组合数的性质学习教案

1、会计学1组合组合(zh)数的性质数的性质第一页，共17页。1 1、组合定义、组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一并成一组组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .mnC2 2、组合数、组合数: :3、组合、组合(zh)数公式数公式:210242322CCCC 计算计算有简洁有简洁(jin

2、ji)的计算的计算方法吗？方法吗？第1页/共17页第二页，共17页。引例引例1：某小组有：某小组有7人人:选出选出3人参加植树劳动人参加植树劳动,可以有多少种不同可以有多少种不同(b tn)的选法的选法?选出选出4人参加清扫校园劳动人参加清扫校园劳动,可以有多少种不同可以有多少种不同(b tn)的选的选法法?思考(sko)一:为何上面两个不同的组合数其结果相同?这一结果的组合的意义是什么？3537C3547 C即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校园(xioyun)劳动都有35种不同的选法.第2页/共17页第三页，共17页。4737CC对应(duyng)从从7 7位同学位同学(tng xu

3、)(tng xu)中中选出选出3 3位同学位同学(tng xu)(tng xu)构构成一个组合成一个组合剩下的剩下的4 4位同位同学学(tng xu)(tng xu)构成一个组合构成一个组合从从7 7位同学中位同学中选出选出3 3位同学位同学的组合数的组合数37C即：从从7 7位同学中位同学中选出选出4 4位同学位同学的组合数的组合数47C思考二思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？第3页/共17页第四页，共17页。 一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下nm个元素,因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合(zh),与剩下的nm

4、个元素的每一个组合(zh)一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同元素的组合(zh)数,等于从这n个元素中取出nm个元素的组合(zh)数.即 mnnmnCC这就是我们(w men)今天学习的组合数的第一个性质. 性质性质(xngzh)1mnnmnCC第4页/共17页第五页，共17页。性质性质(xngzh)1(xngzh)1的的证明证明 mnnmnCmnnmnnmnmnC)!()!(!)!( !说明说明(shumng)：2 2、为了使性质、为了使性质1 1在在m mn n时也能成立时也能成立, ,规定规定01nC 1 1、为简化计算、为简化计算, ,当当m m 时时, ,通常将计算通常将计算

5、改为计算改为计算 2nCmnCn mn 3xynnCC 、xyxyn或或例如例如(lr(lr):):20111201120102011201120102011CCC4 4、该性质又叫、该性质又叫对偶法则对偶法则第5页/共17页第六页，共17页。练习练习(linx)（1）计算：97100C=161700 （2）已知：725225xxCC,求x 414ttCCtC20（3）已知：,求x=6或7=190 第6页/共17页第七页，共17页。引例引例(yn l)2(yn l)2：一个口袋内装有大小相同的：一个口袋内装有大小相同的7 7个个白球和白球和1 1个黑球个黑球（1 1）从口袋内取出）从口袋内取出

6、3 3个球个球, ,共有多少种取法？共有多少种取法？（2 2）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球, ,使其中含有使其中含有1 1个黑个黑 球球, ,有多少种取法？有多少种取法？（3 3）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球, ,使其中不含黑球使其中不含黑球, ,有多有多少种取法？少种取法？ 3537C解解：2127C 5638C 我们我们(w (w men)men)发现：发现：372738CCC这是为什么呢这是为什么呢? ?第7页/共17页第八页，共17页。 我们可以这样解释我们可以这样解释:从口袋从口袋(ku di)内的内的8个球中所取出的个球中所取出的3个球个球,可以分为两可以分

7、为两类类:一类含有一类含有1个黑球个黑球,一类不含有黑球一类不含有黑球.因因此根据分类计数原理此根据分类计数原理,上述等式成立上述等式成立.372738CCC思考：上述情况加以推广思考：上述情况加以推广(tugung)可得组合数怎样可得组合数怎样的性质？的性质？第8页/共17页第九页，共17页。1211,1nmna aanmC 一一般般地地，从从这这个个不不同同的的元元素素中中取取出出个个元元素素的的组组合合数数是是， 11aa这这些些组组合合可可分分成成两两类类：一一类类含含有有 ，一一类类不不含含有有 ，1231,nmnaaaanmC 不不含含的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取

8、出出个个元元素素组组成成的的，共共有有个个 123111,1nmnaaaanmaC 含含有有的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素与与组组成成的的，共共有有个个； 由由分分类类计计数数原原理理，得得 11mnmnmnCCC性质性质(xngzh)2(xngzh)2第9页/共17页第十页，共17页。性质性质(xngzh)2(xngzh)2的的证明证明 11mnmnmnCCC第10页/共17页第十一页，共17页。注注:1:1 公式特征公式特征: :下标相同下标相同(xin tn)(xin tn)而上标差而上标差1 1的两个组的两个组合数之和合数之和, ,等于下标比原下标多等于

9、下标比原下标多1 1而上标与原组合数上标较大而上标与原组合数上标较大的相同的相同(xin tn)(xin tn)的一个组合数的一个组合数2 2 此性质的作用此性质的作用: :恒等变形恒等变形, ,简化运算简化运算. .4 4 该性质又叫增一法则该性质又叫增一法则11mnmnmnCCC3 3 等式等式(dngsh)(dngsh)体现：体现：“含与不含某元素含与不含某元素”的分类思想的分类思想. . 11()()mmmnnnaCCaC含含素元素不元第11页/共17页第十二页，共17页。mnC 化简（用化简（用 形式形式(xngsh)表示）表示）9 08 99 99 9C C mnC89999099

10、CC92004102005CC变式一：90100C102004C899990100-CC变式二：9099C0C -8m7mC变式三：81mC第12页/共17页第十三页，共17页。例例 1 计算计算(j sun)198200( 1 ) ;C329999( 2 ) ;CC 332898( 3 ) .2CCC22002001991990021 C 31001009998161700321 C 3322388888562()CCCCC 第13页/共17页第十四页，共17页。0129456131CCCC（）计算 ；2222234102CCCC（）计算 ；例例2常用常用(chn yn)的等式的等式:111010kkkkkkCCCC第14页/共17页第十五页，共17页。练习(linx)：_,8771nCCCnnn则若(1)（2）已知 , C12 = C11 + C11 7 7 x x则则 n,C3241863n18则则）若）若（nC69584737CCCC(4)计算计算(j sun)（5）2100252423AAAA 计计算算1456或或2210CCCCC5545352515222)6( 计计算算第15页/共17页第十六页，共17页