多元函数的极限和连续性PPT学习教案

1、会计学1多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性2二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.(x,y)第1页/共27页3例例1222,( , )54.zxyf x yxy 都都是是二二元元函函数数与一元函数相类似，对于定义域与一元函数相类似，对于定义域约定约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集. .)(|有意义MfMD ),(,| ),(有意义使yxfyxyxD 函数函数z=f(x,y)的定义域可以表示为的定义域可以表示为:或或第2页/共27页4例例2:2: 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyx

2、yxf 解解: 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 要使函数有定义要使函数有定义,必须必须2yx D24第3页/共27页5一元函数的极限一元函数的极限. .设设0lim( ),xxf xA 所所谓谓当当 x 不论是从不论是从 x0的左边的左边还是从还是从x0的右边无限接的右边无限接近于近于x0时时, 对应的函数对应的函数值无限接近于数值无限接近于数 A.表示表示如图如图xyA0y = f (x)x0 x x00lim( ) .xxf xA 用用语语言言表表示示就是就是 0, 0.当当0|x x0| 时时, 有有|f (x)

3、A | 0 0, , 0 0, ,当当0 0时时 恒恒有有 2(0)2010,0,0,.xxyyfx yA 当当时时，恒恒有有 000)220(20,0,0,.xxyyxxyyfx yA 当当时时且且时时，恒恒有有0.Af MM是二元函数（）在点则的极限称(点函数点函数)(等价叙述等价叙述)第5页/共27页7 000,.OAOMMOMMfMOA ( (3 3) )对对总总当当时时 ，恒恒 有有说明说明：0(1)MM定定义义中中的的方方式式是是任任意意的的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元

4、函数的极限运算法则与一元函数类似 00lim().MMfMAMMf MA 以以及及 趋趋于于时时，的的极极任任何何点点列列任任何何方方式式限限都都是是第6页/共27页8例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解2222200sin()lim,xyx yx yx yxy变 形22200)sin(limyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limyxu2 uuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x.0)sin(lim22200 yxyxyx第7页/共27页9证明证明例例4 4 证明证明 不存在不存在 26300limyxyxyx 取

5、取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，而非确定的常数的不同而变化，而非确定的常数,故极限不存在故极限不存在第8页/共27页10确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：第9页/共27页11三、二元函数的连续三、二元函数的连续性性0000:()lim()(),().MMf MMf Mf Mf MM 定定义义 设设在在有有定定义义，并并且且则则称称在在点点连连续续000(,),()()fMr M Mf Mf M 在在点点连连续续如如果果 0 0, , 0 0, ,当当时时 恒恒有有 即即f（M）在）在 极限值

6、等于函数值极限值等于函数值。0M第10页/共27页12解解取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 , 0 ,2 当当 时时 220yx 2)0 , 0(),(fyxf( , )(0,0)lim( , )(0,0),x yf x yf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性第11页/共27页13例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解

7、解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续第12页/共27页14 ,( , )fx yfx yf x y 若若关关于于双双变变量量连连续续，则则关关于于每每一一变变量量 都都连连续续。但但反反之之关关于于每每一一变变量量连连续续，不不能能推推出出 它它关关于于双双变变量量连连续续. .下下例例即即可可说说明明. .注注: : 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf 2000lim,0lim00,0 ,0 xxxfxfx ,0, 0.f

8、x yx关关于于变变量量 在在点点连连续续 ,0, 0.fx yy同同理理可可证证关关于于变变量量 在在点点连连续续2200limxyxyxy但不存在，即关于双重变量不连续.例例第13页/共27页15（1）有界性定理）有界性定理 ( ,)0,.f x yDDMDfx yM 若若在在有有界界闭闭区区域域上上连连续续，则则它它在在上上有有界界, ,即即存存在在常常数数使使得得在在上上恒恒有有（2）一致连续性定理）一致连续性定理 ( ,)0,0, , ,.f x yDDDMxyMxyxxyyfxyfxy 若若在在有有界界闭闭区区域域上上连连续续，则则它它在在上上一一致致连连续续; ;即即使使上上任任

