z)在D内积分与途径无关.即积分 不依赖于衔接起点z0与终点z1的曲线C,而

11、只与z0、z1的位置有关. ( )dCf zz证明：设C1和C2为D内衔接z0 与z1的恣意两条曲线. 1C2C显然C1和 衔接成D内一条闭曲线C. 2C由柯西-古萨定理 12( )d( )d( )d0.CCCf zzf zzf zz12( )d( )d .CCf zzf zz2.原函数 函数f(z)沿曲线C1和C2的积分又可以表示为 1212( )d( )d( )d .zzCCf zzf zzf zz固定下限z0，让上限z1在区域D内变动，并令z1=z,那么确定了一个关于上限z的单值函数 0( )( )d .zzF zf并称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上限函数.定理3.3 假设

12、函数f(z)在单连通域D内解析，那么函数F(z)必在D内解析，且有F(z)=f(z).*证明： 假设D内任取一点z,以z为中心作一个含于D内的小圆B，在B内取点 (0)zzz 00()( )( )d( )d .zzzzzF zzF zff ()( )( )d .zzzF zzF zf积分与途径无关 ( )d( )d( ).zzzzzzf zf zf zzf(z)是与积分变量无关的值 ()( )1( )( )d( )1( ( )( )d .zzzzzzF zzF zf zff zzzff zz又f(z)在D内解析，显然f(z)在D内延续. 所以对于任给的 ,必存在 ,使得当 (且落在圆B内)，即

13、当 时，总有 00zz ( )( ) 0,必存在0,当时 , 有 .令 ,那么 在D内除去点z外处处解析.现以z为中心，r为半径作圆周 ,使圆B的内部及边境全含于C的内部. z( )( )ff z( )( )fFz( )F:Brz根据复合闭路定理有( )( )dd .CBffzz令 ，只需证明 0r ( )d2i( )Bff zz1d2iBz,而f(z)与x无关. ( )( )( )( )( )d2i( )ddd( )( )d2idBBBBBBfff zff zf zzzzzff zsrz假设函数f(z)在曲线C上恒为常数K,z0为C内部任一点，那么根据柯西积分公式 001( )1( )dd2

14、i.2i2i2iCCfKKf zKzz即f(z)在曲线C的内部也恒为常数K. 假设C为圆周: ,即 ,那么 ,从而 0zRi0Rez(02)idiRe d2ii00i002i00(Re ) iRe1( )1()dd2i2iRe1(Re )d .2Cf zff zzf z解析函数在圆心z0处的值等于它在圆周上的平均值，这就是解析函数的平均值定理. 假设f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内解析，且在C上延续，那么柯西积分公式依然成立.柯西积分公式可以改写成 ( )d2i( )Cff zz例3.7 计算积分 的值. 221dzzzz解：由于z2+1在|z|=2内解析 22021d22 .(1)zzz

15、ziizz例3.8 计算积分 的值，其中C为: 2sin6d1Czzz 33(1)1;(2)1;(3)3.22zzz 解： (1) 被积函数 在 的内部解析 sin61zz 312z21sinsin11sin66dd22.6111421CCzzzzizziizzzz(2) 被积函数 在 的内部解析 sin61zz 312z21sinsin11sin66dd22.6111421CCzzzzizziizzzz(3) 被积函数在|z|=3的内部有两个奇点.在C的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C1和C2，其中C1的内部只包含奇点z=1，C2的内部只包含奇点z=-1. 12222sinsinsin

16、666ddd .11122CCCzzziizzzizzz2.高阶导数公式 定理3.7 定义在区域D的解析函数f(z)有各阶导数，且有其中C为区域D内围绕z的任何一条简单闭曲线，积分沿曲线C的正向.( )1!( )( )d (1,2,),2i()nnCnffznz定理3.8 假设f(z)为定义在区域D内的解析函数，那么在D内其各阶导数都存在并且解析.换句话说，解析函数的导数也是解析函数. 定理3.9 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是(1) 在D内延续；(2) 在D内满足柯西-黎曼方程. ,xyxyu uv v( , ), ( , )u x y v x y例3.

17、9 求积分 的值, 其中C为: . 2ed()2zCziz 226xyy解：被积函数在C的内部有一个奇点 2iz /22 /2ed2 e22.2 (e )2zizziCzii iiiz 例3.10 求积分 的值，其中C为: |z|=2. 32cosd(1)Czzzz解： 被积函数在C的内部有两个奇点z=0和z=1,作两条互不相交且互不包含的闭曲线C1和C2，分别包围奇点z=0和z=1，且两曲线所围区域全含于C的内部. 12123232322332230022coscoscosddd(1)(1)(1)cos1cos1dd(1)(1)2coscos22 32!(1)(6 )6(12 ) .CCCC

18、Czzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzizziizziii3.4 解析函数与调和函数的关系定义3.3 在区域D内具有二阶延续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元实函数(x,y)称为在D内的调和函数. 22220 xy定理3.10 任何在区域D内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是D内的调和函数. 证明 由柯西-黎曼方程有 ,.vuvxyxy 222222,.uvuvxy xyx y u(x,y)与v(x,y)具有恣意阶延续偏导，所以 22.vvy xx y 22220.uvxy同理可证 22220.vvxy即u(x,y)与v(x,y)都是调和函数. 使u(x,y)+iv(x,y)在区域D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数.或者说，在区域D内满足柯西-黎曼方程ux=vy,vx=-uy的两个调和函数u和v中，v称为u的共轭调和函数. 1. 偏积分法利用柯西-黎曼方程先求得v对y的偏导vy=ux,此式关于y积分得 d( )uvyg xx然后两边对x求偏导,由vx=-uy,于是有 d( ).yuuyg xxx从而-d( )d.uuyg xxCyxxddd.uuuyvyxCyxxx例3.11 知u(x,y)=2(x-1)y, f(2)=-i,求其共轭调和函数，并写出f(z)的方式. 解 由柯西-黎