4.1指数的基本运算

1、授课主题：指数运算教学目标1 .理解根式的概念和性质，并能熟练进行相关计算.2 .掌握n次方根的性质，理解分数指数募的概念.3 .掌握根式与分数指数器的互化.4 .掌握有理数指数塞的运算和根式与分数指数辕的运算.5 .准确运用分数指数器的运算性质进行计算.教学内容辆给构1.整数指数幕1）正整数指数嘉的含义：/=*5eN*） 个。2）零指数基：4° = 1（工0）3）负整数指数事：，/=，（aWO,£N*）2.分数指数幕1）如果存在实数x,使得炉="（“WR, 且 £N）则x叫做”的次方根.特别的，如果一个数的平方等 于“，那么这个数叫做"的平方

2、根：如果一个数的立方等于“，那么这个数叫做”的立方根.2）式子名叫做根式，这里，叫做根指数，”叫做被开方数.3 ） （1.SN时,（般）"=（2）/1为正奇数时,勺萨=“；八为正偶数时,脑=1乩4）分数指数箱的定义：（1）规定正数的正分数指数箱的意义是：/=版3>0,皿、£N，且为既约分数）；fft 1m（2）规定正数的负分数指数辕的意义是：a ；=（心0, ,、且3为既约分数）；（3）0的正分数指数基等于0, 0的负分数指数得没有意义.5）在进行事和根式的化简时，一般先将根式化成耗的形式，化小数指数哥为分数指数帮，化负指数为正指数,并尽可能地统一成分数指数基的形式，

3、再利用哥的运算性质进行化简、求值和运算.3.有理数指数幕的运算 (l)4r/=a" (>0,八 s£Q);八 5GQ)：(3)(ab)r=arbr (a>0, b>0, rGQ).类型一、根式例1.求下列各式的值：(1)而记(2漱一2；玳3m4；耳力2.a-b (a>b)【答案】-3： J1S:43： <0(ab)b-a (a<b)【总结升华】(1)求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是±2,但不是4 = ±2.(2)根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何

4、时可换. 【变式】计算下列各式的值：(1)1(-2)3 : (2)玳9了 ； (3) .(*4)6 : (4) 痴 2)8 ._y _a - 2(i/ > 2)【答案】(1) -2： (2) 3； (3) 4一4；(4).2-a(a < 2)例 2.计算：(1) J5 + 2而 +)6-4点:(2) 1应+1 V2-1【解析】(1)飞5 + 2疾-46应=4居2 + 2岛直+ (丘丫 + 百-2x2肉(布尸 ,22-2x2+(V2)2二 +近) +>/(2 -(2 5/2)2二 5/3 + y/2 + 2 5/3 - 2 5/2 =+ V2 + 2 - y/3 -( 2 -

5、/2 ) =2 V2二 V2 -1 + 5/2 +1 = 2-211V2-1V2 + 1(2)1=+V2 + 1 >/2-1 (V2 +1)(72-1) (72-1)(72+1)【变式】化简：（1）&_2& +曲_艰）3 +血_虎）4 :(2)，厂27+1 - J厂 + 6x + 9(1 x Iv 3)【答案】（1） x/2-l； （2） <2jv 2 (3 v x < 1),-4(l<x<3).类型二、指数运算、化简、求值例3.用分数指数幕形式表示下列各式（式中a>0）：(1) /&： (2) / 汗：(3)； (4)【解析】先将根

6、式写成分数指数帮的形式，再利用事的运算性质化简即可.2. U(2) a，= a， a' = a 3 = a 1二）'V"k X 7x35 =>J(1)l Cl , yfCl ;, j_yJX-yx13_2【答案】(1) 2%而:(2)【变式2】把下列根式化成分数指数卷:（1）<2）7r（«>o）：（3）【解析】（1）622= (a2)2 =a4i(2)7=2逐：211(3) / 竹=宜;一、 11I111-7v 1 )= t .例4 .计算：(1) (0.008 Ip - 3x(/。.口尸+吗飞 2；(2) 73 - 324 -+ V/3(

