非齐次线性方程组有解的条件及解的结构PPT课件

1、6 非齐次线性方程组有解的条非齐次线性方程组有解的条件及解的结构件及解的结构 AX=0. 齐齐次次线线性性方方程程组组称称为为非非齐齐次次线线性性方方程程组组A AX X= = 的的( (或或对对应应的的齐齐次次线线性性方方定定义义1 1导导组组程程组组）出出下面讨论非齐次线性方程组与其导出下面讨论非齐次线性方程组与其导出组的解的关系组的解的关系.(1)如果如果u1是是Ax=b的一个解的一个解,v1是是Ax=0的的一个解一个解,则则u1+v1也是也是Ax=b的解的解.证证: Au1=b, Av1=0故故A(u1+v1)=Au1+Av1=b+0=b(2)如果如果u1,u2是是Ax=b的两个解的两

2、个解,则则u1-u2是是Ax=0的解的解.证证:Au1=b, Au2=b故故A(u1-u2)=Au1-Au2=b- b=0定理定理1 若若u1是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组Ax=b的一个解的一个解,v是齐次线性方程组是齐次线性方程组Ax=0的全的全部解部解,则则u=u1+v是是Ax=b的全部解的全部解.证证:由关系由关系(1)知知u是是Ax=b的解的解.反之反之,对对Ax=b的任一解的任一解u2,要证明要证明u2一定一定可以写成可以写成u1与与Ax=0的某个解之和的某个解之和.取取 v1=u2-u1由关系由关系(2)知知 v1是是Ax=0的解的解而而 u2=u1+v1即即Ax=b的任一解

3、是的任一解是u1与与Ax=b的某一个的某一个解之和解之和.:s nnAX 元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理2 2 1)(),;R AR A 无无解解的的充充要要条条件件 2)( ),;R AR An 有有唯唯一一解解的的充充要要条条件件 3 )(),RARArn 有有 无无 穷穷 多多 解解 的的 充充 要要 条条 件件 是是，112212,AX=0XAX=.nrnrnrc Xc XcXXXX 0 00 0A AX X= =的的通通解解为为 X X其其中中为为导导出出组组的的一一个个基基础础解解系系，为为的的一一特特解解个个B,AX 上上 述述 定定 理理 告告 诉诉 我我 们们

4、判判 断断 非非 齐齐 系系 线线 性性 方方 程程 组组是是 否否 有有 解解 ， 以以 及及 当当 有有 无无 穷穷 解解 时时 求求 解解的的 方方 法法 ： 把把 增增 广广 矩矩 阵阵 A A= =( (A A, ,) )初初 等等 行行 变变 换换化化 为为 如如 下下 阶阶 梯梯 形形不不 妨妨 设设 为为111,1212,21,110.0.0100.0001.000000000000000.00000000nrnrrr nrrrbbdbbdbbdBd111,212,21,11.10.0.0100.0001.00000000000000.0.0000000.0rrnrnrrr n

5、rdddbbdbbbbB1d0( )( ),rR AR Ar AX 由由于于初初等等变变换换不不改改变变矩矩阵阵的的秩秩，故故当当时时有有解解；1d0( )( ),rR AR A AX 当当时时无无解解；1d0( )( ),rR AR Arn AX 当当时时有有唯唯一一解解；1d0()(),rR AR Arn AX 当当时时有有无无求求多多解解. .123451234512345122322324335xxxxxxxxxxxxxxx 解解 线线 性性 方方 程程 组组例例111212:()132123243135AA 解解111212021311021311 11121202131100000

6、0 3111222211121201000000 31712222311122221001000000 45()()2,R AR Axx 3 3故故 有有 无无 穷穷 多多 个个 解解 . .x x为为 自自 由由 变变 量量 ， 分分 别别 代代 入入 值值( (1 1, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,1 1, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0导导出出 组组 A AX X, ,1 1) )解解 的的的的= =0 0一一 个个 基基 础础 解解 系系171222311222123,100010001XXX 345A X =0,0,0 xxx 为为 求求的的 一一

7、 个个 特特 解解 ， 把把代代 入入 非非 齐齐 次次 方方 程程 组组 即即 可可 3 / 21 / 2000,T 0 0X X3171222231112222123100001000010ccc A AX X= = 的的通通解解3212123171131200002000020ccc 也也可可表表示示为为例例2 2 设有线性方程组设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,有有无无穷穷多多个个解解有有解解取取何何值值时时问问 解解 21111111 B 11111112 作作初初等等行行变变换换，对对增增广广矩矩阵阵),(bAB 2222111011011 32222120011011 22112100111011 ,11时时当当 000000001111B 23232233,.,1 00 1110 ,( 1,0,1) .,.TTR AR Bx xx xXx x 1 1T T0 0方方程程组组有有无无穷穷多多解解自自由由未未知知量量为为让让分分别别代代入入（ ， ），（ ， ）得得到到导导出出组组的的基基础础解解系系X X = =（， ， ）让让自自由由为为知知量量代代入入( (0 0, ,0 0) )得得到到A AX X= = 的的一一个个特特解解X X = =（1 1，0 0，0 0）其通解为其通解为0112212, ,Xc Xc X c c 任任意