多元函数的极值92308PPT学习教案

1、会计学1多元函数的极值多元函数的极值92308一、二元函数的极值),(),(yxfyxf00),(),(yxfyxf00 定义4-6 设函数 在点 的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于 的点 都满足不等式),(yxfz ),(00yx),(00yx),(yx 极大值、极小值统称为极值;使函数取得极值的点称为极值点. 则称函数 在点 有极小值(极大值); . 为函数 极小值点(极大值点).),(yxfz ),(00yx),(00yxf),(00yx),(yxfz 第1页/共18页例处处有有极极小小值值在在函函数数)0 , 0(4322yxz 处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yx

2、z 例处处无无极极值值在在函函数数)0 , 0(xyz 例 从以上例子看出:若函数在某点取得极值,这点的偏导数等于零或不存在.下面介绍极值存在的必要条件与充分条件.第2页/共18页, 0),(00yxfx0),(00yxfy 定理4-5（必要条件)设函数 在点 取得极值,且在该点处两个一阶偏导数都存在,则必有),(yxfz ),(00yx证明不妨设 在点 处有极大值 ),(yxfz ),(00yx ),(yx),(00yx 则对于的 某邻域内任意 ),(00yx都有 ),(),(yxfyxf00类似地可证 . 000),(yxfy必有 000),(yxfx说明一元函数 在 处有极大值 ),(0

3、yxf0 xx 故当 ， 时， 0yy 0 xx ),(),(000yxfyxf第3页/共18页 与一元函数相同，我们称一阶偏导数都等于零的点为函数的驻点.如何判定一个驻点是否为极值点呢? 定理4-6（充分条件） 设函数 在点 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又 ， .),(yxfz ),(00yx000),(yxfx000),(yxfy221yxz (2)极值点也可能不是驻点.因为偏导数不存在的点也可能是极值点，如锥面 在顶点 处偏导数不存在，但顶点是极值点.)0,0( 注意 (1)驻点不一定是极值点.例如, 点是函数 )0,0(xyz 的驻点,但不是极值点. 第4页/共18页Ayx

4、fxx ),(00Byxfxy ),(00Cyxfyy ),(00令则有 （1）当 时,函数 在点 处具有极值,且当 时有极大值, 时有极小值；02 ACB),(yxf),(00yx0 A0 A （3）当 时,可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论.02 ACB （2）当 时, 函数 在点 没有极值；02 ACB),(yxf),(00yx第5页/共18页 由此可得求二元可微函数 极值的一般步骤： ),(yxfz 第一步求函数 的一阶和二阶偏导数;第二步解方程组 ,可求得所有驻点;0),(0),(yxfyxfyx第四步求出各极值点的函数值 对每个驻点,求出相应的二阶偏导数 A、B、C 的值,并

5、根据 的符号判别各驻点是否是极值点,是极大值点还是极小值点;第三步ACB 2),(yxfz 第6页/共18页例4-28 求函数 的极值. xyxyxyxf933),(2233解 求方程组063096322yxyxfxxyxfyx),(),(得驻点 .),(),(),(),(23032101、66 0 66 yffxfyyxyxx,又在点 处,),(010722 ACB且012 A故 是极小值点,极小值为 .501),(f),(01第7页/共18页在点 处,),(210722 ACB故 不是极小值点.),(21在点 处,),(030722 ACB故 不是极小值点.),(03在点 处,),(230

6、722 ACB且012A故 是极大值点,极大值为 .3123),(f),(23第8页/共18页 求最值的一般方法： （1）求函数在D内的所有驻点和偏导数不存在的点； （2）求出函数在D内的所有驻点和偏导数不存在点处的函数值,以及在区域边界上的最大值和最小值； （3）相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.二元函数的最值第9页/共18页 例4-29 求函数 在圆域上 的最大值.224yxyxf),(122 yx解 显然,函数在圆周 上的值到处是 .122 yx3令04042222yxyyxfyxxyxfyx

7、),(),(得驻点 ,),( 00)(),(3200f所以在 处取得最大值2.),( 00第10页/共18页 在很多实际问题中,根据问题本身的性质,知道函数f(x,y)在区域D内一定能取到最大值(最小值),又如果函数在D内只有一个驻点,那么这驻点处的函数值就是f(x,y) 在D上的最大值(最小值),而不必再进行检验. 例4-30 要制作一个容量V为长方体箱子，问如何选择尺寸，才能使所用材料最省？此水箱的用料面积)(xyVxxyVyxyS 2xyV解 设箱子的长为 ,宽为 ,则其高为 .xy 2)(yVxVxy),(00yx第11页/共18页 所以当水箱的长、宽、高均为333VVV, 时，水箱所

8、用的材料最省.33VyVx,令020222)()(yVxSxVySyx 根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D 内取得.又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当),(00yx时，S取得最小值33VyVx,第12页/共18页条件极值 对自变量有附加条件的极值 无条件极值 对自变量除有定义域的限制外无任何其它条件限制的极值无无条条件件极极值值条条件件极极值值二、条件极值条件极值还可以应用拉格朗日乘数法来计算.问题 求目标函数 yxfz,在约束条件 0yxg,下的极值.第13页/共18页0,0,0,yxgFyxgyxfFyxgyxfFyyyxxx求解步骤(1) 构造辅助函数(

9、lagrange函数)yxgyxfyxF,( 为常数) (2) 对函数 分别关于 、 、 求偏导数,并令其等于零,得方程组),(yxFxy (3) 解方程组,若 是方程组的解,则 是可能的条件极值点),(000yx),(00yx (4) 判别 是否为极值点.在实际问题中,可根据问题本身的性质来判定.),(00yx第14页/共18页 例4- 31 某工厂生产两种型号的仪器,其产量分别为 台和 台,两种仪器的产量与所需的成本的关系可以用一个以应变量z为成本、以自变量(x,y)为两种仪器产量的函数表示: (单位:万元).若根据市场调查预测,需这两种仪器共8台,问应如何安排生产,才能使成本最小?xxyyxz222构造拉格朗日函数 解 本题归结为: 求函数 在约束条件 下的最小值.xyyxz22208 yxyxF,)8(222yxxyyxy第15页/共18页解方程组080402yxxyFyxFyx得唯一解7, 3, 5yx 由于实际问题的最小值存在， 、 是 唯一的驻点，