9、意意两两点点当当时时 恒恒有有四、有界闭区域上连续函数的性质四、有界闭区域上连续函数的性质第14页/共27页16（3）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理 1112212122,( , ),.,fxyfxf x yDDDMxyMxyDxyyfx y 若若在在有有界界闭闭区区域域 上上连连续续，则则它它在在 上上必必有有最最大大值值和和最最小小值值, ,即即在在 上上存存在在点点和和使使对对 上上任任意意的的点点恒恒有有 1122,fxyfxyfx yD也也就就是是说说分分别别是是在在上上的的最最小小值值和和最最大大值值. .第15页/共27页17（4）零点存在定理）零点存在定理 111111

10、111111,0.,0.fx yDDMa bNf a bfDlMNlMx yfx y 设设在在区区域域 内内连连续续 并并且且在在 内内两两点点异异号号 也也就就是是那那么么 用用完完全全位位于于 内内的的任任意意的的折折线线 联联结结和和时时在在 上上必必有有一一点点满满足足第16页/共27页18多元初等函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函由多元多项式及基本初等函数经过数经过 有限次的四则运算和复合步骤所构有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在

11、其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第17页/共27页19).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 第18页/共27页20五、二重极限和二次极限五、二重极限和二次极限定义定义: : ,;,x yxfx yfx yy同同时时先先后后

12、称称趋趋向向于于各各自自的的极极限限时时的的极极限限为为称称相相继继地地趋趋向向于于二二各各自自的的极极限限时时的的极极限限为为重重极极限限二二次次极极限限. .二次极限有两个二次极限有两个: : limlim,;limlim,xa ybyb xafyxx yfx yxy先先 后后先先 后后二重极限二重极限: :),(limyxfbyax第19页/共27页21（1）两个二次极限都不存在，而二重极限仍可能存在）两个二次极限都不存在，而二重极限仍可能存在。例例8 11,sinsin,0,00,00fx yxyxyyxfyfx 当当时时 11sinsin000 011,0sinsin.yxyxfx

13、yxyxyyx 二二由由于于和和在在和和的的函函数数极极限限不不存存在在，故故， 点点的的两两个个都都不不存存限限，次次极极在在但但因因为为 00lim,0.xyfxy 二二 重重 极极 限限故故 解解二重极限和二次极限的关系二重极限和二次极限的关系第20页/共27页22(2)两个二次极限存在而不相等，二重极限必不存在。两个二次极限存在而不相等，二重极限必不存在。例例9 223322,xyxyfx yxy 因因为为 000000limlim,lim11,limlim,lim11.yxyxyxfx yyfx yx 两个两个二次极限二次极限都存在但不相等都存在但不相等。解解所以，所以，二重极限二重

14、极限必不存在必不存在。第21页/共27页23(3)两个二次极限存在且相等两个二次极限存在且相等,但二重极限但二重极限 仍可能不存在仍可能不存在。例例10 22,xyfx yxy 在在（0 0，0 0）点点两两个个二二次次极极限限都都为为零零. .注注： 二次极限存在与否和二重极限存在与二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的联系否，二者之间没有一定的联系. 0 0但但在在， 点点二二重重极极限限不不存存在在，解解第22页/共27页24定理定理 lim,lim,),lilim,lm,.imyb xaybxbxayaf x ya bf x yAbbyxaf x yyf xf x yy

15、yAA 若若在在点点的的为为且且对对任任一一靠靠近近（可可以以不不等等于于 的的 当当时时，存存在在有有限限极极限限二二重重极极 则则 存存在在且且等等于于二二重重限限二二次次极极限限极极限限第23页/共27页25定理说明定理说明:(1)若二重极限和某一个二次极限都存在若二重极限和某一个二次极限都存在, 则二者一定相等则二者一定相等.(2)因此因此,若两个二次极限存在但不相等若两个二次极限存在但不相等, 则二重极限一定则二重极限一定不存在不存在.(3)若两个二次存在并相等若两个二次存在并相等,即即则二次极限可以则二次极限可以交换求极限的顺序交换求极限的顺序.),(limlim),(limlimyxfyxfaxbybyax第24页/共27页26.A只只就就为为有有限限时时给给予予证证明明 0,xaybx ya b 由由于于二二重重极极限限存存在在，故故对对任任给给 00，存存在在当当时时，恒恒有有 ,fx yA ,yyb 现现在在固固定定 xayA 而而 在在 上上 式式 中中 令令， 即即 得得0yb 亦亦即