7、3) #725 + *-36)2 + 玳* 4)6 - 1(3_03 .1【解析】(1)原式:(0.3)一1 一！d + 2)3 =12-1 = 3；原式二7%一6找一2时+%=0；(3)原式二-5+6+4-4-(3-4)=2；注意：(1)运算顺序(能否应用公式)：(2)指数为负先化正；(3)根式化为分数指数塞. 【变式1】计算下列各式：41(!尹 x(-1)°+ 80-25 X V2 + (V2 X V3)6 ：(2),加一&，4 , 十(1-2也 xg861)千 V/a3 + 21ib+4b3【解析】原式二83 xl + (23)4 x24 +(23)6 x(32)6 =

8、 2 + 24 4 +22 x33 =112 ：(2)原式=j一"(；助)_x_ (户)2+2户"+(如)2(【变式2】计算下歹恪式:(I)-2+(-1=)'【解析】原式二16+而+5+2而+ 3的 4标-a3 3 3(a - 8Z?)ii、一,户-2/75«/)3一(2庐-3+-(1。3)。.(-半)3 24强.4例5.化筒下列各式.j ；(3) (0.027)3 +一 m 2 + in2=in 2 +m2(_i i 2 m 2 +m2 m + 尸 +2)i- =i«m 2 + nrm 2 + n r f 27 (0.027)3 +| -师赤+

9、幡据=0.09+ -=0.093 3【变式1】化简：如/函）3 .133 15 7【解析】原式二2（” ,户了正=（母2/向3=/）3.注意：当n为偶数时，.-4（4 < 0）【变式2】化简二+' = _二一'二 一+【解析】应注意到与X-2之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解,原式=（/）：+（<）1（/）： 一（工斗=（3）2-3 . 3+,斗一武%+（同 x 3 + y ?x ? - y §=一2（孙）5 =-2 恋.兀y【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.（1）被开方数的指数与根指数互质：（2）被开方数分母为1,且不含 非正整数指数嘉；

10、（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数.3+二【变式3】化简下列式子: V4V2 + 2y/6(3) Vx2 +2x + l + Vx3-3x2+3x-l【答案】2*/2+>/6 ：+ y/2 ： 42x(x>-l)-2(x<-l)【解析】原式="3 + ") = * + ="(3+户 24_2途 2_,郃_1)23-J3右(3 +后 _向12 + 6肉 (3 - 6)(3 + /)6= 272+76(2).(甄+啦f =(炳尸+ 2则.次+ (V?)2=炳 + 2%8乂2 + 五=坊+2疥+>/1 = 4>/1+2卡>0，由

11、平方根的定义得：，4夜+2噌=晒+吹(3) ., >/x3 -3x2 +3x-l = .(x-)，= x-1Lfx + l(x > -1)>/x +2x + l =1 x +11= 5 -x -l(x < -1)Jx、+ 2x + 1 + /x5 -3x2 +3x-l = < 2x(x _ D -2(x<-l)33II例6.已知，/+1-5=3,求:+, ：-3的值.x2+x-2-2【解析】从已知条件中解出式的值，然后代入求值，这种方法是不可取的, x3+x=3的联系，进而整体代入求值.1 1 v x2 + x 2 = 3,，x + 2 + x"

12、= 9, /. x + x-1 =7/. X2 + 2 + x" = 49,x2 + AT2 = 453_3J. X1 +x 2 - 3 _ (x2 +x 2)(x-l 4-x_1 )-3 _ 3x(7-1)-3 _ 15 _ 1"x2+x-2 -247-24545 -3【变式1】求值：而应设法从整体寻求结果与条件A -iX +(1)已知/ +X 2 =5,求上上的值； X已知。>0, b>0,且，=/,力= 9。，求。的值.【解析】(1)由工3+/3=5,两边同时平方得x+2+x%25,整理得：x+/x=23则有二 = 23：| £ £ &

13、#163;(2)a>0, b>0,又< a=b ，(/9=(/广=a =麻=a = (9)'8 I./ =9, =/ =3?=。=正1 .下列说法中：16的4次方根是2：加的运算结果是±2；当为大于1的奇数时，缶对任意a£R都有意义：当为大于1的偶数时，如只有当“20时才有意义.其中正确的是（）A. ©©B.C.D.答案：D2 .已知?=6,则工等于A.a/6 B,赤 C. y6 D. 土苑答案：B3 .利是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）A./a?PB./wC.yni答案：CA 4 .后讨运算的结果是B, -2D.不确定

