对中考“兄弟连”试题的对比与评析

1、对中考“兄弟连”试题的对比与评析2000年上海市的中考压轴题与2008年广州市的中考压轴题,在几何图形背景与考查的知识都有相似之处,是属于“兄弟连”试题。“弟”试题较好地继承了“兄”试题的亮点，并在新课程背景下进了自主创新，有效考查了学生运用已学知识分析问题和解决问题的综合分析能力。下面对“兄弟连”试题对比评析如下：例1、（2000年上海市中考试题）如图，在半径为6，圆心角为90º的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PHOA，垂足为H，OPH的重心为G。（1）当点P在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设

2、PH=x,GP=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。解(1) 长度保持不变的线段是GH,且GU=2延长HG交OP于C, G是OPH的重心， CH是斜边OP上的中线，GH=CH=OP= (2)延长PG交OH于D，PH=x，OH=，而DP=y=GP= （0x6）(3)分类讨论：在PGH中 若GP=PH时，则有 化简得： ，若GP=GH时,则有 解得 (不合题意舍去)若PH=GH时,则有 .【评析】第(1)小题中主要抓住了同圆的半径相等的性质,虽然点P在弧AB上运动,但OP是O的半径始终保持不变,即OP6。再结合直角三角形和三角形重心的性

3、质,使所求线段GH与已知半径OP联系起来，从而使问题解决；在第（3）小题中，已知PGH是等腰三角形，但题中没有指明哪两边是腰，因此解题中必须对三角形的三边进行分类讨论解决，渗透了数学中的分类思想。例2、（2008年广州市中考试题）如图2，扇形OAB的半径OA=3，圆心角AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE（1）求证：四边形OGCH是平行四边形（2）当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度（3）求证：是定值解：（1）如图3，连结

4、OC交DE于M，由矩形得OMCG，EMDM 图2因为DG=HE所以EMEHDMDG得HMDG 所以四边形OGCH是平行四边形。（2）DG不变，在矩形ODCE中，DEOCOA=3，所以DG （3）一题多解：方法一：利用三角形的中位线与勾股定理解：如图3，设CDx,延长OG交CD于N，OG=CH，且OGCH，CN=DN，在RtODN中， 而 ， 【评析】本解法充分利用了题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，较好地实现了把线段ON转化为线段CH的倍分关系，再以RtOND为基础，通过勾股定理，使问题得以解决。方法二：利用相似三角形与勾股定理 解：如图4，分别过H、G作HMGNDC，则有 ，

5、， ，。在RtCMH中， 【评析】本解法充分利用了题中的三等分点、相似三角形的性质，得出相关线段关于x的代数式，再以RtCMH为基础，通过勾股定理，使问题得以解决。方法三：利用三角形面积与勾股定理解：如图5，过点C作CKED于K，在RtECD中，由面积法得： RtCKH中，化简得： 【评析】本解法充分利用了几何中的面积法，得出斜边上的高CK和HK关于X的表达式，再以RtCKH为基础，通过勾股定理，使问题得以解决。方法四：三角函数与勾股定理解：如图5，过点C作CKED于K，在RtCEK和RtCHK中，由勾股定理得：在RtEKC和RtECD中， 化简得： 【评析】本解法充分利用了三角函数，使线段E

6、K能用x的代数式表示，再通过勾股定理和乘法公式进行转化，使问题得以解决。上海试题考查的知识点有：同圆的半径相等，直角三角形的性质，三角形重心的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及分类讨论的数学思想。第（1）小题起点较高，三个小题层次不明显，第（3）小题注重了数学思想的渗透，对等腰三角形的各种情况进行分类求解，考查了学生严谨的数学思维能力。广州试题在上海试题的基础上进行自主创新，它所涉及的知识点有：同圆的半径相等，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，相似三角形或三角函数等。第（1）小题比较基础，学生容易解决，第（2）小题只利用矩形的性质求解，不涉及到课标不要求的三角形重心的性质求解，三个小题有一定