一元二次方程经典习题

1、 1.若关于x的二次三项式x2+kx+16是一个完全平方式，求k的值。16)2(2=k解：由题意得1642=k642=k8=k2.若关于x的二次三项式x2+2mx+4-m2是一个完全平方式，求m的值。22-4)22(mm=解：由题意得22=m2=m3.若t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根，则判别式=b2-4ac和完全平方式m=(2at+b)2的关系是( ) A. =m B. m C. m D.不能确定解：解： t是一元二次方程的根是一元二次方程的根 at2+bt+c=0 at2+bt=-c m=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2 =-4ac+b2 =A4.已知

2、关于已知关于x的方程的方程x2+px+q=0与与x2+qx+p=0(pq)有有一个公共根，求一个公共根，求(p+q)2013的值。的值。解：设a是这两个方程的一个公共根 a2+pa+q=0 ,a2+qa+p=0 a2+pa+q=a2+qa+p (p-q)a=p-q又pq , 两边同除以(p-q)得：a=1把a=1代入a2+pa+q=0得：p+q=-1(p+q)2013=(-1)2013=-15.已知一元二次方程ax2+bx+c=0,(a0)的一个根为1，且a，b满足等式的根。，求方程0-4-33-2=+=cybba4-33-bba+=解： b-30 3-b0b=3a=-4把x=1,a= - 4

3、,b=3代入方程ax2+bx+c=0得：-4+3+c=0c=1方程y2-c=0化为y2-10y=1*6.(孝感中考)已知关于 x 的一元二次方程 x2(2m1)xm20 有两个实数根 x1和 x2.(1)求实数 m 的取值范围；(2)当 x21x220 时，求 m 的值7.已知等腰三角形的底和腰是方程已知等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两的两根，求这个三角形的周长。根，求这个三角形的周长。 解：x2-6x+8=0 (x-2)(x-4)=0 x1=2 ,x2=4当2为腰长时，2+2=4，不符合三角形三边关系当4为腰长时，4+42,周长为4+4+2=108.在等腰ABC中，三边分别为,

4、其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0，有两个相等的实数根，求ABC的周长。解：=(b+2)2-4(6-b)=0 b2+8b-20=0 b1=-10（舍去），b2=2当c=b=2时，2+25,不符合三角形的三边关系当c=a=5时，c+ab, ABC的周长为5+5+2=129.一个三角形的两边长分别是3cm和7cm，第3边长是acm且a满足，求三角形的周长034)324( -2=+baa解：由三角形三边关系可知4a1043464-)324(2=+=）（13222324+=+=a)(313321舍去+=+=aa3133373:+=+三角形的周长为10.若a2+2ab-35b2=0

5、,(ab0)求 的值 。abba+解： a2+2ab-35b2=0 a2+2ab+b2=36b2 (a+b)2=36b2 a+b=6b a=5b或a=-7b526555=+=bbbbba时，原式当750-7-7-7-=+=bbbbba时，原式当11.若a是方程x2-5x+1=0的一个根，求 的值。221aa +解；把x=a代入方程得：a2-5a+1=0 两边同除以a得：51,015-=+=+aaaa即251222=+aa两边平方得：23122=+aa12.(m2+n2)(m2+n2-2)-8=0，求的m2+n2值。解：(m2+n2)2-2(m2+n2)-8=0 (m2+n2+2)(m2+n2-

6、4)=0 m2+n2=-2 （舍去），m2+n2=4 m2+n2的值为4 13. 13. 已知方程已知方程x2 2+3+3x+1=0+1=0的两个根为的两个根为 求求 的值。的值。, , 解：解：234 1 150,. 由韦达定理得：2（）31 ，22223)2 121 (92222（）0,3 ， 同为负数14.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+2=0的两个实数根，求(2+mx1+x12)(2+mx2+x22)的值。解：x12+(m-2)x1+2=0 , x22+(m-2)x2+2=0 x12+2=2x1-mx1 , x22+2=2x2-mx2 又x1x2=2 原式=(2x1-mx1+m

7、x1)(2x2-mx2+mx2) =2x12x2 =4x1x2 =42 =8 15 15. .已知已知 m2 2+ +2m- -2009= =0，n2+2n- -2009=0（mn）求）求(m- -1)(n- -1).解解: 由已知条件得，由已知条件得， m, n是方程是方程 x2 2+ +2x- -2009= =0的两个不相等的实数根，的两个不相等的实数根，由韦达定理得：由韦达定理得： m+n=- -2, mn=- -2009(m- -1)(n- -1)= mn- - (m+n)+1= - - 2009- -(- -2)+1= - - 200616.已知a2-3a-5=0,b2-3b-5=0

