山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第30章帕普斯定理_第1页
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文档简介

1、第30章帕普斯定理帕普斯定理设、是一条直线上的三点，、是另一条直线上的三点若直线、分别与、相交，则这三个交点、共线证明如图，延长和交于点，设与、分别交于点和对及5条截线、分别应用梅涅劳斯定理，有，将前三式的积除以后两式的积，化简得由此即知、共线下面看几道应用上述定理处理问题的例子例l给定及两点，联结、交于，、交于，、交于，设与交于，与交于，与交于求证：、五点共线证明由于、在直线上，、在直线上，且、分别是直线与、直线与、直线与的交点，由帕普斯定理知、三点共线同理，、三点线，、三点共线故、五点共线例2（2008年伊朗国家队选拔考试题）已知的内心为，是内切圆的一条切线，直线与、分别交于、由作的不同于

2、的切线，且与交于点类似地定义，证明：、三线共点，证明如图，设交于点，交于点，联结交于点由布利安香定理，对六边形、其三条对角线、共点，则该点为，即、过点考虑两个三点组（、）与（、）由帕普斯定理，与、的交点为，与的交点（设为），与的交点三点共线，即与的交点在上同理，与的交点在上而即故、共点于且在上例3（2006年预选题）已知、外切于点，并同时与圆内切，切点分别为、，过作、的公切线设圆的直径，使得、在的同侧证明：、三线共点证明如图，设的中点为知为圆与的位似中心由于、分别垂直于，则，所以，、三点共线同理，、三点共线设、交于点由，知是的垂心设是的中点则是四边形的外接圆的圆心因为与均垂直于直线，所以，又是

3、与的连心线，则、都垂直于于是，同理，因此，与的对应边平行，且不全等于是，对应顶点的连线交于一点，且为这两个三角形的位似中心考虑直线和由于：、交于点，、交于点，、交于点，由帕普斯定理知、三点共线，即是、的公共点例4（2009年保加利亚国家队选拔考试题）的三个旁切圆分别切线段、于点、，、分别为的内心、外心证明：若四边形为圆内接四边形，则（1）、三点共线；（2）、三点共线证明先证一个引理：过点垂直于的直线过点垂直于的直线及过点垂直于的直线交于一点事实上，设过点垂直于的直线与过点垂直于的直线交于点，设在上的投影为只需证点与重合，设，由于，则令，时，有，求得故知与重合（1）设、为的顶点、所对的旁切圆的圆心，则对三元点组（、）、（、）应用帕普斯定理，知、三点共线（2）设内切圆分别与边、切于点、，则的中垂线

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