14、A. 2C. ±2答案：A A 若2<a<3,化简”(2-4 + y(3a)4的结果是A. 52aB. 2a5C. 1D. -1答案：c6.若g+3-2)。有意义，则”的取值范围是A. “20B. ”=2C. ”W2D. a'O 且 “W2答案：D已知刈#0且寸4.42 = - 2xy,则有A.冲VOB. xy>0C. x>09 y>0D. a,<0, y<0答案：A3 4 3 8 .，(6)3+4(9-4)，+q(94p的值为()A. -6B. 2>/52C. 2小D. 6答案：A9 .当产G有意义时，化简与北一4x+4五一6

15、x+9的结果是()A. 2a-5B. 2xlC. -1D. 5-2v答案：c10 .已知n£N,给出四个式子：霏司；泥;23产工”二7,其中没有意义的是.(只填式子的序号即可)答案：11 .化简*7(n-4)2+ #71 4)3的结果为. 答案：012 .若 xvO,则Ixl4?+=.答案：113 .写出使下列各式成立的x的取值范围：ST(2)，(x5)(-25)=(5 x)x+5.解(1)由于根指数是3,故一二有意义即可，此时x3W0,即xW3.; d(x5)(.F25)=，(x-5)2(x+5)=(5 x)4+5,x+520K5W0，一 5WxW5.14 .计算下列各式的值:1(

16、3-兀)(心 1,且 £N*)：(2)*一犷(>1,且 n£N")； (3)5+276+/7-43-6-42.解(1)当为奇数时，勺(3兀)=3兀;当为偶数时，勺（3兀）=兀一3.(2) y(x-y)2fl=x-y9当 时，气/(xy)2"=xy；当 x<y 时,l（xy）2n=yx.45 + 2m+3-4娟-a/6-42 ='（小A+2娘+（年产+7222X2审+（3平一7?一2义2小+（小平 =叱布十#三再一切二后=小+小1+12小1-12_巾1=小+小+ 2_小_（2一小）=2理.1 .设 >0,化简。J/）4d每）4的结

17、果是（）C. / D.小解析：（元/（/77尸 ,舒,陷/1=/答案：B2 .设 a, 1）> 0,化简（”诘）（一3 a7m）+ |小/ 的结果是（）A. 6qB. - a（'.9aI）. 9a'答案：C3.求值：答案：9； 1.4 1.化简（一正月一；的值等于（）A.-/3B.一艰C.乎D.一里解析：（7§）2_1=3_=挈答案：c2.成立的条件是(x 1 yx 1A. x<x2D. G2解析：刀一220,x-l>0x>2,x>l,答案：D3.（-2严°+（2）等于（）A. -1B. 21(X>D.-2100解析：(-

18、2W)+(2)=(-2)+(2)(2)曲=(-2)叫 1+(2) = 一(-2)=-2叫答案：D4.若9=9,则工=；若3 = 8,则刀=答案：±3 25 .已知3+ ；=3,则/+“ 2=解析：；q2+q ' = （a+a ） 2 =（广 + 院+）2 2/ 2= 49-2 = 47.答案：476 .设>0,用分数指数甯表示下列各式： （）b2yb=：答案：(1)?/'(2)b17 .计算2一；+箸+亡7一1（1 一小）°的结果是（）A. 1 B. 2小1(1)0解析：2 -T2-也C.yfl D. 2-；以&1一石）。=41+1+ 叵1也也物11=2叵故选B.答案：B1.求值：2V3XL5X/12=.解析：2 J3X 折7亏X 'V2 2X：P X (-7 ) 3 乂3+ 义 2士 21一2"3''卷2X3 6.答案：62 .化简下列各式：J. ± i(a； L ) ? 山犷(I)V a 6解析：（I）(a- - 1)1 ) u? bz± ± ±a 3 力2 a2一r ,ir a6 匕sv(t9 b-