8、,求 的值。baab+解：当解：当a=b时，原式时，原式1+12 当当ab时，可知时，可知a,b是方程是方程x2-3x-5=0的两根的两根 由韦达定理得：由韦达定理得：a+b=3, ab=-5abababba2-)2(22+= 原式519-5-5-2-32-)(22=+=）（ababba17.已知3m2-2m-5=0 , 5n2+2n-3=0 .其中m,n为实数，求 的值 。nm1-解： 3m2-2m-5=0 与05-12-132=nn由于m, 的关系没有给定，故应分两种情况：n1当m= 时，n101-=nm当m 时，可知m, 是方程3x2-2x-5=0的两个根，则n1n1nm1-nmnm14

9、-)1(2+=）（35-4-)32(2=38=3801-=nm综合，得 或18.已知实数已知实数x满足满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，求代数，求代数式式x2-x+1的值。的值。解：方程化为：(x2-x+2)(x2-x-6)=0 x2-x+2=0或x2-x-6=0当x2-x+2=0时，=-，方程无实数根，当x2-x-6=0时， =(-1)2-4(-6) 0,方程有实数根. x2-x=6x2-x+1=6+1=719.已知实数已知实数x满足满足 求代数式求代数式 的值。的值。01122xxxxxx102112122xxxxxx解：方程化为；0)21)(11(xxxx021011xxxx

10、或时，即当010112xxxx0,方程无实根时即当0120212xxxx，方程无实根21xx20已知x1，x2是关于x的一元二次方程kx2+4x-3=0的两个不相等的实数根。求k的取值范围；是否存在这样的实数k，使 成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由23222121xxxx解：42-4k(-3) 0且k0 k 且k034假设存在. kxxkxx3,42121, 2322121xxxx又28kk舍去）不符合解得：,34(2, 421kkk存在满足条件的k值，且k=421.已知一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和是 ，求的m值 。429解：设方程两根为x1,x2. 则21

11、2-,22121+=+mxxmxx4292221=+xx4292-)(21221=+xxxx429212-2-)2(2=+mm解得：m1=-11, m2=3当m=-11时，方程为2x2+11x+23=0, =112-42230,方程无实数根，m=-11不合题意，舍去当m=3时，方程为2x23x5=0, =(-3)2-42(-5) 0,方程有两个不相等的实数根.m的值为322.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2+(2k+2)x+k=0有两个不相等的实数根。 求实数k的取值范围；是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。解：（2k+2)2-4k(

12、k-1) 0且k-10 k 且k131假设存在假设存在,设方程的两根为设方程的两根为x1，x2 1-,1-22-2121kkxxkkxx=+=+11121=+xx2121xxxx=+1-1-22-kkkk=+，舍去）（不符合31-32-=kk不存在满足条件的不存在满足条件的k23.是否存在实数m，使关于x的一元二次方程x2-2(m-2)x+m2=0的两实数根的平方和为56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解：假设存在解：假设存在,设方程的两根为设方程的两根为x1，x2 x1+x2=2(m-2)=2m-4 , x1x2=m2又又x12+x22=56 , (x1+x2)2-2x1x2=5

13、6(2m-4)2-2m2=56 即即m2-8m-20=0解得：解得：m1=10 ,m2=-2当当m=10时，方程为时，方程为x2-16x+100=0, =(-16)2-41000，方程无实数根，方程无实数根， m=10不合题意，舍去不合题意，舍去当当m=-2时，方程为时，方程为x2+8x+4=0 , =82-440,方程无方程无实数根，实数根， m=-2不合题意，舍去不合题意，舍去不存在满足条件的不存在满足条件的m0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m12424：方程：方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求mm的取值范围。的取值范围。) 0( 0122mm

14、mxmx解：设方程的两个根为解：设方程的两个根为x1 1, ,x2 2，则则x1 1 0 025.解关于x的方程(x+m)2=n解；当no时，nmxnmxnmx21,当n时，方程无实数根。26.解关于x的方程02)3(xx02 x解：x+20 x-202)3(xx0203xx或x1=-3 (舍去) , x2=-21.若关于x的二次三项式x2-3x+a是一个完全平方式，求a的值。2.若关于x的二次三项式x2+2mx+m+6是一个完全平方式，求m的值。3.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配成（ ） A.(x-p)2=5 B.(x-p)2=9 C.(x-p+2)2=9 D.(x-p+2)2=5a=94m=3或-2